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滚动习题(七)
A　[解析] 设圆柱的底面半径为r,高为h,依题意可得2rh=10,所以圆柱的侧面积S侧=2πrh=10π.故选A.
2.C　[解析] 由题意知,∠C'O'B'=45°,O'A'=O'B'=1,则O'C'=,将直观图还原为原图,如图,此时四边形ABCD为平行四边形,在平行四边形ABCD中,OC=2O'C'=2,OB=1,则AD=BC==3,所以原四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=10.故选C.
3.D　[解析] 对于A,若m∥β,α∥β,则m∥α 或m α,故A错误;对于B,若m⊥β,α⊥β,则m∥α 或m α,故B错误;对于C,若m∥β,α⊥β,则m与α可能平行、相交或m在α内,故C错误;对于D,若m∥β,m⊥α,则α⊥β,故D正确.故选D.
4.D　[解析] 如图,连接A1C1,BC1,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V=2×2×AA1=8,则AA1=2,因为AC∥A1C1,所以∠C1A1B或其补角即为异面直线AC与A1B所成的角.A1B=BC1==4,A1C1==2,由余弦定理得cos∠C1A1B==.故选D.
5.D　[解析] 设AA1,BB1,CC1,DD1的中点分别为A2,B2,C2,D2,如图所示,由题可知,四边形AA1B1B为等腰梯形,设A1B1=a,因为AB=2A1B1,所以AB=2a,A2B2==.设棱台A1B1C1D1-A2B2C2D2的高为h,体积为V1,棱台A1B1C1D1-ABCD的高为2h,体积为V,则V1=h=a2h,V=(a2+4a2+2a2)·2h=a2h,所以=.设该“方斗”可盛米的总质量为x kg,则=,可得x=112,所以该“方斗”可盛米的总质量为112 kg.故选D.
6.D　[解析] 连接AB1,B1D1,AD1,A1C1,A1C,如图所示,因为P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点,所以MP∥AB1,B1D1∥MN,又MP 平面AB1D1,AB1 平面AB1D1,所以MP∥平面AB1D1,又MN 平面AB1D1,B1D1 平面AB1D1,所以MN∥平面AB1D1,又MP∩MN=M,MP,MN 平面MNP,所以平面MNP∥平面AB1D1,所以垂直于平面MNP的直线一定垂直于平面AB1D1.显然CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1 平面A1B1C1D1,所以B1D1⊥CC1,又B1D1⊥A1C1,A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1 平面A1C1C,所以B1D1⊥平面A1C1C,又A1C 平面A1C1C,所以A1C⊥B1D1.同理可得,A1C⊥AB1,又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,所以A1C⊥平面AB1D1,所以A1C⊥平面MNP.故选D.
7.ABC　[解析] 对于A,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD⊥CD,且CD 平面BCD,所以CD⊥平面ABD,又CD 平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;对于B,因为CD⊥平面ABD,AB 平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;对于C,因为AB=AD=1,BD=,所以AB2+AD2=BD2,所以AB⊥AD,又AB⊥CD,且AD∩CD=D,所以AB⊥平面ACD,又AB 平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;对于D,因为CD⊥平面ABD,AD 平面ABD,所以AD⊥CD,若AD⊥平面ABC,则由AC 平面ABC,得AD⊥AC,这与AD⊥CD矛盾,故D不正确.故选ABC.
8.BD　[解析] ∵B1C⊥BC1,B1C⊥AB,BC1∩AB=B,∴B1C⊥平面ABC1D1,只有当E运动到线段B1C的中点时,AE⊥B1C才成立,故A错误.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面A1B1C1D1,∴DD1⊥A1C1,又易知BD1⊥A1C1,BD1∩DD1=D1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,∴A1C1⊥B1D,同理可得BC1⊥B1D,又A1C1∩BC1=C1,∴直线B1D⊥平面A1BC1,故B正确.连接BD,∵AD1∥BC1,∴∠OC1B(或其补角)即为异面直线AD1与OC1所成的角,∵正方体的棱长为2,∴BC1=2,OB=,在Rt△C1OB中,OC1=,∴cos∠OC1B==,∴∠OC1B=,故C错误.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱CC1上的动点,Q为棱AA1的中点,直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线,且BD∥B1D1,∴m∥B1D1,又m 平面B1D1Q,B1D1 平面B1D1Q,∴m∥平面B1D1Q,故D正确.故选BD.
