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专题01 集合的概念与运算
　　　　
考点01 元素与集合 4
考点02 集合间的关系 5
考点03 集合的基本运算 7
考点04 集合或元素的个数问题 9
考点05 集合中的新定义问题 10
了解集合、全集、空集的含义；理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系；会求两个集合的并集、交集与补集；能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．会用Venn图求集合中元素的个数．
1．集合与元素
（1）我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．
（2）我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素．
（3）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（4）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
（5）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（6）常见数集及记法：
集合 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A．
（2）真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
（3）相等：若A B，且B A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
1．子集的传递性：A B，B C A C．
2．并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A．
3．交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B．
4．补集的性质：A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ ； U（ UA）＝A．
5．容斥原理
（1）两个集合的容斥关系公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)．
（2）三个集合的容斥关系公式：
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩B)﹣card(A∩C)﹣card(B∩C)+card(A∩B∩C)．
一、选择题（共6小题）
1．（2023 上海）已知，，，，若，，则　　
A． B． C． D．，2，
2．（2025 新高考Ⅱ）已知集合，0，1，2，，，则　　
A．，1， B．，2， C．， D．，
3．（2025 天津）已知全集，2，3，4，，集合，，，3，，则　　
A．，2，3， B．，3， C．， D．
4．（2025 新高考Ⅰ）设全集是小于9的正整数，集合，3，，则中元素个数为　　
A．2 B．3 C．5 D．8
5．（2023 新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　
A．2 B．1 C． D．
6．（2023 乙卷）设集合，集合，，则　　
A． B． C． D．
二、填空题（共2小题）
7．（2025 上海）已知集合，，0，1，，则等于　　．
8．（2024 上海）设全集，2，3，4，，集合，，则 　　 ．
考点01 元素与集合
解法指导 1．元素与集合的关系 （1）元素与集合： ①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集． ②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A． ③元素与集合有且只有两种关系，要么是属于，要么是不属于，没有模棱两可的情况． （2）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 2．解决集合含义问题的关键 （1）确定构成集合的元素． （2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】　（2025 河北模拟）已知集合，则　　
A． B． C． D．，1，
【例2】　（2025 锦江区校级模拟）已知集合，，，且，则等于　　
A． B． C．3 D．或
【例3】　（2025 灌云县校级模拟）已知集合，2，，的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数　　
A． B． C． D．
【例4】　（2025 昭通模拟）设集合，若，则　　
A． B．， C．， D．，
【例5】　（2025 河北模拟）已知集合，，则　　
A． B．， C． D．
考点02 集合间的关系
解法指导 1．集合的相等 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B． 2．集合的包含关系判断及应用 （1）如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A B． （2）如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B． 3．空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． 在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 4．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例6】　（2025 扬州校级模拟）下列五个写法：①，2，；②；③，1，，2，；④；⑤，其中错误写法的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【例7】　（2025 辽宁模拟）已知集合，2，3，4，，，，则的子集个数为　　
A．3 B．7 C．8 D．9
【例8】　（2017 兴庆区校级三模）若全集，1，2，且，则集合的真子集共有　　
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
【例9】　（2025 安庆二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【例10】　（2025 广州模拟）集合，，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
考点03 集合的基本运算
解法指导 1．交集及其运算 （1）由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （2）运算性质： ①A∩B＝B∩A． ②A∩ ＝ ． ③A∩A＝A． ④A∩B A，A∩B B． ⑤A∩B＝A A B． ⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素． ⑦A∩（ UA）＝ ． ⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）． 2．交、并、补集的混合运算 （1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）集合的摩根律：CU（A∩B）＝CUA∪CUB，CU（A∪B）＝CUA∩CUB． （5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求补律：A∪CUA＝U，A∩CUA＝ ． 3．利用集合的运算求参数的值(范围)． （1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示． （2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例11】　（2025 海淀区校级模拟）已知集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
