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单元素养测评卷(二)A
1.A　[解析] 根据导数的定义可得==f'(1)=2,所以=-=-.故选A.
2.A　[解析] 由题图可知f'(3)<3.D　[解析] 因为f(x)=3ln x,所以f'(x)=,f″(x)=-,所以f'(1)=3,f″(1)=-3,所以K===3×=.故选D.
4.C　[解析] 由题得,c=.令f(x)=(x≥e),则f'(x)=≥0,所以f(x)在[e,+∞)上单调递增,又a=f(4),b=f(3),c=f(e),
所以c5.A　[解析] 由题意知g'(x)≥0恒成立,且g'(x)的图象与x轴只有一个交点,所以g(x)在定义域上单调递增,排除B,C;
设f'(x)=0的根为x0(x0>0),则当xx0时,f'(x)>0,即f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,排除D.故选A.
6.B　[解析] 由题意可得圆柱和圆锥的体积相等,圆锥的体积为×π×42×3=16π,圆柱的体积为πr2h,所以πr2h=16π,可得r2h=16,即h=.圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr=2πr2+,则S'=4πr-=.令S'=>0,可得r>2,令S'=<0,可得07.D　[解析] 因为f'(x)<-f(x),所以f'(x)+f(x)<0,令g(x)=exf(x),则g'(x)=exf(x)+exf'(x)=ex[f(x)+f'(x)]<0,所以g(x)在R上单调递减.因为f(ln 3)=,所以g(ln 3)=eln 3f(ln 3)=1.因为ex>0,所以不等式f(x)>等价于exf(x)>1,即g(x)>g(ln 3),所以x的解集为(-∞,ln 3).故选D.
8.B　[解析] 设f(x)=x-ln x,则f'(x)=1-=.当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.8)>f(1)=1,f(1.2)>f(1)=1,即a=0.8-ln 0.8>1,b=1.2-ln 1.2>1.设g(x)=x-xln x,则g'(x)=1-(ln x+1)=-ln x.当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以c=g(1.008)0,所以h(x)在(-1,1)上单调递增,所以h(0.2)>h(0)=0,即ln 1.2-ln 0.8-0.4>0,即0.8-ln 0.8>1.2-ln 1.2,即a>b.综上可得,a>b>c.故选B.
9.BC　[解析] 由f(x)=cos x+2xf',可得f'(x)=-sin x+2f',则f'=-sin+2f',解得f'=,故B正确,A不正确;所以f'(x)=-sin x+1,所以f'=-sin+1=-+1,故C正确,D不正确.故选BC.
10.AD　[解析] 当x>0时,f'(x)=-1-=-<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(1)=0-1+1=0,所以f(x)在(0,+∞)上只有1个零点;当x<0时,f'(x)=-1-=-<0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(-1)=0+1-1=0,所以f(x)在(-∞,0)上只有1个零点.故A正确,B,C错误;当x1x2>0时,若x1>0,x2>0,则f(x1)+f(x2)=ln(x1x2)+(x1+x2)=0,所以x1x2=1,若x1<0,x2<0,则同理可得x1x2=1,故D正确.故选AD.
11.BCD　[解析] 由题意可得f'(x)=1--cos x.令f'(x)=0,得1-=cos x,
分别画出y=1-和y=cos x的图象如图所示,
由图可知方程1-=cos x有三个不同的根,
即方程f'(x)=0有三个不同的根,分别为0,,π.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(π,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以当x=0时,f(x)取得极大值0,当x=时,f(x)取得极小值-1,当x=π时,f(x)取得极大值0,所以f(x)有2个零点,3个极值点,故A错误,B正确.
因为f(π-x)=π-x--sin(π-x)=π-x--sin x=x--sin x=f(x),
所以f(x)的图象关于直线x=对称,若f(x1)=f(x2),则x1+x2=π,故C正确.
因为f(x)的极大值为0,所以x轴为曲线y=f(x)的切线,故D正确.
故选BCD.
