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人教版数学九年级上册
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.2　公式法
基础巩固
知识点1　 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程x2-3x-2=0的根的判别式的值为(　 　)
A.17 B.1 C.-1 D.-17
2.以下一元二次方程有两个相等的实数根的是(　 　)
A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0
3.(2024中山期中)一元二次方程x2+3x-1=0根的情况为(　 　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根　　　　　 D.无法判断
4.若一元二次方程x2-4x+c=0根的判别式的值为8,则c=　 　.
5.(2024河南)若关于x的方程x2-x+c=0有两个相等的实数根,则c的值为 .
6.不解方程,试判断下列方程根的情况.
(1)2x2+3x-4=0; 　　　　(2)16y2+9=24y;
(3)5(x2+1)-7x=0.
知识点2　 用公式法解一元二次方程
7.用公式法解方程x2+2x=3时,求根公式中的a,b,c的值分别是(　 　)
A.1,2,3 B.1,-2,3 C.1,2,-3 D.1,-2,-3
8.用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是　 　.
9.用公式法解下列方程:
(1)x2-3x-2=0; 　　(2)3x2=4-2x;　　　(3)x2-2x=-3.
能力提升
10.方程2x2-6x+3=0较小的根为p,方程2x2-2x-1=0较大的根为q,则p+q等于(　 　)
A.3 B.2 C.1 D.2
11.对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,例如3 2=22-3×2=
-2.则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是(　 　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
12.若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n
=0的两个根,则n的值为　 　.
13.(2024潍坊改编)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足m-2n=3,求证:该方程有两个不相等的实数根.
14.定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=ab-a;当a(1)计算:(-2) ;
(2)若2x (x+1)=8,求x的值.人教版数学九年级上册
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
21.2.2　公式法
基础巩固
知识点1　 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程x2-3x-2=0的根的判别式的值为(　A　)
A.17 B.1 C.-1 D.-17
2.以下一元二次方程有两个相等的实数根的是(　D　)
A.x2-6x=0 B.x2-9=0 C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0
3.(2024中山期中)一元二次方程x2+3x-1=0根的情况为(　A　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根　　　　　 D.无法判断
4.若一元二次方程x2-4x+c=0根的判别式的值为8,则c=　2　.
5.(2024河南)若关于x的方程x2-x+c=0有两个相等的实数根,则c的值为 　.
6.不解方程,试判断下列方程根的情况.
(1)2x2+3x-4=0; 　　　　(2)16y2+9=24y;
(3)5(x2+1)-7x=0.
解:(1)∵a=2,b=3,c=-4,Δ=b2-4ac=9+32=41>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵方程化为16y2-24y+9=0,a=16,b=-24,c=9,
Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0,∴方程有两个相等的实数根.
(3)∵方程化为5x2-7x+5=0,a=5,b=-7,c=5,
Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0,∴方程无实数根.
知识点2　 用公式法解一元二次方程
7.用公式法解方程x2+2x=3时,求根公式中的a,b,c的值分别是(　C　)
A.1,2,3 B.1,-2,3 C.1,2,-3 D.1,-2,-3
8.用公式法解一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是　3x2+5x+1=0　.
9.用公式法解下列方程:
(1)x2-3x-2=0; 　　(2)3x2=4-2x;　　　(3)x2-2x=-3.
解:(1)∵a=1,b=-3,c=-2,Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=9+8=17>0,
∴x==,即x1=,x2=.
(2)∵方程化为3x2+2x-4=0,a=3,b=2,c=-4,
Δ=b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,∴x=,
即x1=,x2=.
(3)∵方程化为x2-2x+3=0,a=1,b=-2,c=3,
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0,∴x1=x2==.
能力提升
10.方程2x2-6x+3=0较小的根为p,方程2x2-2x-1=0较大的根为q,则p+q等于(　B　)
A.3 B.2 C.1 D.2
11.对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,例如3 2=22-3×2=
-2.则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是(　A　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.无法确定
12.若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n
=0的两个根,则n的值为　8或9　.
13.(2024潍坊改编)已知关于x的一元二次方程x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足m-2n=3,求证:该方程有两个不相等的实数根.
证明:∵m-2n=3,
∴Δ=(-m)2-4(-n2+mn+1)=m2+4n2-4mn-4=(m-2n)2-4=32-4=9-4=5>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
14.定义新运算“ ”如下:当a≥b时,a b=ab-a;当a(1)计算:(-2) ;
(2)若2x (x+1)=8,求x的值.
解:(1)∵-2<-,
∴(-2) =(-2)×+(-2)=1-2=-1.
(2)当2x≥x+1,即x≥1时,
2x (x+1)=2x(x+1)-2x,
则2x(x+1)-2x=8,
解得x1=2,x2=-2(不合题意,舍去),∴x=2;
当2x2x (x+1)=2x(x+1)+2x,
则2x(x+1)+2x=8,
解得x1=-1+(不合题意,舍去),x2=-1-,
∴x=-1-.
综上所述,x的值为2或-1-.

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