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人教版数学九年级上册
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
基础巩固
知识点1　 一元二次方程的概念及一般形式
1.(2024珠海期中)下列是关于x的一元二次方程的是(　B　)
A.x2-=2021 B.x(x+6)=0 C.a2x-5=0 D.4x-x3=2
2.方程5x2-4x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　C　)
A.5,-1,4 B.5,-1,-4 C.5,-4,-1 D.5,4,-1
3.将方程x2-2=7x化成x2+bx+c=0的形式,则一次项是　-7x　,b+c=　-9　.
4.若关于x的方程(a-1)x2-3x+3=0是一元二次方程,则a的取值范围是　a≠1　.
知识点2　 一元二次方程的根
5.下列方程中有一根为3的是(　C　)
A.x2=3 B.x2-4x-3=0
C.x2-4x=-3 D.x(x-1)=x-3
6.若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是x=2,则a的值为(　D　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是　1　.
知识点3　 列一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8.某赛季中国男子篮球职业联赛采用双循环制比赛模式(所有参加比赛的队伍均能相遇两次),比赛总场数为380场.若设参加比赛的队伍有x支,则可列方程为(　B　)
A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380
C.x(x+1)=380 D.x(x+1)=380
9.《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各多少步 设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为　x(x+12)=864　.
能力提升
10.若一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,则方程必有一根为(　C　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
11.如图,学校课外生物小组的实验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形,为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道.若要使种植面积为600 m2,则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x m,则根据题意,可列方程为(　C　)
A.35×20-35x-20x+2x2=600 B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600 D.(35-x)(20-2x)=600
12.设a是方程x2-2 006x+1=0的一个根,则代数式a2-2 007a+的值为　-1　.
13.已知关于x的方程(a-3)x|a|-1+(a+3)x+4=0.
(1)当a为何值时,此方程是一元一次方程
(2)当a为何值时,此方程是一元二次方程
解:(1)若已知方程为一元一次方程,则有三种情况:
①a-3=0且a+3≠0,即a=3;
②|a|-1=0且a+3≠0,即a=±1;
③|a|-1=1且(a+3)+(a-3)≠0,即a=±2.
∴当a=3,或a=±1,或a=±2时,原方程是一元一次方程.
(2)若原方程是一元二次方程,则有|a|-1=2且a-3≠0,即a=-3.
∴当a=-3时,原方程是一元二次方程.
14.(阅读理解)定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程2x2+5x+3=0是否为“黄金方程”,并说明理由;
(2)已知3x2-ax+b=0是关于x的“黄金方程”,若a是此“黄金方程”的一个根,求6a2-3a的值.
解:(1)一元二次方程2x2+5x+3=0是“黄金方程”.理由如下:
由题意,得a=2,b=5,c=3,∴a-b+c=2-5+3=0,
∴一元二次方程2x2+5x+3=0是“黄金方程”.
(2)∵3x2-ax+b=0是关于x的“黄金方程”,
∴3-(-a)+b=0,∴b=-a-3,∴原方程为3x2-ax-a-3=0.
∵a是此“黄金方程”的一个根,
∴3a2-a2-a-3=0,即2a2-a-3=0,即2a2-a=3,
则6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9.人教版数学九年级上册
第二十一章　一元二次方程
21.1　一元二次方程
基础巩固
知识点1　 一元二次方程的概念及一般形式
1.(2024珠海期中)下列是关于x的一元二次方程的是(　 　)
A.x2-=2021 B.x(x+6)=0 C.a2x-5=0 D.4x-x3=2
2.方程5x2-4x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　 　)
A.5,-1,4 B.5,-1,-4 C.5,-4,-1 D.5,4,-1
3.将方程x2-2=7x化成x2+bx+c=0的形式,则一次项是　 　,b+c=　 　.
4.若关于x的方程(a-1)x2-3x+3=0是一元二次方程,则a的取值范围是　 　.
知识点2　 一元二次方程的根
5.下列方程中有一根为3的是(　 　)
A.x2=3 B.x2-4x-3=0
C.x2-4x=-3 D.x(x-1)=x-3
6.若关于x的一元二次方程x2-ax+6=0的一个根是x=2,则a的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是　 .
知识点3　 列一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8.某赛季中国男子篮球职业联赛采用双循环制比赛模式(所有参加比赛的队伍均能相遇两次),比赛总场数为380场.若设参加比赛的队伍有x支,则可列方程为(　 　)
A.x(x-1)=380 B.x(x-1)=380
C.x(x+1)=380 D.x(x+1)=380
9.《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为864平方步,宽比长少12步,问宽和长各多少步 设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为　 　.
能力提升
10.若一元二次方程ax2+bx+c=0满足a-b+c=0,则方程必有一根为(　 　)
A.0 B.1 C.-1 D.2
11.如图,学校课外生物小组的实验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形,为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道.若要使种植面积为600 m2,则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x m,则根据题意,可列方程为(　 　)
A.35×20-35x-20x+2x2=600 B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600 D.(35-x)(20-2x)=600
12.设a是方程x2-2 006x+1=0的一个根,则代数式a2-2 007a+的值为　 　.
13.已知关于x的方程(a-3)x|a|-1+(a+3)x+4=0.
(1)当a为何值时,此方程是一元一次方程
(2)当a为何值时,此方程是一元二次方程
14.(阅读理解)定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程2x2+5x+3=0是否为“黄金方程”,并说明理由;
(2)已知3x2-ax+b=0是关于x的“黄金方程”,若a是此“黄金方程”的一个根,求6a2-3a的值.

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