12.3　[解析] 函数y=aln x-x+1的导函数为y'=-1(x>0),所以函数y=aln x-x+1的图象在点(1,0)处的切线的斜率为a-1.因为该切线与直线x+2y-1=0垂直,所以-(a-1)=-1,解得a=3.
13.1或4　[解析] 由y=xsin x,得y'=sin x+xcos x,当x=时,y'=sin+cos =1,所以函数y=xsin x的图象在点处的切线为y-=1,即y=x.
由得ax2+(2a-4)x+1=0,
则解得a=1或a=4.故实数a的值为1或4.
14.　[解析] 设g(x)==ln x+2(x-a)2,则g'(x)=,因为存在x∈[1,3],使得f(x)≤xf'(x)成立,即g'(x)≥0成立,且由g'(x)=+4(x-a)≥0,得a≤x+,所以存在x∈[1,3],使得a≤x+成立,只需a≤,x∈[1,3].设h(x)=x+,则h'(x)=1-=,当x∈[1,3]时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以h(x)max=h(3)=,所以a≤.故实数a的取值范围为.
15.解:(1)由题可得f'(x)=3x2+2ax+b,
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+1的单调递减区间为[-1,3],
∴-1,3为关于x的方程3x2+2ax+b=0的两个实数根,
∴-1+3=-,-1×3=,解得a=-3,b=-9.
(2)由(1)可得f(x)=x3-3x2-9x+1,
f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
可得函数f(x)在[-3,-1)上单调递增,
在(-1,3)上单调递减,在(3,4]上单调递增.
又f(-3)=-26,f(-1)=6,f(3)=-26,f(4)=-19,
∴函数f(x)在[-3,4]上的最大值为6,最小值为-26.
16.解:(1)由a=2,得f(x)=(x-1)ln x-2x,x∈(0,+∞),
则f(1)=-2,f'(x)=ln x--1,所以f'(1)=-2,
所以f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y+2=-2(x-1),即2x+y=0.
(2)由f(x)的图象恒在x轴上方,得f(x)=(x-1)ln x-ax>0恒成立,
所以a<对x∈(0,+∞)恒成立.
令F(x)=,x∈(0,+∞),则F'(x)=,
令g(x)=x-1+ln x,x∈(0,+∞),则g'(x)=1+>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,
所以当x∈(0,1)时,F'(x)<0,F(x)在(0,1)上单调递减,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以F(x)≥F(1),即函数F(x)的最小值为F(1)=0.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,0).
17.解:(1)如图,连接OC,BC,
在直角三角形ABC中,∠CAB=θ,AB=200,
所以AC=200cos θ,
因为∠COB=2∠CAB=2θ,所以弧BC的长为100×2θ=200θ,
所以S=2×200cos θ+200θ=400cos θ+200θ,θ∈.
(2)由(1)得S=400cos θ+200θ,θ∈,
所以S'=200(-2sin θ+1),θ∈.
当0<θ<时,S'>0,当<θ<时,S'<0,
所以S在上单调递增,在上单调递减,
所以当θ=时,S取得最大值,
即当θ=时,绿化带总长度最大.
18.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-x+(x-2)ex,则f'(x)=x-1+(x-1)ex=(x-1)(ex+1).
令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得x<1,
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)的极小值为f(1)=--e,无极大值.
(2)f(x)=-ax2+ax+(x-2)ex=(x-2),
则f(x)有一个零点为x=2,要使得f(x)存在3个零点,
则需关于x的方程-ax+ex=0(x≠2)有2个实根.
方程-ax+ex=0(x≠2)可化为a=(x≠2,0).
令h(x)=(x≠2,0),则直线y=a与函数h(x)的图象有2个交点,
易得h'(x)==,令h'(x)=0,得x=1,
当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) (0,1) 1 (1,2) (2,+∞)
h'(x) - - 0 + +
h(x) ↘ ↘ 极小值2e ↗ ↗
当x<0时,h(x)<0,又h(2)=e2,所以h(x)的大致图象如图所示.
由图可得a∈(2e,e2)∪(e2,+∞).
故实数a的取值范围是(2e,e2)∪(e2,+∞).
