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模块素养测评卷(一)
1.B　[解析] i(i-1)=i2-i=-1-i.故选B.
2.B　[解析] 由正弦定理得=,即=,解得sin C=,因为AC>AB,所以00,所以cos C==.故选B.
3.C　[解析] 由题意可知,球的半径R=24 cm,上球冠的高h1=6 cm,下球冠的高h2=4 cm,设下底面圆的半径为r,则r2=242-202=176,所以该瓷器的外表面积为4π×242-2π×24×6-2π×24×4+π×176=2000π≈6280(cm2).故选C.
4.A　[解析] 由c=2bcos A及正弦定理得sin C=2sin Bcos A,即sin(A+B)=2sin Bcos A,即sin Acos B+cos Asin B=2sin Bcos A,即sin Acos B=sin Bcos A,可得sin(A-B)=0,又A-B∈(-π,π),所以A=B,所以△ABC的形状一定是等腰三角形.故选A.
5.B　[解析] 在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,AC∩BD=O',连接PO',如图,则PO'⊥平面ABCD,∠PAO'为侧棱PA与底面ABCD所成的角,则∠PAO'=45°,可得O'P=O'A=O'B=O'C=O'D=2,所以顶点P,A,B,C,D在以O'为球心,2为半径的球面上,即点O与O'重合,所以球O的体积V=π×23=π.故选B.
6.C　[解析] 因为γ∥平面A1BD,γ∩平面ABCD=l,平面A1BD∩平面ABCD=BD,所以BD∥l,所以∠A1BD或其补角即为直线l和直线A1B所成的角.在△A1BD中,A1B==,BD==,A1D==,由余弦定理得cos∠A1BD===,所以直线l和直线A1B所成角的余弦值为.故选C.
7.C　[解析] ∵b2=ac,a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中,由余弦定理得cos A===,∴A=60°,由正弦定理=,得sin B=,∴==.
8.C　[解析] 由题意知,过A,B,C,D四点的球的直径为以D为顶点,以DB,DC,DA分别为长、宽、高的长方体的体对角线的长,易知DA=,DB=DC=1,则球的半径R=×=,所以球的表面积S=4π×=5π.故选C.
9.AD　[解析] 对于A,i2021+i2022+i2023+i2024=i1+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,故A正确;对于B,复数z=-3+i的虚部为1,故B错误;对于C,设复数z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,若z1z2∈R,则ad+bc=0,故C错误;对于D,若复数z满足|z-3i|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹是以点(0,3)为圆心,以2为半径的圆,故D正确.故选AD.
10.ABD　[解析] 由sin A-bsin B=(c+b)sin C及正弦定理得a-b2=(c+b)c,因为a=1,所以a2=b2+c2+bc,由余弦定理得cos A==-.对于A,因为011.BD　[解析] 对于A,∵AB∥CD∥EF,∴C,D,F,E四点共面,假设DF∥平面BCE,则DF∥CE,可得四边形CDFE为平行四边形,则CD=EF=AB,与已知矛盾,故A错误;对于B,∵AB∥DC,∴异面直线BF与DC所成的角即为∠ABF,连接OF,OE,则在等腰梯形AFEB中,∠AOF=∠FOE=∠EOB=60°,则∠BAF=60°,则∠ABF=30°,故B正确;对于C,在△BEF中,BE=FE=1,BF=,∵BC=1且BC⊥底面ABEF,∴CE=,CF=2,EF=1,∵CE2+EF212.2　[解析] 由a2+b2=4(a+b)-8,得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =4+4-2×2×2×=4,所以c=2.
13.1　　[解析] 由题易知B1C∥平面DED1,所以直线B1C到平面DED1的距离即为点B1到平面DED1的距离,即为B1A1=1.因为点E在AA1上,所以=×1×1=,因为点F在B1C上,所以点F到平面DED1的距离为1,即三棱锥F-DED1的高h=1,所以==××h=××1=.
14.-　[解析] 如图,作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,作DG∥EF且DG=EF.连接BG,EG,则四边形EFDG是平行四边形,所以GE∥DF且GE=DF,所以GE⊥AC,所以∠BEG是二面角B-AC-D的平面角.BE==12,所以GE=DF=BE=12.易知DG⊥平面BEG,所以DG⊥BG,在Rt△BCE中,BC=15,BE=12,所以CE=9,又AF=CE,AC==25,所以EF=AC-CE-AF=7,所以GD=7,又BD=,所以BG==12,在△BEG中,由余弦定理得cos∠BEG==-.
