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6.4 数学建模活动：描述体重与脉搏
率的关系
一、数学建模活动的概念
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、
用数学方法构建模型解决问题的过程.
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析
问题、构建模型，确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最
终解决实际问题.数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的
一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.
二、数学建模基本过程
三、数学建模的主要过程
1.选题
“选题”就是选定研究的问题，选题来源有三：
（1）阅读已有的研究论文，用同样的方法研究类似问题.
（2）研究已有的论文，换个视角、增加问题的复杂性，进一步研究
相关问题.
（3）用数学的眼光观察世界，发现、研究新的问题.
2.开题
开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是：
（1）明确研究的问题，说明问题研究的价值，估计可能的结果；
（2）选择研究方法，确定人员分工，形成研究的实施方案；
（3）完成开题报告，开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问
题思路、研究计划、预期结果等.
3.做题
做题是解决问题的过程，包括描述问题、数学表达、建立模型、求
解模型、得到结论、反思完善等.
做题要注意两个问题：
（1）建立恰当的数学模型；
（2）获取客观真实的数据.
4.结题
结题是研究小组撰写研究报告，并向老师和同学们报告研究结果，
进行结题答辩.根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、
算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.
一、数学建模活动实例
1.观察实际情境，发现和提出问题
动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，
保持体温需要的能量也就越大，那么：
（1）动物体内消耗的能量关于身体的表面积 的函数的导数是否为
一个常数？
（2）动物的表面积与体积是否成正比？
（3）动物的体积与体重是否成正比？
（4）动物的大小与心脏大小是否成正比？
（5）心脏每次收缩挤压出来的血量 与心脏大小是否成正比？
（6）动物体内消耗的能量关于通过心脏的血流量 的函数的导数
是否为一个常数？
设脉搏率是单位时间心跳的次数，是动物的体重，试建立与
的关系.
2.收集数据
下表给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据：
动物名
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
动物名
小狗 5000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
续表
3.分析数据
由收集的数据及生物学中给出的结论可知：
（1）动物体内消耗的能量关于身体的表面积 的函数的导数为常数，
即两者成正比，可以表示为 ．
（2）动物体内消耗的能量关于通过心脏的血流量 的函数的导数
为常数，即两者成正比，可以表示为 ．
因此，，其中,, 都为正的比例系数．
（3）体积与体重成正比，可以表示为 .
（4）表面积大约与体积的次方成正比，可以表示为 .
因此，得到，其中,, 为正的比例系数．
所以构建血流量与体重关系的数学模型，其中 为正的比
例系数．
4.建立模型
根据脉搏率的定义，再根据生物学假设（ 为正的比例
系数），
最后得到，也就是，其中 为正的待定系数,
导函数 ,这说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低，
动物脉搏率与体重的 次方成反比．
5.检验模型
根据查到的原始数据，可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
图①是原始数据的散点图，图②是以和 为坐标的散点图.可
以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此，得到体重和脉
搏率的对数的线性模型，可以把这个模型表达为
动物的脉搏率f与体重W的散点图①
ln f和ln W的散点图②
二、数学建模活动研究报告
描述体重与脉搏率的关系
________年________班
研究报告：________年________月________日
课题名称 动物的体重与脉搏率的关系
课题组成 员分工
实际问题
建立函数 关系式
续表
分析与 解答
续表
分析与 解答
续表
说明与 解释
指导老 师审核 意见
续表
生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的
增长速度．
卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指
出，我国7岁以下女童身高的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
这个问题中涉及两个量——年龄和身高，且身高可以看成关于年龄
的函数.
①判断这个函数增长速度的快慢.
解：通过描点法画出该函数的图象，如图，
由图可知这个函数的增长速度越来越慢.
②我们学过一些什么函数？
解：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函
数、对数函数.
③你觉得这个函数的图象最像什么函数的图象？
解：增长速度逐渐变慢的幂函数、对数函数．
④如何求出函数解析式？
解：先选择适当的函数模型，再选择几组适当的数据，
如果选择，把数据代入，即可确定,, ；
如果选择 ，
把数据代入，即可确定,, .
⑤你认为应怎样验证函数模型？
解：从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数
和 ，列表、画图象，验证函数模型.
一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有
多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对；
二是在原来的图象中再画出所求函数的图象，看两个图象的偏差有多大;
三是求出导函数，研究增长速度的快慢．
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
⑥你认为应该从哪些方面改进函数模型？
解：一是改进所选函数类型，二是改进函数中的参数.
改进时最好是结合函数图象与数学运算，不断进行调整,而利用计算
机辅助改进效果最佳6.4　数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
【建模活动应用】
解:①通过描点法画出该函数的图象,如图,由图可知这个函数的增长速度越来越慢.
②幂函数(包括一次函数、二次函数、反比例函数等)、指数函数、对数函数.
③增长速度逐渐变慢的幂函数、对数函数.
④先选择适当的函数模型,再选择几组适当的数据,如果选择f1(x)=a+b,把数据代入,即可确定,a,b;
如果选择f2(x)=bloga(x+1)+c(a>1),把数据代入,即可确定a,b,c.
⑤从上述两类函数模型中,选择大家认为拟合较好的两个函数f1(x)和f2(x),列表、画图象,验证函数模型.