9.　[解析] 设圆锥的母线为l,底面圆的半径为r,高为h,则l=2,且πrl=πl2,∴r=l=1,∴此圆锥筒的高h==.
10.　　[解析] 设AT=x,A1T=y,则x+y=1,由题意可知,PO∥SR,OT∥QR,PQ∥TS,则△DOP∽△B1RS,又因为DP=DO=1,=,所以B1S=B1R=,所以A1S=C1R=,由△ATO∽△C1QR,可得=,所以C1Q=x,由△A1TS∽△CQP,可得=,所以CQ=y,则x+y=1,结合x+y=1,解得x=,y=,所以AT=.
11.②③④　[解析] 对于①,若点F与点C重合,显然不满足CD⊥OF,故①错误;对于②,如图,若点F为PC的中点,取PD的中点E,连接EF,OF,AE,则EF∥CD且EF=CD,所以EF∥AO且EF=AO,则四边形AOFE为平行四边形,所以OF∥AE,又OF 平面PAD,AE 平面PAD,所以OF∥平面PAD,故②正确;对于③,因为O为AB的中点,且PO⊥底面ABCD,过O作OH⊥AC于H,连接PH,则∠PHO即为二面角P-AC-B的平面角,由题得PO=,OH=,所以tan∠PHO===,故③正确;对于④,因为PO⊥底面ABCD,PO 平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD,故④正确.故填②③④.
12.解:(1)设AB=a,由题意可知,V=a3=8,则a=2,则正方体的表面积S=6a2=24.
(2)==×S△ABC×AA1=××2×2×2=,所以三棱锥A-O1BC的体积为.
(3)==×S△ABC×BB1=××2×2×2=.
因为==S△ABC=×2×2=2,=AC·AB1·sin 60°=2,
所以三棱锥B-AB1C的表面积S'=3×2+2=6+2.
设三棱锥B-AB1C内切球的半径为r,
由=S'r,得r===,
所以三棱锥B-AB1C的内切球的半径为.
13.证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,连接EF,
由E,F分别为PD,PA的中点,得EF∥AD,且EF=AD,
又BC∥AD,且BC=AD,所以EF∥BC,且EF=BC,
所以四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,
又CE 平面PAB,BF 平面PAB,所以CE∥平面PAB.
(2)由=,得O是AD的中点,
又F为PA的中点,所以FO∥PD,
又PD 平面CDE,FO 平面CDE,所以FO∥平面CDE.
由(1)知,CE∥BF,
因为CE 平面CDE,BF 平面CDE,所以BF∥平面CDE,
又BF∩FO=F,BF,FO 平面BOF,
所以平面BOF∥平面CDE.
14.解:(1)证明:易知OD⊥OC,因为OD 平面FOCD,
平面FOCD⊥平面EBCO,平面FOCD∩平面EBCO=OC,
所以OD⊥平面EBCO,
又BC 平面EBCO,所以OD⊥BC.
因为Q为BC的中点,所以OQ⊥BC,
又OD∩OQ=O,OD,OQ 平面ODQ,
所以BC⊥平面ODQ,
又BC 平面BCD,所以平面ODQ⊥平面BCD.
(2)设EQ∩OB=G,连接DG,OQ,
易知四边形OEBQ是边长为2的正方形,所以OB⊥EQ.
由(1)知OD⊥平面EBCO,因为EQ 平面EBCO,
所以OD⊥EQ,又OD∩OB=O,OD 平面BOD,OB 平面BOD,所以EQ⊥平面BOD,
又DG 平面BOD,所以EQ⊥DG,所以∠DGB即为二面角D-EQ-B的平面角.
