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1.4二次函数的应用课后培优提升训练浙教版2025—2026年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加（ ）
A． B．
C． D．
4．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（ ）
A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元
5．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过t（单位：s）时球距离地面的高度h（单位：m）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴交于点C，若抛物线的对称轴是y轴，则等于（）
A．1﹕2 B．1﹕3 C．1﹕4 D．3﹕4
8．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（ ）
B．
C．或 D．
二、填空题
9．某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售单价（为偶数）提高 元．
10．一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒．
11．如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ．
12．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
三、解答题
13．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
(1)若该函数图象经过点，求点的横坐标；
(2)若，点和在该函数图象上，证明：；
(3)若是等腰三角形，求的值．
14．如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？
(2)当的长为多少厘米时，矩形面积最大？
15．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
16．某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个，经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个，若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务．
(1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式；
(2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
17．投壶 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离．
(3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
(1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值；
(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．D
5．B
6．B
7．B
8．D
二、填空题
9．8或10
10．
11．4
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或或.
14．【解】（1）解：设的长为x厘米，则有厘米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，
∴当的长为10厘米时，矩形面积最大．
15．【解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为（为常数，且），
将点的坐标代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的表达式为，
当时，，
解得或，
可设计赛道的宽度为，
，
最多可设计龙舟赛道的数量为4条．
16．【解】（1）解：由题意可得，，
即周销售量（个）与售价（元/个）之间的函数关系式是：，
市场售价不得低于元/个，即，
商场每周完成不少于个的销售任务，
由题意得：，
即，
∴售价的取值范围是，
∴；
（2）解：由题意可得，；
（3）解：∵；
∴二次项系数，顶点的横坐标为：，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，，
答：当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元．
17．【解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为，
∴抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，
解得或（舍），
∵四边形是矩形，
∴，
∴（米），
∴人离壶的距离为米；
（3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，
当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入，
得，
解得，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：当时，，
解得：，，
，，
对称轴为直线；
（2）解：直线过，
，
即，
直线，
抛物线与直线交于点，，
，
即，
，
点的横坐标为4，
，
，
直线的函数表达式为；
（3）解：过作轴交直线于，设，
则，，
，
，
，
的面积的最大值为，
的面积的最大值为，
，
解得；
（4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形，
令，即，
解得：，，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，
①若是矩形的一条边，
则，
，则，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
；
②若是矩形的对角线，
则，
，则，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
，
综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或．
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