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第一章 预备知识—第四章 对数运算与对数函数
一、选择题
1．若集合A＝{x|lgx≤1}，B＝{x|2x≤4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．8个
2．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，+∞）
C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，0）∪（0，+∞）
3．下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x﹣1，g（x）＝
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）＝x，g（x）＝
D．f（x）＝，g（t）＝t
4．下列函数中是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列说法中错误的是（　　）
A．已知a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件
B． x∈（0，+∞），lgx≥
C．已知a∈R，则“0＜a＜1”是“函数y＝log2（ax2+2ax+1）的定义域是R”的充要条件
D． a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）＝ax﹣1+logax+2的图象恒过点（1，3）
6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
7．已知f（x+1）是定义在R上的奇函数，f（2）＝﹣2，且对任意x1≤1，x2≤1，x1≠x2，＜0恒成立，则使不等式|f（2﹣log2x）|＜2成立的x的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（4，+∞） D．（1，4）
8．已知，则m，n，k的大小关系是（　　）
A．m＞n＞k B．m＜n＜k C．n＜m＜k D．n＜k＜m
二、填空题
9．已知函数＝　 　 ．
10．设函数，则f（f（1））＝　 　 ．
三、多选题
11．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则＝3
D．
12．函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
13．已知a＞b＞0，则下列说法中正确的有（　　）
A．a2＞ab B．
C．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b） D．
14．下列说法中正确的有（　　）
A．若对任意x∈[2，+∞），＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2）
B．若函数f（x）＝且满足对任意的实数x1，x2，x1≠x2，都有＞0成立，则1≤b≤2
C．函数f（x）＝的最大值是
D．若函数f（x）＝x2+ax+3在区间（﹣1，1）上的最小值为﹣3，则a＝±2
四、解答题
15．已知集合U＝R，，
（1）求集合A、B； （2）求A∩B、A∩（ UB）．
16．求值：
（1）（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）；
（2）．
17．已知函数f（x）＝1+logax（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn＞0）上．
（1）求的最小值；
（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．
18．已知函数f（x）＝x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）＝g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．
第一章 预备知识—第四章 对数运算与对数函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若集合A＝{x|lgx≤1}，B＝{x|2x≤4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．8个
【答案】C
【分析】解指数不等式、对数不等式求出集合A、B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再根据含有n个元素的集合的子集数是2n个，求出结果．
【解答】解：集合A＝{x|lgx≤1}＝{x|0＜x≤10}，B＝{x|2x≤4，x∈Z}＝{x|x≤2，x∈z}，
∴A∩B＝{1，2}，故A∩B的子集共有4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，利用了含有n个元素的集合的子集数是2n个
2．函数f（x）＝的定义域为（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，+∞）
C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，0）∪（0，+∞）
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）＝，
令，
解得：x＞﹣1且x≠0；
所以函数f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．
3．下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）
A．f（x）＝x﹣1，g（x）＝
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）＝x，g（x）＝
D．f（x）＝，g（t）＝t
【答案】D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．
【解答】解：对于A，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误，
对于B，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误，
对于C，函数f（x）的定义域为R，函数g（x）的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误，
对于D，函数f（x）＝＝x，定义域为R，函数g（t）＝t，定义域为R，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一个函数，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
4．下列函数中是奇函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，依次判断选项，先得到函数的定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，即可得选项中函数的奇偶性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次判断选项：
