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1.3反比例函数的应用课后培优提升训练湘教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（ ）
A． B． C．8 D．4
3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，当函数时，自变量x的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
5．在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，点在上，，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点，若的面积为4.5，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ．
10．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，交y轴于点C，连接AC，若的面积为5，则k的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是 ．
12．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点．则关于x的不等式的解集是 ．
三、解答题
13．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出使一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围．
14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，直线与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点为线段上的一个动点，设的面积为，当时，求点的坐标．说明理由．
15．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式及n的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3)若P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
16．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出中x的取值范围；
(3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
17．直线与反比例函数的图像分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)观察图像，当时，直接写出的解集，
(3)若点是轴上一动点，当的面积是8时，求出点的坐标．
18．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．
(1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
(2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．C
4．C
5．D
6．D
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．
11．4
12．或．
三、解答题
13．【解】（1）解：把点代入反比例函数中，
即，解得，
∴反比例函数解析式为，
把点代入反比例函数中，
即，解得．
∴点，
把点、点代入中，
得：，解得：，
∴一次函数解析式为．
（2）解：由（1）知，一次函数解析式为．
令，即，解得，
∴记直线与轴交点坐标为，
．
（3）解：一次函数值大于反比例函数值时，
其对应一次函数图象在反比例函数图象上方部分，
即或．
14．【解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的坐标为，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
把代入得到，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把点的坐标代入得到
，
∴点的坐标，
令，则，解得，
则C坐标为，
设P，过点作于点，
当点P在点的右侧时，即时，则
解得，
当点P在点的左侧或与点E重合时，即时，则
解得（不合题意，舍去），
综上可知，，点的坐标为．
15．【解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
由图象可得：的解集为：或；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴．
16．【解】（1）解：∵的面积为4，
∴，
解得，，或（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，，
；
（2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方，
那么不等式的解集为或；
（3）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，
此时取得最大值，
则直线与y轴的交点即为所求的点P，
∵点关于y轴的对称点，
又，
设直线的关系式为，
则有，
解得，，
∴直线的关系式为；
∴直线与y轴的交点坐标为，
即点P的坐标为．
17．【解】（1）点和点在图象上，
，，
即，
把，两点代入中得
，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵由（1）得点，点，
∴由图象可得当时，的解集为
（3）解：由（1）得直线的解析式为，
当时，，
点坐标为
设P点坐标为，则
的面积是8
，
，
，
解得或，
P的坐标为或，
∴点P的坐标为或时，的面积是8．
18．【解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
∴与之间的函数表达式为，
当时，，
∴与之间的函数表达式为
（2）解：设当时，与之间的函数表达式为，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，解得，
对于，
当时，，
∵，
∴一个加热周期内，水温不低于的时间为．
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