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滚动习题(五)
1.C　[解析] 由平面的垂线的定义可知,在平面α内肯定不存在与直线l1平行的直线.故选C.
2.D　[解析] 对于A,若m∥α,m∥β,则α与β平行或相交,故A不正确;对于B,若m∥α,n∥α,则m与n平行、异面或相交,故B不正确;对于C,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ平行或相交,故C不正确;对于D,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,所以β∥γ,故D正确.故选D.
3.A　[解析] 若b⊥α,且a∥α,则a⊥b,故充分性成立;若a⊥b,a∥α,则b α或b∥α或b与α相交,故必要性不成立.所以“b⊥α”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.
4.C　[解析] 取AB的中点O,连接VO,CO.∵在三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2,VC=1,∴VO⊥AB,CO⊥AB,∴∠VOC即为二面角V-AB-C的平面角.∵VO===1,CO===1,∴VO=CO=VC=1,∴△VOC为等边三角形.∴∠VOC=60°,∴二面角V-AB-C的大小为60°.故选C.
5.C　[解析] 在平面PAB中过A作AE⊥PB,垂足为E.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PBA即为PB与平面ABCD所成的角,所以∠PBA=.因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以PA⊥AB,又PA=1,所以AB=1,所以PB=,所以AE=PB=.因为∠ABC=,所以BC⊥AB,因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC,又AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因为AE 平面PAB,所以BC⊥AE,又AE⊥PB,BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,所以AE⊥平面PBC,所以AE为点A到平面PBC的距离,所以所求距离为.故选C.
6.D　[解析] 对于A,因为二面角A-BC-D为直二面角,所以平面ABC⊥平面BCD,又因为平面ABC∩平面BCD=BC,DC⊥BC,且DC 平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A中结论正确;对于B,由DC⊥平面ABC,AB 平面ABC,可得DC⊥AB,又AB⊥AC,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B中结论正确;对于C,由AB⊥平面ACD,且AB 平面ABD,得平面ABD⊥平面ACD,故C中结论正确;对于D,假设平面ABD⊥平面BCD,由平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,可得AB⊥平面BCD,又BC 平面BCD,所以AB⊥BC,与题意矛盾,所以假设不成立,所以平面ABD与平面BCD不垂直,故D中结论不正确.故选D.
7.ABC　[解析] 对于A,因为OA⊥平面OBC,所以∠ABO即为直线AB与平面OBC所成的角,又OA=OC=OB=1,所以∠ABO=,故直线AB与平面OBC所成的角是,故A正确;对于B,取BC的中点D,连接OD,AD,因为OA=OB=OC=1,OA⊥平面OBC,∠BOC=,所以AB=AC=,BC=1,所以OD⊥BC,AD⊥BC,因为OD∩AD=D,OD,AD 平面AOD,所以BC⊥平面AOD,所以∠ODA为二面角O-BC-A的平面角,又tan∠ODA==,所以二面角O-BC-A的正切值为,故B正确;对于C,因为AB=AC=,BC=1,所以AD===,设O到平面ABC的距离为h,由VA-OBC=VO-ABC,可得××1=×××1×h,解得h=,故C正确;对于D,因为OA⊥平面OBC,OC 平面OBC,所以OC⊥OA,假设OC⊥AB,由AB∩OA=A,AB,OA 平面OAB,得OC⊥平面OAB,因为OB 平面OAB,所以OC⊥OB,与∠BOC=矛盾,故D错误.故选ABC.
8.ABC　[解析] 因为SD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以AC⊥SD,易知AC⊥BD,因为SD∩BD=D,SD 平面SBD,BD 平面SBD,所以AC⊥平面SBD,又SB 平面SBD,所以AC⊥SB,故A正确;又AC 平面SAC,所以平面SAC⊥平面SBD,故C正确;由题易知AD⊥SD,又AD⊥DC,SD∩DC=D,SD 平面SDC,DC 平面SDC,所以AD⊥平面SDC,又SC 平面SDC,所以AD⊥SC,故B正确;若BD⊥SA,则BD垂直于SA在平面ABCD内的射影DA,显然不成立,故D错误.故选ABC.
9.　[解析] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BB1∥CC1,所以异面直线AC1与BB1所成的角即为直线AC1与CC1所成的角,即为∠AC1C或其补角.因为CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥AC,在Rt△C1AC中,AC==,CC1=,所以tan∠AC1C==,又∠AC1C∈,所以∠AC1C=,所以异面直线AC1与BB1所成的角为.
10.　[解析] 因为四边形ABCD为正方形,AB=2,所以BD=2,因为PD2+BD2=9=PB2,所以PD⊥BD,又PD⊥BC,BC∩BD=B,BC,BD 平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD.如图,连接BD,AC交于点O1,过点O1作OO1⊥平面ABCD交PB于点O,因为四边形ABCD为正方形,所以O1,O分别为BD,PB的中点,由题意得点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心,所以外接球半径R=PB=,故四棱锥P-ABCD的外接球的体积V=π×=.
