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22.2.5一元二次方程的根与系数的关系培优提升训练
华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程，则下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．两根和等于 D．两根积等于
3．若为方程的两根，则的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知是方程的一个根，则另一个根为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．若实数，满足，，则代数式的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2024
7．已知为方程的两个根，则代数式的值为（ ）
A．2 B．5 C．4 D．3
8．已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（ ）
A．4049 B．4047 C．2024 D．1
二、填空题
9．已知不相等的实数a、b满足，则 ．
10．设实数m，n分别满足，，= ．
11．已知为有理数，若关于的一元二次方程有一个实根为，则该方程的另一个实根为 ．
12．关于x的一元二次方程的两个非零实数根分别是m和，则 ．
三、解答题
13．设，是方程的两个根，求的值．
14．已知方程的两根是、．
(1)求的值； (2)求的值．
15．【知识技能】
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，
则．
【数学理解】
（1）一元二次方程的两个根为，，则_____，______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程的两根分别为，，求的值．
（3）已知实数，满足，，且，求的值．
16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
17．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)判断方程根的情况；
(2)若方程的两根、满足，求k值；
(3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5．
①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？
②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．D
4．B
5．C
6．B
7．B
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13.【解】解：是方程的一个根，
，
，，
把的两边同时乘以，
可得：，
，
把代入，
可得：，
整理可得：原式，
，是方程的两个根，
，，
，
，
．
14．【解】（1）解：（1）由韦达定理可得：，，
，
则的值为；
（2）由（1）可知，，
且，
，，
则，，
，
由，
，
则的值为4．
15．【解】解：（）根据根与系数的关系得，；
故答案为：，；
（）根据根与系数的关系得，，
∴
；
（）∵实数，满足，，且，
∴、可看作方程的两根，
∴，，
∴
，
∴．
16．【解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
即当时，方程有两个实数根；
（2）解：∵，
∴由根与系数的关系，得，．
，
．
，
．
解方程，得或．
∵，
．
17．【解】（1）解：根据题意得，
解得m，
所以m的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
∵，
∴m的值为2．
18．【解】（1）解：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意，得，，
，
，
，
解得，或；
（3）解：①由题意，得，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
解得，或，
，
，
且当时，方程为，
解得或4，符合题意，
当时，是以为斜边的直角三角形；
②若是等腰三角形，分两种情况：
当时，方程有两个相等的实数根，这与不符，不合题意，舍去；
当或与相等时，5是方程的根，
，
解得或4，
当时，，的周长为；
当时，，的周长为．
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