15.解:(1)证明:由+=及正弦定理得+=,
变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以sin Asin B=sin C.
(2)由余弦定理得cos A===,所以sin A==.
由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin B=cos B+sin B,即sin B=4cos B,所以tan B==4.
16.解:(1)如图,正四棱台的侧面是全等的等腰梯形,分别取B1C1,BC的中点M,N,连接O1M,ON,MN,
过点M作MH⊥ON,交ON于点H.
则O1O=MH=30 cm,O1M=10 cm,ON=20 cm,HN=10 cm,
所以MN===10 (cm),
所以四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积S=202+402+4××(20+40)×10=2000+1200(cm2).
(2)若将这块铁料最大限度打磨为一个圆台,则圆台OO1的上、下底面圆与正四棱台的上、下底面正方形相切,高为正四棱台的高.
则圆台OO1上底面圆的半径O1Q=10 cm,下底面圆的半径OP=20 cm,高O1O=30 cm,
则圆台OO1的体积V1=π(102+202+10×20)×30=7000π(cm3).
又正四棱台的体积V=×(202+402+)×30=28 000(cm3),
所以磨去部分的体积V2=V-V1=28 000-7000π(cm3),
所以磨去部分与圆台的体积之比为=.
17.解:(1)证明:如图所示,连接BD,与AC交于点O,
因为O,E分别为BD,DD1的中点,
所以OE∥BD1,
又OE 平面ACE,BD1 平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
(2)由(1)知OE∥BD1,则∠AEO或其补角即为异面直线AE与BD1所成的角,
连接B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
因为AC⊥BD,AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,
所以AC⊥平面B1BDD1,
又OE 平面B1BDD1,所以AC⊥OE,
所以△AOE是直角三角形.
设正方体的棱长为a,则DO=a,OE=a,AE=a,
所以cos∠AEO===,
故异面直线AE与BD1所成角的余弦值为.
18.解:(1)∵2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,
∴(2Rsin A)2-(2Rsin C)2=(a-b)·2Rsin B,
由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,
即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cos C===,
又0(2)∵=sin2A-(sin B-sin C)2,
∴S=4R2sin2A-(2Rsin B-2Rsin C)2,
由正弦定理及三角形面积公式得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=bcsin A,
∴b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A,
∴2cos A=2-sin A,
结合sin2A+cos2A=1,可得sin A=,
由正弦定理得c===.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,
代入a=4,c=,cos C=cos=,可得b=.
故△ABC的面积S=absin=.
19.解:(1)证明:如图①,取PE的中点H,连接HD,HF,
∵点E,F分别为AB和PB的中点,底面ABCD是平行四边形,
∴HF∥AB∥DC,HF=EB=AB=DC,
∴H,F,C,D四点共面.
∵DA=DB=,AB=2,
∴△ADB为等腰直角三角形,∴DE=1,
又PD=PE=1,∴△PDE为等边三角形,∴DH⊥PE,
∵PA=PB,E为AB的中点,∴PE⊥AB,∴PE⊥DC,
又DH∩DC=D,DH,DC 平面DHFC,∴PE⊥平面DHFC,
又CF 平面DHFC,∴PE⊥CF.
(2)如图②,取PD的中点N,连接AN,BN,
∵PA=PB,PE=1,AB=2,PE⊥AB,∴PA=PB=,
∵DA=DB=,PD=1,
∴AN⊥PD,BN⊥PD,AN=BN=,
∴∠ANB即为二面角A-PD-B的平面角.
在△ANB中,由余弦定理得cos∠ANB===-,
∴sin∠ANB==,
∴二面角A-PD-B的平面角的正弦值为.
(3)在图①中,取DC上靠近点C的四等分点M,连接HM,如图③,
由(1)知,HF∥AB∥DC,HF=EB=AB=DC,
∴HF∥MC,HF=MC,∴CF∥MH,
∴直线MH与平面PDE所成的角即为直线CF与平面PDE所成的角.
