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1.4用一元二次方程解决问题课后培优提升训练苏科版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感.
A．1372 B．343 C．1512 D．2744
2．开学季，数学兴趣小组调查了学校门口的一家文具店，发现这家文具店第一天利润是300元，第三天利润是507元．设该文具店的利润日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
4．两个连续奇数的积是255．下列的各数中，是这两个数中的一个的是（ ）
A． B．5 C．17 D．51
5．某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ．
10．某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌．
11．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ．
12．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题
13．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
14．为迎接德强中学办学三十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为100元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该文化衫每次降价的百分率；
(2)若该文化衫每件的成本价为70元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于4400元？
15．如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为．
(1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）．
(2)当时，求的值．
(3)连接，当时，求的值．
(4)当点在边上，且时，直接写出的值．
16．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价0.1元，其销售量就减少1个，若设这种商品每个涨价x元．
(1)用含x的代数式表示．
①每个商品的实际利润是 元；
②实际的销售量是 个．
(2)为了赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个售价应定为多少？
17．为迎接即将到来的暑假旅游高峰，长沙文旅计划在五一广场打造一个“湖南特色食品展”，如图，若使用34米长的挡板，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米）围成展示区矩形，与墙平行的边上预留一个2米宽的入口方便游客出入．
(1)如果要围成面积为144平方米的展示区，那么的长为多少米？
(2)为尽可能容纳更多的游客，展示区面积能否拓展为180平方米？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
18．现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）
(1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高；
(2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．2或4．
三、解答题
13．【解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
依题意得：
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人；
（2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）．
答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信．
14．【解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该文化衫每次降价的百分率为；
（2）解：设要售出y件，总利润才能不低于4400元，
由题意得：，
解得，
答：至少要售出400件，总利润才能不低于4400元．
15．【解】（1）解：∵在矩形中，，．
∴
由题意可得：，则．
故答案为：，．
（2）解：如图：当时，点P在上，点Q在上，，
所以的面积为．
（3）解：由题意可得：， ，
∵，
∴，解得：，
如图：当时，点P在上，点Q在上，，
所以的面积为．
（4）解：如图：∵点在边上，，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去），
∴的值为7．
16．【解】（1）解：①∵ 进货单价为元，原售价元，涨价元，
∴ 每个商品的实际利润是元，即元．
②∵ 每个涨价元，销售量就减少个，涨价元，
∴ 销售量减少个，
又∵ 原销售量为个，
∴ 实际的销售量是个，即个．
（2）解：根据题意得
，
展开得：，
移项整理得：，
因式分解得：，
解得，．
∵ 要尽量兼顾顾客的利益，即售价应尽量低，
∴取，此时售价为（元）．
答：每个售价应定为元．
17．【解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
设，则由题意得，
∴，
解得：或
当时，，故不符合题意；
当时，符合题意，
∴的长为米；
（2）解：不能，理由如下：
假设展示区面积拓展为180平方米，
则
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴展示区面积不能拓展为180平方米．
18．【解】（1）解：设该长方体盒子的高为，
由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该长方体盒子的高为；
（2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，
由题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：每个有盖盒子应降价4元．

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