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第3章 不等式
一、选择题
1．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下面正确的为（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
2．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1}
C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}
3．（5分）设a，b是两个实数，且a≠b，①a5+b5＞a3b2+a2b3，②a2+b2≥2（a﹣b﹣1），③．上述三个式子恒成立的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（5分）设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣1＜a＜0}
C．{a|a≤0或a≥1} D．{a|a＜﹣1或a＞0}
5．（5分）函数f（x）＝（x＞1）的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
6．（5分）如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
7．（5分）已知正实数a，b，c，d满足a+b＝1，c+d＝1，则的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．4 D．3
8．（5分）设正实数x，y满足，y＞2，不等式恒成立，则m的最大值为（　　）
A． B． C．8 D．16
二、多选题
9．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则（1﹣xy）（1+xy）有（　　）
A．最小值 B．最小值 C．最小值1 D．最大值1
10．（5分）下列四个不等式中，解集为 的是（　　）
A．﹣x2+x+1≤0
B．2x2﹣3x+4＜0
C．x2+6x+9≤0
D．
11．（5分）下列各小题中，最大值是的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（5分）已知a∈Z，关于x一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空题
13．（5分）记关于x的不等式x2﹣x+a﹣a2≤0的解集为A，集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，若A B，则实数a的取值范围为 　 　 ．
14．（5分）已知正数a，b满足a+b＝1，则的最小值等于 　 　 ．
15．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜5内有解，则实数a的取值范围是　 　 ．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝3，则xy的最大值是 　 　 ．
四、解答题
17．（10分）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
18．（12分）已知a＞0，b＞0．
（1）求证：a2+3b2≥2b（a+b）；
（2）若a+b＝2ab，求ab的最小值．
19．（12分）已知关于x的方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．
20．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
21．（12分）已知f（x）＝ax2+x﹣a，a∈R．
（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；
（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．
22．（12分）已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．
（1）求关于x的不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B（其中z为整数集），试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
第3章 不等式
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下面正确的为（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
【答案】D
【分析】根据题意，先确定最大的数ab＞0，再确定最小的数a，从而得出正确的结论．
【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，
∴ab＞0，1＞b2＞0，
∴0＞ab2＞a，
∴ab＞ab2＞a．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进行判断，是基础题．
2．（5分）不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　）
A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1}
C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1}
【答案】B
【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0，
因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0，
可化为：或，
解得：x＞4或x＜﹣1，
则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题．
3．（5分）设a，b是两个实数，且a≠b，①a5+b5＞a3b2+a2b3，②a2+b2≥2（a﹣b﹣1），③．上述三个式子恒成立的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】对于①，欲证a5+b5＞a2b3+a3b2，只要证a5+b5﹣a2b3+a3b2＞0即可，移项后利用二次式的配方法即可；对于②，左右作差后配成完全平方后即得；对于③，因为a，b不一定是同号，不能直接利用基本不等式得到．
【解答】解：①a5+b5﹣a3b2﹣a2b3＝a3（a2﹣b2）+b3（b2﹣a2）
＝（a2﹣b2）（a3﹣b3）＝（a+b）（a﹣b）2（a2+ab+b2）．
∵（a﹣b）2≥0，a2+ab+b2≥0，但a+b符号不确定，
∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正确；