∵PA=PB,DA=DB=,E为AB的中点,
∴PE⊥AB,DE⊥AB,
又PE∩DE=E,PE,DE 平面PDE,
∴AB⊥平面PDE,∴DC⊥平面PDE,
∴∠MHD即为直线MH与平面PDE所成的角.
∵DM=,DH=,∴HM=,
∴sin∠MHD===,∴直线CF与平面PDE所成角的正弦值为.模块素养测评卷(一)
全书内容
(时间:120分钟　分值:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2024·合肥一六八中学高一期末] 若i是虚数单位,则复数i(i-1)的虚部是 (　　)
A.-i B.-1
C.i D.1
2.[2024·浙江绍兴诸暨中学高一月考] 在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos C= (　　)
A. B.
C.- D.±
3.随着古代瓷器工艺的高速发展,在著名的宋代五大名窑之后,又增加了三种瓷器,与五大名窑并称为“中国八大名瓷”,其中最受欢迎的是景德镇窑.如图,景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分,其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底,垂直于圆面的直径被截得的部分是高,其面积公式为S=2πRh,其中R为球的半径,h为球冠的高).已知瓷器的高为38 cm,在高为20 cm处有最大直径(外径)为48 cm,则该瓷器的外表面积约为(参考数据:π≈3.14) (　　)
A.6270 cm2 B.6275 cm2
C.6280 cm2 D.6300 cm2
4.[2023·北京陈经纶中学高一月考] 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bcos A,则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
5.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°,顶点P,A,B,C,D在球O的球面上,则球O的体积是 (　　)
A.16π B.π C.8π D.π
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=3AB=3,过顶点C1作平面γ,使得γ∥平面A1BD,若γ∩平面ABCD=l,则直线l和直线A1B所成角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D.
7.[2023·哈尔滨九中高一月考] 在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,已知b2=ac,且a2-c2=ac-bc,则的值为 (　　)
A. B. C. D.
8.在边长为2的等边三角形ABC中,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B-AD-C,则过A,B,C,D四点的球的表面积为 (　　)
A.3π B.4π C.5π D.6π
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2024·重庆朝阳中学高一期末] 已知i是虚数单位,以下四个说法中正确的是 (　　)
A.i2021+i2022+i2023+i2024=0
B.复数z=-3+i的虚部为i
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.已知复数z满足|z-3i|=2,则z在复平面内对应的点的轨迹为圆
10.[2024·河南三门峡高一期末] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,外接圆的半径为R.若a=1,且sin A-bsin B=(c+b)sin C,则 (　　)
A.A=
B.△ABC的面积的最大值为
C.R=
D.BC边上的高的最大值为
11.如图所示,已知AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,A B∥EF,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直,且AB=2,AD=EF=1,则 (　　)
A.DF∥平面BCE
B.异面直线BF与DC所成的角为30°
C.△EFC为直角三角形
D.V三棱锥C-BEF∶V四棱锥F-ABCD=1∶4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C=,a2+b2=4(a+b)-8,则c=　　　　.
13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为AA1,B1C上的点,则直线B1C到平面DED1的距离为　　　　,三棱锥D1-EDF的体积为　　　　.
14.在矩形ABCD中,AB=20,BC=15,沿对角线AC将△ABC折起,使得BD=,则二面角B-AC-D的余弦值是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(1)证明:sin Asin B=sin C;
(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B的值.
16.(15分)[2024·福建莆田二十五中高一期末] 如图①是一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1的铁料,上、下底面的边长分别为20 cm和40 cm,高为30 cm.
(1)求四棱台ABCD-A1B1C1D1的表面积;
(2)若将这块铁料最大限度打磨为一个圆台,如图②,求磨去部分与圆台的体积之比.
17.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为DD1的中点.
(1)求证:BD1∥平面ACE;
(2)求异面直线AE与BD1所成角的余弦值.
18.(17分)[2023·河北保定一中高一期末] 已知△ABC的面积为S,其外接圆的半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B.
(1)求角C的大小;
(2)若=sin2A-(sin B-sin C)2,a=4,求c的值及△ABC的面积.
19.(17分)[2024·杭州二中高一期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA=PB,DA=DB=,点E,F分别为AB,PB的中点,AB=2,PD=PE=1.
(1)证明:CF⊥PE;
(2)求二面角A-PD-B的平面角的正弦值;
(3)求直线CF与平面PDE所成角的正弦值.

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