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2.3确定圆的条件课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
2．下列语句中，正确的是（　　）
A．长度相等的弧是等弧 B．在同一平面上的三点确定一个圆
C．直径是弦 D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
3．如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（ ）
A．2 B． C． D．
4．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8 B． C． D．4
5．如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（ ）
A．8 B．2 C．3.5 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为 ．
10．三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为 ．
11．已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为 ．
12．如图，是的外接圆，弦交于点，，，过点作于点，延长交于点，若，，则的长为 ．
三、解答题
13．如下图，在平面直角坐标系中，是上的三个点．
(1)直接写出圆心M的坐标：________．
(2)求的半径．
(3)判断点与的位置关系．
14．如图，已知中，，．
(1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求圆O的半径R．
15．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请找出截面的圆心O．（尺规作图不写画法，保留作图痕迹．）
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为，求这个圆形截面的半径．
16．如图，已知，，是高．
(1)求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，．求外接圆的半径．
17．已知圆是等边三角形的外接圆，P是圆上异于的一点
（1）如图，若，直线与直线的交点为，连接，求的长度
（2）若，猜想的数量关系并证明．
18．在中，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接．
(1)如图1，点是的中点，连接，当为等边三角形时，的度数是　　；
(2)如图2，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，当时，直接写出面积的最大值及此时线段的长．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．C
5．A
6．B
7．D
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．7
三、解答题
13．【解】（1）解：如图，圆心的坐标为，
故答案为：．
（2）解：，
即的半径为．
（3）解：，
，
∴点与的位置关系是点D在内．
14．【解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：连接交于点D．
设．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：
∴圆O的半径为：．
15．【解】（1）解：如图，点O即为所求，
（2）解：如图，连接，交于点E，交弧于点D，
∴，
由题意得，，
设半径为，则，
在中，，
∴，
解得，
∴这个圆形截面的半径．
16．【解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：连接，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴外接圆的半径为．
17．【解】解：（1）是等边三角形，所以
所以
在中，
故的长度是4．
（2）由题意得点在，结论
证明，如图，在上取一点，使得，连接
是等边三角形
．
18．【解】（1）解：∵，，点是的中点，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：线段之间的数量关系为：，理由如下：
过点作交的延长线于点，如图2所示：
则，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，如图3所示：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外接圆，
∴是的中点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是定值，
∴点到的距离最大时，面积的面积最大，
∵是的直径，
过点作于，延长与的交点恰好是点时，点到的距离最大，面积的面积最大，
∵，
∴，
∵，
∴，
此时，在中，，
在中，，
在中，，
由（2）知，，
∴
∴（舍去不符合题意），
∴，
即面积的面积最大值为，此时，．
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