一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式,看误差有多大,或者直接列成下表,将函数值与原有数据一一比对;二是在原来的图象中再画出所求函数的图象,看两个图象的偏差有多大;三是求出导函数,研究增长速度的快慢.
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
f1(x)
f2(x)
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
f1(x)
f2(x)
⑥一是改进所选函数类型,二是改进函数中的参数.改进时最好是结合函数图象与数学运算,不断进行调整,而利用计算机辅助改进效果最佳.6.4　数学建模活动:描述体重与脉搏率的关系
一、数学建模活动的概念
数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.
主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型,确定参数、计算求解、检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容.
二、数学建模基本过程
三、数学建模的主要过程
1.选题
“选题”就是选定研究的问题,选题来源有三:
(1)阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似问题.
(2)研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关问题.
(3)用数学的眼光观察世界,发现、研究新的问题.
2.开题
开题是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
开题主要做的工作是:
(1)明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;
(2)选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
(3)完成开题报告,开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等.
3.做题
做题是解决问题的过程,包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.
做题要注意两个问题:
(1)建立恰当的数学模型;
(2)获取客观真实的数据.
4.结题
结题是研究小组撰写研究报告,并向老师和同学们报告研究结果,进行结题答辩.根据选题的内容,报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式.
一、数学建模活动实例
1.观察实际情境,发现和提出问题
动物体温通过身体表面散发热量,表面积越大,散发的热量越多,保持体温需要的能量也就越大,那么:
(1)动物体内消耗的能量E关于身体的表面积S的函数的导数是否为一个常数
(2)动物的表面积与体积是否成正比
(3)动物的体积与体重是否成正比
(4)动物的大小与心脏大小是否成正比
(5)心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小是否成正比
(6)动物体内消耗的能量E关于通过心脏的血流量Q的函数的导数是否为一个常数
设脉搏率f是单位时间心跳的次数,W是动物的体重,试建立f与W的关系.
2.收集数据
下表给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据:
动物名 体重/g 脉搏率/(心跳次数·min-1)
鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30 000 85
羊 50 000 70
马 450 000 38
3.分析数据
由收集的数据及生物学中给出的结论可知:
(1)动物体内消耗的能量E关于身体的表面积S的函数的导数为常数,即两者成正比,可以表示为E=p1S.
(2)动物体内消耗的能量E关于通过心脏的血流量Q的函数的导数为常数,即两者成正比,可以表示为E=p2Q.
因此,Q=pS,其中p1,p2,p都为正的比例系数.
(3)体积V与体重W成正比,可以表示为V=r1W.
(4)表面积S大约与体积V的次方成正比,可以表示为S=r2.
因此,得到S=r,其中r1,r2,r为正的比例系数.
所以构建血流量与体重关系的数学模型Q=k1,其中k1为正的比例系数.
4.建立模型
根据脉搏率的定义f=,再根据生物学假设q=cW(c为正的比例系数),
最后得到f==,也就是f=k,其中k为正的待定系数,导函数f'=-<0,这说明,恒温动物体重越大,脉搏率越低,动物脉搏率与体重的次方成反比.
5.检验模型
根据查到的原始数据,可以知道这个函数模型与实际数据基本吻合.
6.求解问题
图①是原始数据的散点图,图②是以ln W和ln f为坐标的散点图.可以看出,数据取对数之后基本满足线性关系,因此,得到体重和脉搏率的对数的线性模型,可以把这个模型表达为ln f=ln k-ln W.
动物的脉搏率f与体重W的散点图
①
ln f和ln W的散点图
②
二、数学建模活动研究报告
描述体重与脉搏率的关系
　　　年　　　班　研究报告:　　　年　　　月　　　日
课题名称 动物的体重与脉搏率的关系
课题组 成员分工
实际问题 (1)动物体内消耗的能量E与身体的表面积S有何关系 (2)动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q有何关系 (3)动物的脉搏率f与体重W有何关系
建立函数 关系式 (1)E=p1S;(2)E=p2Q;(3)f=k
分析与解答 (1)动物体内消耗的能量E关于身体的表面积S的函数的导数为常数,即两者成正比,可以表示为E=p1S. (2)动物体内消耗的能量E关于通过心脏的血流量Q的函数的导数为常数,即两者成正比,可以表示为E=p2Q.因此,Q=pS,其中p1,p2,p都为正的比例系数. (3)体积V与体重W成正比,可以表示为V=r1W. (4)表面积S大约与体积V的次方成正比,可以表示为S=r2. 因此,得到S=r,其中r1,r2,r为正的比例系数. 构建血流量与体重关系的数学模型Q=k1,其中k1为正的比例系数
说明与 解释
指导老师 审核意见
生物的生长发育是一个连续的过程,但不同的时间段可能有不同的增长速度.
卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出,我国7岁以下女童身高的中位数如下表所示(0岁指刚出生时):
年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3
年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5
身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4
这个问题中涉及两个量——年龄和身高,且身高可以看成关于年龄的函数.
①判断这个函数增长速度的快慢.
②我们学过一些什么函数
③你觉得这个函数的图象最像什么函数的图象
④如何求出函数解析式
⑤你认为应怎样验证函数模型
⑥你认为应该从哪些方面改进函数模型

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