19.解:(1)当a=0时,f(x)=ln x+,则f'(x)=-=,
所以f(1)=ln 1+=3,f'(1)==-2,
所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=-2(x-1),
即2x+y-5=0.
(2)证明:由f(x)=ln x+-,可得f'(x)=-+=.
因为x1,x2(x1所以x1,x2是关于x的方程x2-3x+a=0的两个不等的正实数根,
所以x1+x2=3,x1x2=a>0,
则==-+=-+.
要证<,
只需证<,即证<,
即证ln x1-ln x2>,即证ln >-.
设t=,则0t-.
令h(t)=ln t-t+(0则h'(t)=-1-=<0,
所以h(t)在(0,1)上单调递减,所以h(t)>h(1)=0,
所以ln t>t-,所以<.单元素养测评卷(二)A
第六章
时间:120分钟　分值:150分
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·湖北黄石高二期中] 设函数f(x)在x=1处的导数为2,则= (　　)
A.- B. C.-2 D.2
2.函数y=f(x)的图象如图所示,已知f'(x)是函数f(x)的导函数,则下列结论正确的是 (　　)
A.2f'(3)B.2f'(3)<2f'(5)C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5)
D.2f'(5)<2f'(3)3.[2023·江西九江高二期中] 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=.函数f(x)=3ln x的图象在点(1,f(1))处的曲率为 (　　 )
A. B. C. D.
4.已知a=, b=,c=e,则 (　　)
A.aC.c5.[2024·安徽马鞍山高二期末] 已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (　　)
A B
C D
6.现有一个橡皮泥制作的底面半径为4,高为3的圆锥.若将它重新制作成一个底面半径为r,高为h的圆柱(橡皮泥没有浪费),则该圆柱表面积的最小值为 (　　)
A.20π B.24π
C.28π D.32π
7.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<-f(x),若f(ln 3)=,则不等式f(x)>的解集为 (　　 )
A. B.(ln 3,+∞)
C.(0,ln 3) D.(-∞,ln 3)
8.已知a=0.8-ln 0.8,b=1.2-ln 1.2,c=1.008-1.008×ln 1.008,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.bC.c二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.[2023·河南南阳高二期中] 若f(x)=cos x+2xf',则 (　　)
A.f'=- B.f'=
C.f'=1- D.f'=1+
10.已知函数f(x)=ln|x|-x+,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)恰有2个零点
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)既有最大值,又有最小值
D.若x1x2>0,且f(x1)+f(x2)=0,则x1x2=1
11.[2024·江苏苏州西交大附中高二月考] 已知f(x)=x--sin x,则下列说法正确的有 (　　)
A.f(x)的零点个数为4
B.f(x)的极值点个数为3
C.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=π
D.x轴为曲线y=f(x)的切线
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数y=aln x-x+1的图象在点(1,0)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则实数a的值为　　　　.
13.[2024·湖北五市高二期末] 已知函数y=xsin x的图象在点处的切线与二次函数y=ax2+(2a-3)x+1的图象只有一个公共点,则实数a的值为　　　　.
14.已知函数f(x)=xln x+2x(x-a)2(a∈R),若存在x∈[1,3],使得f(x)≤xf'(x)成立,则实数a的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1的单调递减区间为[-1,3].
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,4]上的最值.
16.(15分)[2024·山东菏泽高二期末] 已知函数f(x)=(x-1)ln x-ax.
(1)若a=2,求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)的图象恒在x轴的上方,求实数a的取值范围.
17.(15分)如图所示,某风景区在一个直径AB为200 m的半圆形(O为圆心)花园中设计一条观光路线,在点A与圆弧上一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带,从点C到点B设计为沿圆弧BC的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.(注:小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设∠BAC=θ rad,将绿化带总长度S(单位:m)表示为θ的函数;
(2)试确定θ的值,使得绿化带总长度最大.
18.(17分)[2023·天津南开大学附中高二期中] 已知f(x)=-ax2+ax+(x-2)ex.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)存在3个零点,求实数a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=ln x+-.
(1)当a=0时,求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若x1,x2(x1

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