在Rt△DOB中,BD===4,
在Rt△DOG中,DG===,
又GB=,所以在△BGD中,由余弦定理得cos∠DGB===-,
所以sin∠DGB==,
故二面角D-EQ-B的平面角的正弦值为.(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
1.[2024·江苏如皋高一期末] 四等分切割如图所示的圆柱,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积是 (　 )
A.10π B.20π
C.10 D.20
2.[2024·浙江鄞州中学高一期末] 一个水平放置的平面四边形ABCD,用斜二测画法画出的直观图为如图所示的矩形A'B'C'D',已知A'B'=2,O'是A'B'的中点,则原四边形ABCD的周长为 (　 )
A.6 B.8
C.10 D.4+2
3.已知m是一条直线,α,β是两个不同的平面,下列结论正确的是 (　 )
A.若m∥β,α∥β,则m∥α
B.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
C.若m∥β,α⊥β,则m⊥α
D.若m∥β,m⊥α,则α⊥β
4.[2024·北京清华附中高一期末] 已知底面边长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为8,则直线AC与A1B所成角的余弦值为 (　 )
A. B. C. D.
5.[2024·安徽师大附中高一月考] “方斗”常作为盛米的一种容器,其形状是一个上大下小的正四棱台,现有“方斗”容器如图所示,已知AB=2A1B1,现往容器里加米,当米的高度是“方斗”高度的一半时,用米38 kg,则该“方斗”可盛米的总质量为 (　 )
A.152 kg B.133 kg
C.114 kg D.112 kg
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点,则下列选项中与平面MNP垂直的直线是 (　 )
A.A1B B.A1D
C.AC1 D.A1C
二、多项选择题:本大题共2小题,每小题6分,共12分.
7.如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中正确的是 (　 )
A.平面ACD⊥平面ABD
B.AB⊥CD
C.平面ABC⊥平面ACD
D.AD⊥平面ABC
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为线段B1C上的动点,O为AC的中点,P为棱CC1上的动点,Q为棱AA1的中点,则以下选项中正确的有 (　 )
A.AE⊥B1C
B.直线B1D⊥平面A1BC1
C.异面直线AD1与OC1所成角的大小为
D.若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线,则m∥平面B1D1Q
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
9.如果用半径为2的半圆形铁皮卷成一个无底圆锥筒,那么此圆锥筒的高为　　　　.
10.[2024·安徽阜阳红旗中学高一月考] 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=1.一平面截该长方体所得截面为六边形OPQRST,其中O,P分别为AD,CD的中点,=,则B1S=　　　　,AT=　　　　.
11.[2024·北京房山区高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,△PAB是等边三角形,O为AB的中点,且PO⊥底面ABCD,点F为棱PC上一点.给出下面四个结论:
①对任意点F,都有CD⊥OF;
②存在点F,使OF∥平面PAD;
③二面角P-AC-B的正切值为;
④平面PAB⊥平面ABCD.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
四、解答题:本大题共3小题,共43分.
12.(13分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8.
(1)求正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积;
(2)设上底面A1B1C1D1的中心为O1,求三棱锥A-O1BC的体积;
(3)求三棱锥B-AB1C的内切球的半径.
13.(15分)[2024·河北邯郸高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,AB⊥BC,2AB=2BC=AD=2,设E,F分别为PD,PA的中点,=.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)证明:平面BOF∥平面CDE.
14.(15分)如图①,已知正方形ABCD的中心为O,边长为4,E,F,Q分别为AB,AD,BC的中点,从中截去小正方形AEOF,将梯形FOCD沿OC折起,使平面FOCD⊥平面EBCO,连接DE,DB,得到图②.
(1)证明:平面ODQ⊥平面BCD;
(2)求二面角D-EQ-B的平面角的正弦值.

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