11.13　[解析] 取AB的中点E,连接PE,CE.因为∠ACB=90°,AC=8,BC=6,所以AB=10,又因为E是AB的中点,所以CE=5.因为PA=PB=13,E是AB的中点,所以PE⊥AB,PE=12,又因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PE 平面PAB,所以PE⊥平面ABC,又CE 平面ABC,所以PE⊥CE.在Rt△PEC中,PC==13.
12.解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,DE 平面ABCD,
∴PA⊥DE.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为BC的中点,
∴AE=2,DE=2,∴AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.
又AE 平面PAE,PA 平面PAE,AE∩PA=A,∴DE⊥平面PAE.
(2)∵DE⊥平面PAE,∴∠DPE即为直线DP与平面PAE所成的角,
在Rt△DEP中,∠DEP=90°,DE=2,PE==2,
∴tan∠DPE==,可得∠DPE=30°.
故直线DP与平面PAE所成的角为30°.
13.解:(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD 平面ABCD,所以CD⊥平面PAD,
又PA 平面PAD,所以CD⊥PA.
因为PA=PD=BD,BD=AD,所以PA=PD=AD,
所以△PAD为等腰直角三角形,且PA⊥PD,
又CD∩PD=D,CD,PD 平面PDC,
所以PA⊥平面PDC,又PA 平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PDC.
(2)因为E,F分别为PC,AC的中点,所以EF∥PA,
所以直线EF与平面ABCD所成的角的大小等于直线PA与平面ABCD所成的角的大小.
因为侧面PAD⊥底面ABCD,
所以∠PAD即为直线PA与平面ABCD所成的角,
又△PAD为等腰直角三角形,且PA⊥PD,
所以∠PAD=,所以直线EF与平面ABCD所成的角的大小为.
14.解:(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,
所以DE∥BF,
因为PF⊥BF,所以PF⊥DE,
又PF⊥PD,PD∩DE=D,
所以PF⊥平面PED,
又PF 平面BFP,所以平面PED⊥平面BFP.
(2)连接EF,由E,F分别是AD,BC的中点,
得AE=AD,BF=BC,
因为四边形ABCD为正方形,所以EF⊥BF.
因为PF⊥BF,EF∩PF=F,
所以BF⊥平面PEF,
因为BF 平面ABCD,BF 平面BPF,
所以平面PEF⊥平面ABCD,平面PEF⊥平面BPF.
由(1)知,PF⊥平面PDE,所以PF⊥PD,PF⊥PE,
所以∠EPD就是二面角E-PF-D的平面角.
在Rt△DEP中,设PD=2a,则DE=a,
所以sin∠EPD=,所以∠EPD=30°,所以二面角E-PF-D的大小为30°.
又二面角E-PF-B的大小为90°,所以二面角D-PF-B的大小为120°.(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.已知直线l1⊥平面α,直线l2 平面α,则下列结论一定不正确的是 (　 )
A.l1,l2相交 B.l1,l2异面
C.l1∥l2 D.l1⊥l2
2.[2024·长沙雅礼中学高一月考] 已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列说法中正确的是 (　 )
A.若m∥α,m∥β,则α∥β
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ
D.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γ
3.已知a,b是两条不同的直线,且a∥平面α,则“b⊥α”是“a⊥b”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2,VC=1,则二面角V-AB-C的大小为 (　 )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
5.[2024·江苏连云港锦屏高级中学高一期末] 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=BC=1,AD=2,PB与平面ABCD所成的角为,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=∠ABC=,则点A到平面PBC的距离为 (　 )
A. B.2
C. D.
6.在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图①的方式进行拼接,然后他又将三角板ABC沿BC折起,使得二面角A-BC-D为直二面角,得到如图②所示的四面体ABCD,则下列结论不正确的是 (　 )
A.CD⊥平面ABC
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面ABD⊥平面BCD
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.[2024·南昌高一期末] 如图,在三棱锥O-ABC中,OA=OC=OB=1,OA⊥平面OBC,∠BOC=,则下列结论正确的是 (　 )
A.直线AB与平面OBC所成的角为
B.二面角O-BC-A的正切值为
C.点O到平面ABC的距离为
D.OC⊥AB
8.[2024·福建武夷山一中高一月考] 如图,已知四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥平面ABCD,则下列结论中正确的是 (　 )
A.AC⊥SB
B.AD⊥SC
C.平面SAC⊥平面SBD
D.BD⊥SA
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=,AA1=,则异面直线AC1与BB1所成的角为　　　　.
10.[2024·山东潍坊高一期末] 已知底面ABCD为正方形的四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一个球面上,PD⊥BC,AB=2,PB=3,PD=1,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积为　　　　.
11.[2023·长沙高一期末] 如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=13,平面PAB⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,则PC=　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=4,E为BC的中点.
(1)求证:DE⊥平面PAE;
(2)求直线DP与平面PAE所成的角.
13.(15分)[2024·江苏新海高级中学高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=BD,E,F分别为PC,AC的中点.
(1)求证:平面PAB⊥平面PDC;
(2)求直线EF与平面ABCD所成的角的大小.
14.(15分)如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,得到四棱锥P-ABFD,且PF⊥BF.
(1)证明:平面PED⊥平面BFP;
(2)求二面角D-PF-B的大小.

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