故从条件来看，①不一定成立；
②a2+b2﹣2a+2b+2＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，
∴a2+b2≥2（a﹣b﹣1）；成立；
③因为a，b不一定是同号，不正确．
正确的为：②．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式，涉及到基本不等式、作差比较法、二次函数的配方法等，属于基础题．本题主要考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．
4．（5分）设p：0＜x＜1，q：（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣1＜a＜0}
C．{a|a≤0或a≥1} D．{a|a＜﹣1或a＞0}
【答案】A
【分析】根据题意求出条件q的取值范围，再根据p是q的充分不必要条件列不等式组求得实数a的取值范围．
【解答】解：由（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0得a≤x≤a+2，
所以p：0＜x＜1，q：a≤x≤a+2，
若p是q的充分不必要条件，则，解得﹣1≤a≤0，
所以实数a的取值范围{a|﹣1≤a≤0}．
故选：A．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的应用问题，是基础题．
5．（5分）函数f（x）＝（x＞1）的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【分析】先把函数函数f（x）＝变形，把分子凑出（x﹣1），再把分子分母同除（x﹣1），得到f（x）＝+，因为x＞1，就可用均值不等式求最小值，最后一定要检验最小值是否成立．
【解答】解：（x）＝可变形为f（x）＝
即f（x）＝+，
∵x＞1，∴＞0，＞0，
∴+≥2＝1，
当且仅当，即（x﹣1）2＝1，x＝2时，等号成立．
∴函数f（x）＝（x＞1）的最小值是1
故选：A．
【点评】本题主要考查了应用均值不等式求函数的最小值的问题，注意检验均值不等式成立的条件是否具备．
6．（5分）如果关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，﹣2） C．（﹣2，2] D．（﹣2，2）
【答案】C
【分析】分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解．
【解答】解：关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切实数x恒成立，
当a＝2时，对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，
则，解得：﹣2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（﹣2，2]．
故选：C．
【点评】本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题．
7．（5分）已知正实数a，b，c，d满足a+b＝1，c+d＝1，则的最小值是（　　）
A．10 B．9 C．4 D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式求得≥4，再利用基本不等式求得的最小值．
【解答】解：∵a+b＝1，c+d＝1，∴ab≤＝，∴≥4，当且仅当a＝b＝时，取等号．
则≥4+＝（c+d） （+）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当a＝b＝时，且c＝，d＝时，的最小值为9，
故选：B．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形，是解题的关键和难点，属于中档题．
8．（5分）设正实数x，y满足，y＞2，不等式恒成立，则m的最大值为（　　）
A． B． C．8 D．16
【答案】D
【分析】令y﹣2＝a，3x﹣2＝b，则y＝a+2，x＝，将原式转化为关于a，b的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：设y﹣2＝a，3x﹣2＝b，（a＞0，b＞0），
，
当且仅当a＝b＝2，即，y＝4时取等号
故选：D．
【点评】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题．
二、多选题
9．（5分）已知实数x，y满足x2+y2＝1，则（1﹣xy）（1+xy）有（　　）
A．最小值 B．最小值 C．最小值1 D．最大值1
【答案】BD
【分析】由已知结合基本不等式xy≤（）2及不等式性质即可判断求解．
【解答】解：因为x2+y2＝1，
则（1﹣xy）（1+xy）＝1﹣（xy）2＝，当且仅当x2＝y2＝时取等号，
此时（1﹣xy）（1+xy）有最小值．
因为x2y2≥0，
所以1﹣（xy）2≤1即最大值为1．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，公式的灵活应用是求解问题的关键．
10．（5分）下列四个不等式中，解集为 的是（　　）
A．﹣x2+x+1≤0
B．2x2﹣3x+4＜0
C．x2+6x+9≤0
D．
【答案】BD
【分析】分别求出选项中一元二次不等式的解集，即可得出正确的选项．
【解答】解：对于A，不等式﹣x2+x+1≤0可化为x2﹣x﹣1≥0，解集为（﹣∞，]∪[，+∞），不是 ；
对于B，不等式2x2﹣3x+4＜0中，Δ＝9﹣32＝﹣23＜0，不等式的解集为 ；
对于C，不等式x2+6x+9≤0可化为（x+3）2≤0，解集为{﹣3}，不是 ；
对于D，不等式﹣x2+4x﹣（a+）＞0可化为x2﹣4x+（a+）＜0，
Δ＝16﹣4（a+）≤16﹣4 2＝0，当且仅当a＝2时取“＝”；
所以原不等式的解集为 ．
故选：BD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
11．（5分）下列各小题中，最大值是的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．
【解答】解：A．y没有最大值；
B．y2＝x2（1﹣x2）≤＝，y≥0，∴y≤，当且仅当x＝时取等号．
C．x＝0时，y＝0．x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号．
D．y＝x+2+﹣2≥2﹣2＝2，x＞﹣2，当且仅当x＝0时取等号．
故选：BC．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题．
12．（5分）已知a∈Z，关于x一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【分析】利用题中的条件，解出不等式的解集，即可解出．
