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2.2圆的对称性课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，是的直径，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（　　）
A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米
3．如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，则半径的长度为（ ）寸．
A．5 B．8 C．12 D．13
8．的半径为，弦，，则和的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
9．如图，过、，圆心在等腰直角的内部，，，的半径为，则的长为 ．
10．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ．
11．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为 ．
12．如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，，则的度数等于 ．
三、解答题
13．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长，相交于点
求证：；
若，，求的半径．
14．如图，在中，长度为的弦与直径交于点，已知，且．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
15．在中．
(1)如图1，是的直径，求证：直径是中最长的弦．
(2)如图2，点是内一点，，的半径是5，若过点的弦的长度为，且为整数，求的值．
(3)如图3，为的直径，为上两动点（不与重合），且为定长，于点是的中点，求的最大值．
16．如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径．
17．如图，内接于，是的直径，，垂足为D．
(1)求证：；
(2)已知的半径为5，，求长．
18．如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)若，求的半径；
(2)求证：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．B
5．D
6．D
7．D
8．C
二、填空题
9．6
10．
11．或
12．
三、解答题
13．【详解】（1）证明：点F为弦的中点，
，
是的垂直平分线，
（2）① 证明：点F为弦的中点，
，
，
又是的直径，
，
，
，
，
由得，
是等腰三角形，
点F为的中点，
平分，
，
②解：连接，则，如图所示，
，
，
由①得，
，
，
，
，
，
设的半径为r，则，
，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
的半径为
14．【详、解】（1）证明：连接、，
，
，
是的垂直平分线，
；
（2）解：设半径为，
，，
，
，
，
，
解得：，
故的半径长为．
15．【解】（1）证明：如图，作一条非直径的弦，连，
，
，
即，
∴直径是最长的弦．
（2）解：如图，过点作，
∴，
∵，的半径是5，
∴最短的弦与垂直是，
而由(1)知最长的弦长为，
∴，
∴取6，7，8，9，10；
（3）解：延长交于点，连接，
，
点为中点，
点是中点，
为中位线，即，
的最大值为直径，长度为4，
的最大值为2．
16.【解】（1）解：连接，．
∵，经过点，
∴，，且．
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点H，连接．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
在中
由勾股定理得：，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
∴．
解得：．
17．【解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的半径为5，，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴．
18．【解】（1）解：∵是的半径，是的弦，，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为；
（2）证明：∵，
∴，
由（1）得，
∴，
∴．
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