对于A，，其定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意，
对于B，y＝2x+，其定义域为R，有f（﹣x）＝2﹣x+＝2x+＝f（x），是偶函数，不符合题意，
对于C，y＝x+，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣（x+）＝﹣f（x），是奇函数，符合题意，
对于D，y＝x2+，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝x2+＝f（x），是偶函数，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．
5．下列说法中错误的是（　　）
A．已知a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件
B． x∈（0，+∞），lgx≥
C．已知a∈R，则“0＜a＜1”是“函数y＝log2（ax2+2ax+1）的定义域是R”的充要条件
D． a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）＝ax﹣1+logax+2的图象恒过点（1，3）
【答案】C
【分析】对于A，求出不等式a2＞a中a的取值范围，即可求解，
对于B，结合特殊值法，即可求解，
对于C，结合特殊值法，即可求解，
对于D，结合指数函数和对数函数的性质，即可求解．
【解答】解：对于A，a2＞a，即a（a﹣1）＞0，解得a＞1或a＜0，
故“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故A正确，
对于B，当x＝10时，lgx＝，
故 x∈（0，+∞），lgx≥，故B正确，
对于C，当a＝0时，函数y＝log2（ax2+2ax+1）的定义域是R，故C错误，
对于D， a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）＝ax﹣1+logax+2，
则f（1）＝a0+loga1+2＝3，
故函数f（x）＝ax﹣1+logax+2的图象恒过点（1，3），故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【答案】C
【分析】由已知结合对数的性质及函数的单调性及奇偶性即可比较大小．
【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，
所以a＝﹣f（log2）＝f（﹣log2）＝f（log25），
因为2＜log24.2＜log25＜3，1＜20.9＜2，
所20.9＜log24.2＜log25，
又函数f（x）在R上是增函数，
所以f（20.9）＜f（log24.2）＜f（log25），
即c＜b＜a．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值大小的比较，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用，属于基础题．
7．已知f（x+1）是定义在R上的奇函数，f（2）＝﹣2，且对任意x1≤1，x2≤1，x1≠x2，＜0恒成立，则使不等式|f（2﹣log2x）|＜2成立的x的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（4，+∞） D．（1，4）
【答案】D
【分析】由已知先判断函数的单调性，然后结合单调性及对称性即可求解不等式．
【解答】解：因为对任意x1≤1，x2≤1，x1≠x2，＜0恒成立，
所以f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，
又f（x+1）是定义在R上的奇函数，f（2）＝﹣2，
所以f（x）的图象关于（1，0）对称，f（0）＝2，
根据函数对称性可知f（x）在R上单调递减，
由不等式|f（2﹣log2x）|＜2可得﹣2＜f（2﹣log2x）＜2，
所以0＜2﹣log2x＜2，
解得1＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．
8．已知，则m，n，k的大小关系是（　　）
A．m＞n＞k B．m＜n＜k C．n＜m＜k D．n＜k＜m
【答案】D
【分析】分别作出函数y＝3x，，是图象，而m，n，k分别为与y＝log3x，y＝3x与，与的交点的横坐标，结合函数的图象可判断，m，n，k的大小
【解答】解：分别作出函数y＝3x，，图象，
∵m，n，k分别为与y＝log3x，y＝3x与，与的交点的横坐标
结合函数的图象可知，n＜k＜m
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用指数函数与对数函数的图象比较大小，解题的关键是准确作出函数的图象，体现了数形结合思想的应用
二、填空题
9．已知函数＝　﹣4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，而lg＝﹣lg2，与lg2互为相反数，根据函数的奇偶性即可求出f（lg）的值．
【解答】解：∵函数，∴，
f（lg）＝f（﹣lg2）＝﹣f（lg2），∴f（lg）＝﹣4
故答案为﹣4
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断与应用，做题时要善于观察，找出规律．
10．设函数，则f（f（1））＝　﹣　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分段函数求出f（1）的值，从而求出f（f（1））即可．
【解答】解：函数，
则f（1））＝﹣1，
∴f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了求函数值问题，考查分段函数问题，是一道基础题．
三、多选题
11．下列运算中正确的是（　　）
A．
B．当a＞0时，
C．若a+a﹣1＝14，则＝3
D．
【答案】BD
【分析】利用指数和对数运算公式即可直接解出．
【解答】解：对于A选项，，故A选项错误；
对于B选项，＝＝＝，故B选项正确；
对于C选项，令，则m2＝a+a﹣1+2＝16，故m≠3，选项C错误；
对于D选项，＝＝7，故选项D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了指数和对数的运算，学生的数学运算能力属于基础题．
12．函数f（x）＝（x2﹣ax﹣1）（x﹣b），当x＞0时，f（x）≥0，则ab的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣
【答案】AB
【分析】构造g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，可得g（x）必过点（b，0），函数g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，两函数同号，求得b的范围即可．
【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，
则h（x）在（0，+∞）上为增函数，且h（b）＝0，
当x＞0时，f（x）≥0，则有x＞b时，g（x）≥0，
当0＜x＜b时，g（x）≤0，
即g（x）必过点（b，0），
则g（b）＝b2﹣ab﹣1＝0，即a＝b﹣，