【解答】解：由题意36﹣4a＞0，即a＜9，
方程x2﹣6x+a＝0的两根为：3﹣，3+，
所以不等式的解集为{x|3﹣≤x≤3+}，
当a＝6时，不等式的解为3﹣≤x≤3+，此时x可以取整数，2，3，4满足题意；
当a＝7时，不等式的解为3﹣，此时x可以取整数，2，3，4满足题意；
当a＝8时，不等式的解为2≤x≤4，此时x可以取整数，2，3，4满足题意；
故选：ABC．
【点评】本题考查了不等式的解法，学生的数学运算能力，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）记关于x的不等式x2﹣x+a﹣a2≤0的解集为A，集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，若A B，则实数a的取值范围为 　（﹣1，2）　 ．
【答案】（﹣1，2）．
【分析】根据题意，解含参不等式x2﹣x+a﹣a2≤0，分a＞，a＝，a＜三种情况，讨论即可．
【解答】解：由x2﹣x+a﹣a2≤0，得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]≤0，
当a＞1﹣a，即a＞时，原不等式的解集A＝{x|1﹣a≤x≤a}；
∵集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，A B，
∴，解得a∈（，2），
当a＝1﹣a，即a＝时，原不等式的解集A＝{}，A B，符合题意，故a＝成立；
当a＜1﹣a，即a＜时，原不等式的解集A＝{x|a≤x≤1﹣a}．
∵集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，A B，
∴，解得a∈（﹣1，），
∴综上，实数a的取值范围是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查根据集合的包含关系，求参数的取值范围，属于基础题．
14．（5分）已知正数a，b满足a+b＝1，则的最小值等于 　2+2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知进行1的代换后，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝1，
所以＝＝＝，
当且仅当且a+b＝1，即a＝，a＝2时取等号，
所以的最小值等于2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，考查了转化思想和整体思想，属基础题．
15．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜5内有解，则实数a的取值范围是　（﹣∞，6）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将不等式转化为函数，用二次函数的图象和性质求函数的值域即可．
【解答】解：不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0，即a＜2x2﹣8x﹣4，
设f（x）＝2x2﹣8x﹣4，
则f（x）＝2x2﹣8x﹣4＝2（x﹣2）2﹣12，
当1＜x＜5时，
当x＝2时，函数f（x）取得最小值为﹣12，
当x＝5时，f（x）＝2×9﹣12＝6，
则﹣12≤f（x）＜6，
∴要使不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜5内有解，
则a＜6，
即实数a的取值范围是（﹣∞，6）．
故答案为：（﹣∞，6）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，利用二次函数和二次不等式之间的关系，将不等式转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质求函数的值域是解决本题的关键．
16．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝3，则xy的最大值是 　　 ．
【答案】．
【分析】由x＞0，y＞0可得x+2y≥2，即3≥2，从而即可求出xy的最大值．
【解答】解：由x＞0，y＞0，得x+2y≥2，即3≥2，解得xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时等号成立，
所以xy的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
四、解答题
17．（10分）已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0．
（1）若不等式的解集为，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，把x＝1代入方程求出k的值；
（2）讨论k＝0和k≠0时，利用判别式求出k的取值范围．
【解答】解：（1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为，
所以﹣和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，
代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得k＝；
（2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R，
则k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意；
k≠0时，应满足，
解得﹣8＜k＜0；
综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0．
【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．
18．（12分）已知a＞0，b＞0．
（1）求证：a2+3b2≥2b（a+b）；
（2）若a+b＝2ab，求ab的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）ab的最小值为1．
【分析】（1）利用作差法，结合任意x2≥0，即可证明结论；
（2）利用基本不等式，求解计算即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：由题意可得a2+3b2﹣[2b（a+b）]＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，
即a2+3b2≥2b（a+b）；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴2ab＝a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
即ab﹣≥0，解得≥1，
∴ab≥1，
故ab的最小值为1．