【例12】　（2019 山东模拟）已知，，则　　
A．， B． C．， D．，
【例13】　（2025 道里区校级二模）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【例14】　（2025 惠来县校级模拟）已知集合，，则等于　　
A． B． C． D．
【例15】　（2025 金川区校级三模）若集合，，则　　
A． B．
C． D．，，
考点04 集合或元素的个数问题
解法指导 1．子集的个数 （1）含有n个元素的集合的子集有2n个． （2）含有n个元素的集合的真子集有2n﹣1个． （3）含有n个元素的集合的非空子集有2n﹣1个． （4）含有n个元素的集合的非空真子集有2n﹣2个． 2．集合中元素的个数 （1）两个集合的容斥关系公式： card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)． （2）三个集合的容斥关系公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩B)﹣card(A∩C)﹣card(B∩C)+card(A∩B∩C)．
【例16】　（2025 河南校级模拟）满足集合，为的真子集且，2，3，4，的集合的个数是　　
A．6 B．7 C．8 D．15
【例17】　（2025 岳麓区校级模拟）已知集合，，则中元素的个数为　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【例18】　（2025 苏州校级二模）集合的子集个数为　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【例19】　（2025 五华区模拟）已知集合，满足：，，则满足条件的集合的个数为　　
A．1 B．2 C．4 D．8
【例20】　（2025 晋安区三模）设集合，，则中元素的个数为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
考点05 集合中的新定义问题
解法指导 1．集合新定义问题 （1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义． （2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． 2．注意 （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．
【例21】　（2025 西城区校级模拟）对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下；设，，，，，其，则的“绝对交错和”为；当时；的“绝对交错和”为，若数集，0，，，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为　　
A． B． C． D．
【例22】　（2025 五华区校级模拟）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如，6，的“交替和”是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为　　
A．2048 B．2024 C．1024 D．512
【例23】　（2025 玉溪校级模拟）如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若集合，，集合，则集合　　
A． B． C．或 D．或
【例24】　（2025 广东模拟）用（A）表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的所有取值为　　
A．0 B．0， C．0， D．，0，
【例25】　（2025 芜湖二模）已知有限集合，，，，，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是　　 ．专题01 集合的概念与运算
　　　　
考点01 元素与集合 6
考点02 集合间的关系 9
考点03 集合的基本运算 12
考点04 集合或元素的个数问题 15
考点05 集合中的新定义问题 18
了解集合、全集、空集的含义；理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系；会求两个集合的并集、交集与补集；能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．会用Venn图求集合中元素的个数．
1．集合与元素
（1）我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．
（2）我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示元素．
（3）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（4）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
（5）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（6）常见数集及记法：
集合 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A．
（2）真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
（3）相等：若A B，且B A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
1．子集的传递性：A B，B C A C．
2．并集的性质：A∪ ＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A．
3．交集的性质：A∩ ＝ ；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B．
4．补集的性质：A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ ； U（ UA）＝A．
5．容斥原理
（1）两个集合的容斥关系公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)．
（2）三个集合的容斥关系公式：
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩B)﹣card(A∩C)﹣card(B∩C)+card(A∩B∩C)．
一、选择题（共6小题）
1．（2023 上海）已知，，，，若，，则　　
A． B． C． D．，2，
【答案】
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解：，，，，，，
．
故选：．
2．（2025 新高考Ⅱ）已知集合，0，1，2，，，则　　
A．，1， B．，2， C．， D．，
【答案】
【分析】先化简集合，然后利用求出集合，的所有公共元素即可．
【解答】解：由已知得：，1，，
又，0，1，2，，
故，．
故选：．
3．（2025 天津）已知全集，2，3，4，，集合，，，3，，则　　
A．，2，3， B．，3， C．， D．
【答案】
【分析】由集合的运算计算即可求得．
【解答】解：因为，，，3，，所以，2，3，，
因为，2，3，4，，．
故选：．
4．（2025 新高考Ⅰ）设全集是小于9的正整数，集合，3，，则中元素个数为　　
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】
【分析】根据题意直接写出即可确定其元素个数．
【解答】解：根据题意，，4，6，7，，
所以的元素个数为5．
故选：．
5．（2023 新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　
