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1.3二次函数的性质课后培优提升训练浙教版2025—2026年九年级数学上册
一、选择题
1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大
2．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
或 B．或
C． D．
3．当时，函数有最小值2，求所有可能取的值有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
B．
C．或 D．或
5．当时，和大致图像可能是（　）
A．B． C． D．
6．二次函数有最小值，则m等于（　）
A．1 B． C． D．
7．将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的新抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数当时，该函数的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
二、填空题
9．若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是 ．
10．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
11．已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ．
12．如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ．
三、解答题
13．已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A．
(1)若时，求m的值．
(2)求m与k的关系式．
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围．
14．如图，抛物线（为常数且）与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)判断直线与抛物线的交点个数，并说明理由．
(3)当时，有最大值，求的值．
15．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线已知点的坐标是．
(1)求，的值；
(2)当时，函数有最大值，最小值，当时，求的值．
16．已知二次函数（是常数，）的图象经过．
(1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式；
(2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：；
(3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值．
17．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4．
(1)点的“纵横值”为___________．
(2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”．
(3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上．
①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式．
②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值．
18．在平面直角坐标系中，已知二次函数，
(1)若此二次函数的图象经过，求a的值；
(2)若此二次函数的图象经过、，且有，求a的取值范围；
(3)若一次函数，对于时恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．D
4．C
5．C
6．A
7．A
8．B
二、填空题
9．且
10．
11．①③④
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：把代入，
得，
解得或，
故m的值为0或3．
（2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为，
∵平移后的图象也经过点，
∴，
消去a，得；
（3）解：对称轴为直线．
①当时，
当时，y取最大值，
当时，代入得y取最小值，
所以，
解得（舍去）．
②当时，
（1）当时，
当 时，代入得y取到最大值，
当时，代入得y取到最小值，
所以，符合题意．
（2）当时，
当时，y取到最大值，
当时，y取到最小值
所以
解得（均舍去）．
综上所述，．
由，得．
14．【解】（1）解：∵点在抛物线上，
∴
∴，
∴，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：直线与抛物线有两个交点，理由：
由得，
整理得，
∴，
∴方程两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线有两个交点．
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
根据题意可得或，
解得或，
∴的值为或．
15．【解】（1）解：∵ 抛物线的对称轴是直线，
∴ ，即
又∵ 抛物线过点，
∴ ，即
将代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1）知抛物线解析式为，其顶点横坐标为，
把代入解析式得：
当，即时，函数随的增大而减小，
，
. ，
，
展开得：
，
则，
. ，
，
，
，符合
当时，函数随的增大而增大，
，
，
，
展开得，
则，
，
，
，
，符合
③当时，，，
若，，，即，
，
，
，
，
此方程判别式，
解得，均不在范围内，舍去；
若，. ，，即，
，
解得，均不在范围内，舍去．
综上，或
16．【解】（1）解：图象过，
，
又图象过，，
，
，
；
（2）证明：顶点落在x轴上，
，
，且，
，
；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，且，
，
，
，
，
又，
，
将，代入得，
当时，有最小值．
17．【解】（1）解：点的“纵横值”为，
故答案为：6．
（2）解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为．
∵，
∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时取最大值，“最优纵横值”为10．
当时，；当时，．
∵，
∴当时取最小值，“最劣纵横值”为．
（3）解：二次函数的对称轴为．
∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上，
∴顶点在的图象上．
∴顶点坐标为．
∴．
①∵的“最优纵横值”为．
∴，解得．
∴二次函数的表达式为．
②∵，
∴函数的顶点坐标为．
当时，；
当时，．
∵，
∴抛物线的开口向下．
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
分以下几种情况：
当，即时，．
∴．
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；
当，即时，．
∴．
解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）；
当，即时，
当，即时，．
∴．
解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）；
当，即时，．
∴．
解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）；
综上所述，的值为或．
18．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得；
（2）解：∵二次函数的图象经过、，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：，
，
，
当时，，
∵，
，
即，
解得，
∵时恒成立，
∴，
解得．
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