此时g（x）＝x2+（﹣b）x﹣1＝（x+）（x﹣b），
则满足g（x）的另一个零点﹣≤0，
即b＞0，
所以ab＝b（b﹣）＝b2﹣1＞﹣1，
所以ab的取值可以是0，1．
故选：AB．
【点评】此题考查函数与方程的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数g（x）＝x2﹣ax﹣1，h（x）＝x﹣b，两函数同号，属于中档题．
13．已知a＞b＞0，则下列说法中正确的有（　　）
A．a2＞ab B．
C．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b） D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质可判断A，取特殊值判断B，根据不等式的性质和对数函数的性质可判断C，根据基本不等式可判断D．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴a2＞ab，故A正确；
当m＝0时，选项B不成立，故B错误；
当a＝1，b＝2时，则ln（1﹣a）与ln（1﹣b）无意义，故C错误；
∵a＞b＞0，
∴+＞2＝，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到不等式的性质，函数单调性，属于基础题．
14．下列说法中正确的有（　　）
A．若对任意x∈[2，+∞），＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2+2）
B．若函数f（x）＝且满足对任意的实数x1，x2，x1≠x2，都有＞0成立，则1≤b≤2
C．函数f（x）＝的最大值是
D．若函数f（x）＝x2+ax+3在区间（﹣1，1）上的最小值为﹣3，则a＝±2
【答案】BC
【分析】分别根据对勾函数．函数的单调性、二次函数的最值、区间上的最值对每一个选项求解即可判断．
【解答】解：对于选项A，因为，有，
由对勾函数可知，在x∈[2，+∞）上单调递增，所以，所以，故A不正确；
对于选项C，，故其是大值为，选项C正确；
对于选项D，f（x）＝x2+ax+3在区间（﹣1，1）上要有最小值，其区间为开区间，
所以，解得，
又因为，即﹣2＜a＜2，故不满足题意的值，故D不正确．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
四、解答题
15．已知集合U＝R，，
（1）求集合A、B； （2）求A∩B、A∩（ UB）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数定义域的确定原则，我们求出使函数的解析式有意义的自变量x的取值范围，即可得到集合A，再根据指数函数的性质，求出函数的值域，即可求出B．
（2）由（1）中结论，我们结合交集及补集的定义及运算法则，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵要使函数的解析式有意义
自变量x须满足x﹣1≥1，即x≥2
∴A＝{x|x≥2}（2分）
当﹣2≤x≤﹣1时，
∈[2，4]
则+1∈[3，5]
∴B＝{x|3≤x≤5}（4分）
（2）由（1）的结论可得
A∩B＝{x|3≤x≤5}＝B（6分）
A∩ UB＝{x|2≤x＜3或x＞5}（8分）
【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，指数函数的值域，对数函数的定义域，其中根据基本初等函数的性质求出集合A，B是解答本题的关键．
16．求值：
（1）（log2125+log425+log85） （log52+log254+log1258）；
（2）．
【答案】（1）13．
（2）．
【分析】（1）利用对数的运算性质求解．
（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式＝ （log52+log52+log52）
＝ 3log52＝＝3×＝13．
（2）原式＝+
＝+＝＝．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
17．已知函数f（x）＝1+logax（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，点A在直线y＝mx+n（mn＞0）上．
（1）求的最小值；
（2）若a＝2，当x∈[2，4]时，求y＝[f（x）]2﹣2f（x）+3的值域．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出函数f（x）过的定点A的坐标，代入直线方程，再利用基本不等式即可求出结果；
（2）由x的范围，算出log2x的范围，即可求出y的值域．
【解答】解：（1）∵loga1＝0，∴函数f（x）＝1+logax的图象恒过点A的坐标为（1，1），
∵点A（1，1）在直线y＝mx+n（mn＞0）上，
∴m+n＝1，
∵mn＞0，∴
∴，当且仅当m＝n时，等号成立，
∴的最小值为4；
（2）当a＝2时，f（x）＝1+log2x，
∴＝，
∵2≤x≤4，∴1≤log2x≤2，
∴3≤y≤6，
∴y的值域为：[3，6]．
【点评】本题主要考查了对数函数的性质，以及基本不等式，是中档题．
18．已知函数f（x）＝x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）＝g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意可得 h（x）＝x2+lg|a+2|；g（x）＝（a+1）x．
（2）由函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数得 ，求出a的范围为集合A，由函数g（x）是减函数得a+1＜0，求出a的范围为集合B，则（A∩）∪（∩B）即为所求．
（3）求出f （2），由函数在上递增，可得f （2）＞f （﹣ ），从而得到所求．
【解答】解：（1）由题意可得 h（x）＝x2+lg|a+2|；g（x）＝（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））＝x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x＝，
在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 ，解得，因为a≠﹣2．
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜﹣1，a≠﹣2．
当命题P真且命题Q假时，由，解得a≥﹣1．
当命题P假且命题Q真时，由，即得﹣＜a＜﹣1．
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是．
（3）f（2）＝4+2a+2+lg|a+2|＝6+2a+lg（a+2），因为在上递增，
所以，，即：f（2）∈（3﹣lg2，+∞）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的解法，求两个集合的交集、并集和补集，准确运算是解题的难点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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