A．2 B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据题意可得或，然后讨论求得的值，再验证即可．
【解答】解：依题意，或，
当时，解得，
此时，，，0，，不符合题意；
当时，解得，
此时，，，，，符合题意．
故选：．
6．（2023 乙卷）设集合，集合，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．
【解答】解：由题意：，又，
．
故选：．
二、填空题（共2小题）
7．（2025 上海）已知集合，，0，1，，则等于　，　．
【分析】直接由交集的运算性质得答案．
【解答】解：由集合，，0，1，，
则，0，1，，．
故答案为：，．
8．（2024 上海）设全集，2，3，4，，集合，，则 　，3，　 ．
【答案】，3，．
【分析】结合补集的定义，即可求解．
【解答】解：全集，2，3，4，，集合，，
则，3，．
故答案为：，3，．
考点01 元素与集合
解法指导 1．元素与集合的关系 （1）元素与集合： ①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集． ②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a A． ③元素与集合有且只有两种关系，要么是属于，要么是不属于，没有模棱两可的情况． （2）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 2．解决集合含义问题的关键 （1）确定构成集合的元素． （2）确定元素的限制条件． （3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【例1】　（2025 河北模拟）已知集合，则　　
A． B． C． D．，1，
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可．
【解答】解：由题可知，集合，
所以，，，
故正确，错误，错误；
集合，1，不是集合的子集，故错误．
故选：．
【例2】　（2025 锦江区校级模拟）已知集合，，，且，则等于　　
A． B． C．3 D．或
【分析】根据元素与集合的关系分情况讨论，结合集合元素的互异性，即可求出结果．
【解答】解：集合，，，且，
①当时，，
，
此时集合，，，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去；
②当时，或，
若，则，此时集合，，，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去，
若，则，此时集合，，，符合题意，
综上所述，，
故选：．
【例3】　（2025 灌云县校级模拟）已知集合，2，，的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分类讨论，根据题意列出关系式求解即可．
【解答】解：由题意，当时，集合，2，，的最大元素为；
当时，集合，2，，的最大元素为4；
且集合，2，，的所有元素之和为．
所以或，
解得：．
故选：．
【例4】　（2025 昭通模拟）设集合，若，则　　
A． B．， C．， D．，
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系求解．
【解答】解：由题意，，解得，
则集合，．
故选：．
【例5】　（2025 河北模拟）已知集合，，则　　
A． B．， C． D．
【答案】
【分析】由题意得到，求解，再逐项判断即可．
【解答】解：因为集合，，
所以，且，
解得，且，
对于，，故，故错误；
对于，因为，所以，，故错误，
对于，取，则，故错误；
对于，因为，且，
所以，故正确．
故选：．
考点02 集合间的关系
解法指导 1．集合的相等 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A B，同时B A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B． 2．集合的包含关系判断及应用 （1）如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A B． （2）如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B． 3．空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． 在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． 4．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例6】　（2025 扬州校级模拟）下列五个写法：①，2，；②；③，1，，2，；④；⑤，其中错误写法的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出①⑤错，是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对
【解答】解：对于①，“”是用于元素与集合的关系故①错；
对于②，是任意集合的子集，故②对；
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，
所以，1，，2，，所以，1，，2，，故③对；
对于④，因为是不含任何元素的集合故④错；
对于⑤，因为是用于集合与集合的关系，故⑤错；
故选：．
【例7】　（2025 辽宁模拟）已知集合，2，3，4，，，，则的子集个数为　　
A．3 B．7 C．8 D．9
【答案】
【分析】根据题意先求出集合，利用集合的交集运算得到，再根据交集中元素的个数计算其子集的个数．
【解答】解：集合，2，3，4，，
则，，3，5，7，，
所以，3，，元素个数为3，
所以的子集个数为．
故选：．
【例8】　（2017 兴庆区校级三模）若全集，1，2，且，则集合的真子集共有　　
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
【答案】
【分析】利用集合中含个元素，其真子集的个数为个，求出集合的真子集的个数．
【解答】解：，1，2，且，
，1，
集合的真子集共有
故选：．
【例9】　（2025 安庆二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．
【答案】
【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案．
【解答】解：，
又因为集合，且，
所以，
解得，
即实数的取值范围为，．
故选：．
【例10】　（2025 广州模拟）集合，，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】当时，；当时，，由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：集合，，，
当时，，解得，
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
考点03 集合的基本运算
解法指导 1．交集及其运算 （1）由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． （2）运算性质： ①A∩B＝B∩A． ②A∩ ＝ ． ③A∩A＝A． ④A∩B A，A∩B B． ⑤A∩B＝A A B． ⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素． ⑦A∩（ UA）＝ ． ⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）． 2．交、并、补集的混合运算 （1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． （2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． （3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． （4）集合的摩根律：CU（A∩B）＝CUA∪CUB，CU（A∪B）＝CUA∩CUB． （5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． （6）集合求补律：A∪CUA＝U，A∩CUA＝ ． 3．利用集合的运算求参数的值(范围)． （1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示． （2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【例11】　（2025 海淀区校级模拟）已知集合，，则　　