【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的灵活使用和基本不等式的应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）已知关于x的方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m＝0的两根为x1，x2，若x1＜1＜x2＜3，求实数m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程根的分布求解即可．
【解答】解：方程（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m＝0的两根为x1，x2，
∴m+1≠0，
令f（x）＝（m+1）x2+2（2m+1）x+1﹣3m，
∵两根为x1，x2，且x1＜1＜x2＜3，
①当m+1＞0时，即m＞﹣1，且f（1） f（3）＜0，
f（1）＝m+1+2（2m+1）+1﹣3m＜0，解得：m＜﹣2
f（3）＝9（m+1）+6（2m+1）+1﹣3m＞0，解得：m
此时m无解．
②当m+1＜0，即m＜﹣1．且f（1） f（3）＜0，
f（1）＝m+1+2（2m+1）+1﹣3m＞0，解得：m＜﹣2
f（3）＝9（m+1）+6（2m+1）+1﹣3m＜0，解得：m
则此可得：﹣2＜m＜﹣1．
故得实数m的取值范围时（﹣2，﹣1）．
【点评】本题主要考查二次方程和二次函数之间的关系，利用二次函数根的分布是解决本题的关键．
20．（12分）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+45000，两边同时除以x，然后利用基本不等式从而求出最值；
（2）设该单位每月获利为S，则S＝200x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解
【解答】解：（1）由题意可知，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，
∴二氧化碳每吨的平均处理成本为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）该单位每月能获利．
设该单位每月获利为S元，则
S＝200x﹣y＝﹣x2+400x﹣45000＝﹣（x﹣400）2+35 000，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
因为x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
故该单位每月获利，最大利润为35000元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值．
21．（12分）已知f（x）＝ax2+x﹣a，a∈R．
（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；
（2）若不等式f（x）＞﹣2x2﹣3x+1﹣2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，解不等式f（x）＞1．
【答案】（1）{x|x≤﹣2，或 x≥1}．
（2）（2，+∞）．
（3）当﹣＜a＜0时，不等式的解集为 {x|1＜x＜﹣}；
当 a＝﹣时，不等式的解集为 ；
当a＜﹣时，不等式的解集为 {x|﹣＜x＜1}．
【分析】（1）当a＝1，不等式即（x+2）（x﹣1）≥0，解此一元二次不等式求得它的解集．
（2）由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，当a＝﹣2 时，显然不满足条件，故有 ，由此求得a的范围．
（3）若a＜0，不等式为 ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0．再根据1和﹣的大小关系，求得此不等式的解集．
【解答】解：（1）当a＝1，不等式f（x）≥1即 x2+x﹣1≥1，即（x+2）（x﹣1）≥0，解得 x≤﹣2，或 x≥1，
故不等式的解集为{x|x≤﹣2，或 x≥1}．
（2）由题意可得 （a+2）x2+4x+a﹣1＞0恒成立，
当a+2＝0，即a＝﹣2 时，显然不满足条件．
而当a+2＜0时，由二次函数的性质可得，（a+2）x2+4x+a﹣1＞0不可能恒成立，
∴．
解得 a＞2，故a的范围为（2，+∞）．
（3）若a＜0，不等式为 ax2+x﹣a﹣1＞0，即 （x﹣1）（x+）＜0．
∵1﹣（﹣）＝，
∴当﹣＜a＜0时，1＜﹣，不等式的解集为 {x|1＜x＜﹣}；
当 a＝﹣时，1＝﹣，不等式即（x﹣1）2＜0，它的解集为 ；
当a＜﹣时，1＞﹣，不等式的解集为 {x|﹣＜x＜1}．
综上可得，当﹣＜a＜0时，不等式的解集为 {x|1＜x＜﹣}；
当 a＝﹣时，不等式的解集为 ；
当a＜﹣时，不等式的解集为 {x|﹣＜x＜1}．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
22．（12分）已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＞0，其中k∈R．
（1）求关于x的不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B（其中z为整数集），试探究集合B能否为有限集，若能，求出使得集合B中元素最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．
【答案】（1）当k＝0时，A＝{x|x＜4}，当k＞0时，，当k＜0时，；
（2）能，k＝﹣2，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
【分析】（1）分三种情况讨论：①当k＝0时，②当k＞0时，③当k＜0时，结合一元二次不等式的解法求解即可；
（2）由（1），结合集合的运算求解即可．
【解答】解：（1）①当k＝0时，A＝{x|x＜4}，
②当k＞0时，不等式可化为，
又，当且仅当k＝2时取等号，
即当k＞0时，，
③当k＜0时，不等式可化为，
即，
综合①②③可得：当k＝0时，A＝{x|x＜4}，当k＞0时，，当k＜0时，；
（2）由（1）可知：当k≥0时，集合B中的元素个数有无数个，
当k＜0时，集合B中的元素个数有限，此时集合B为有限集，
因为，当且仅当k＝﹣2时取等号，
所以当k＝﹣2时，集合B中元素最少，
此时A＝{x|﹣4＜x＜4}，
故集合B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
【点评】本题考查了集合的运算，重点考查了不等式的解法及分类讨论的数学思想方法，属中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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