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24.3正多边和圆课后培优提升训练人教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．如图，正方形内接于，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，连接、，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．半径为2的圆内接正方形的边长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
5．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．随着点F的变化而变化
6．等边三角形的边心距、半径和高的比是（ ）．
A． B． C． D．
7．若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　）
A．14 B．18 C．16 D．20
8．如图，正六边形中，点，分别为边，上的动点，若正六边形的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ．
10．如图，是内接正n边形的一条边，点C是上一点，连接，，则n的值为 ．
11．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ．
12．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的内切圆的半径为 ．
三、解答题
13．如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)求以为边的圆内接正多边形的周长．
14．碳60，是一种非金属单质，化学式为，是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯．如下图，足球烯是由正五边形和正六边形组成的凸多面体．
(1)足球烯中正五边形每一个内角的度数为______．
(2)若足球烯中正六边形的边长为a，求该正六边形的边心距．
15．已知，正方形和它的外接圆．
(1)如图1，若点在弧上，是上的一点，且，过点作，．求的半径；
(2)如图2，若点在弧上，过点作，试探究此时线段、、之间的关系．请写出你的结论并证明；
(3)如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到的距离．
16．如图，的周长等于，正六边形内接于．
(1)求圆心到的距离．
(2)求正六边形的面积．
17．如图正方形内接于，为任意一点，连接、．
(1)求的度数．
(2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度．
18．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．
(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；
(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；
(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．C
4．D
5．C
6．D
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．5
11．/72 度
12．
三、解答题
13．【解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，
∵，，，
∴，
∴以为边的圆内接正六边形的周长为．
14．【解】（1）解：∵任意多边形的外角和为，
∴五边形一个外角是，
∴五边形一个内角是.
故答案为：.
（2）解：如图，为正六边形的一条边，点O为它的外接圆的圆心，连接，过点O作．
，
是等边三角形，
．
．
在中，由勾股定理，得，
故该正六边形的边心距为．
15．【解】（1）解：连接、，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴是的直径，
∴
在中，
∴
∴的半径为
（2），理由如下：
在上取点G，使，连接，
同理（1）可得：，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形三角形，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点A到的距离是或，理由如下：
∵，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，
∴点在以为直径的圆上，
∴点是这两圆的交点，
①当点P在如图3①所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交于点E，如图3①，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴A、P、D、B在以为直径的圆上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，点B、E、P共线，，
∴由（2）中的结论可得：，
∴，
∴；
②当点P在如图3②所示位置时，
连接、、，作，垂足为H，过点A作，交的延长线于点E，如图3②，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述：点A到的距离为或．
16．【解】（1）解：如图，连接，过点作于点，则，
∵的周长等于，
∴半径，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆心到的距离为；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
17．【详解】（1）解：如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，
；
（2）解：如图2中，连接，，，，作于．
∵，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得或（舍弃），
．
18．【解】（1）解：连接，
∵正方形，
∴，
当点E在优弧AD上时，，
当点E在劣弧AD上时，，
综上，的度数为或；
（2），理由如下，
在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形的边长为2，点M、N是、的中点，
∴，
∵四边形与四边形关于直线对称，
∴，，
∴当边上的高最小时，面积取得最小值，
∴当点与点A重合，此时点E与点D重合，
∴边上的高就是的长，
∴面积的最小值为．
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