A．， B．， C． D．，
【答案】
【分析】根据对数函数单调性解得集合，根据并集运算，可得答案．
【解答】解：由，，
得．
故选：．
【例12】　（2019 山东模拟）已知，，则　　
A．， B． C．， D．，
【分析】可求出集合，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：；
．
故选：．
【例13】　（2025 道里区校级二模）已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合交集、补集的定义，即可求解．
【解答】解：集合，
则或，
，
则．
故选：．
【例14】　（2025 惠来县校级模拟）已知集合，，则等于　　
A． B． C． D．
【分析】可看出集合的元素是实数，集合的元素是有序实数对，从而可得出．
【解答】解：集合的元素是实数，集合的元素是有序实数对，元素不同，
．
故选：．
【例15】　（2025 金川区校级三模）若集合，，则　　
A． B．
C． D．，，
【答案】
【分析】分别求出集合，，再根据并集的定义求解即可．
【解答】解：，，
所以．
故选：．
考点04 集合或元素的个数问题
解法指导 1．子集的个数 （1）含有n个元素的集合的子集有2n个． （2）含有n个元素的集合的真子集有2n﹣1个． （3）含有n个元素的集合的非空子集有2n﹣1个． （4）含有n个元素的集合的非空真子集有2n﹣2个． 2．集合中元素的个数 （1）两个集合的容斥关系公式： card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B)． （2）三个集合的容斥关系公式： card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)﹣card(A∩B)﹣card(A∩C)﹣card(B∩C)+card(A∩B∩C)．
【例16】　（2025 河南校级模拟）满足集合，为的真子集且，2，3，4，的集合的个数是　　
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】
【分析】根据集合的包含关系，列举出集合所有可能的情况即可．
【解答】解：根据条件得：，2，，，2，，，2，，，2，3，，，2，3，，，2，4，，，2，3，4，，共7个．
故选：．
【例17】　（2025 岳麓区校级模拟）已知集合，，则中元素的个数为　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】
【分析】可知方程组有两组解，从而得出有2个元素．
【解答】解：解得，，或，
，
中元素的个数为2．
故选：．
【例18】　（2025 苏州校级二模）集合的子集个数为　　
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】
【分析】先求出集合，再求出子集个数即可．
【解答】解：由题意，得，1，2，，故集合子集个数为个．
故选：．
【例19】　（2025 五华区模拟）已知集合，满足：，，则满足条件的集合的个数为　　
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】
【分析】先求出集合，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：，
，则满足条件的集合为，，共2个．
故选：．
【例20】　（2025 晋安区三模）设集合，，则中元素的个数为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】首先求集合，再求，即可求解元素个数．
【解答】解：，
，，，0，1，2，3，4，5，，
，3，4，5，，则中元素的个数为5．
故选：．
考点05 集合中的新定义问题
解法指导 1．集合新定义问题 （1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义． （2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． 2．注意 （1）看清集合中的元素． （2）对集合进行化简使问题变得简单明了． （3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．
【例21】　（2025 西城区校级模拟）对任何非空有限数集，我们定义其“绝对交错和”如下；设，，，，，其，则的“绝对交错和”为；当时；的“绝对交错和”为，若数集，0，，，则的所有非空子集的“绝对交错和”的总和为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意集合的非空子集和交错和的定义分析即可．
【解答】解：，0，，
若中任意一个小于的元素出现在不含的子集中，
则也一定出现在的子集或，
反之，如果不出现，则都不出现，
而在和，的交错和中一个为，一个为，
所以总和为0，
而含有的特殊个数为个，
所以所有非空子集的交错和为，
故选：．
【例22】　（2025 五华区校级模拟）含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如，6，的“交替和”是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为　　
A．2048 B．2024 C．1024 D．512
【答案】
【分析】将集合的子集两两配对：使，且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解．
【解答】解：集合，，，，，0，1，2，3，，
将集合的子集两两配对使，且，
则符合条件的集合对有个，
因为题设定义有集合与集合的交替和之和为4，
所以集合的所有非空子集的“交替和”的总和为．
故选：．
【例23】　（2025 玉溪校级模拟）如图所示的图中，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若集合，，集合，则集合　　
A． B． C．或 D．或
【答案】
【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解．
【解答】解：集合，，集合，
由集合的基本运算可得，，，
则或．
故选：．
【例24】　（2025 广东模拟）用（A）表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的所有取值为　　
A．0 B．0， C．0， D．，0，
【答案】
【分析】根据，，，且，可知集合要么是单元素集合，要么是三元素集合，进而可得或，求解即可得的所有可能值．
【解答】解：由于等价于①或②，
又由，，且，
集合要么是单元素集合，要么是三元素集合，
集合是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
；
集合是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即，
解得，
综上所述或，
故选：．
【例25】　（2025 芜湖二模）已知有限集合，，，，，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为．若集合，且，则正整数的值是　　 ．
【答案】2025．
【分析】先求出集合，再根据题干中的定义即可求出结果．
【解答】解：因为，所以，4，，，
故，解得．
故答案为：2025．

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