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第4章 指数与对数
一、选择题
1．（5分）化简＝（　　）
A． B． C．1 D．
2．（5分）式子log2（log216）+×（）﹣5＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（5分）已知函数f（x）＝4x5+3x3+2x+1，则f（log23）+f（lo）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
4．（5分）已知，则的值是（　　）
A．15 B．12 C．16 D．25
5．（5分）若a+b＝，ab＝（m＞0），则a3+b3等于（　　）
A．0 B． C．﹣ D．
6．（5分）设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为 （　　）
A． B． C．1 D．
7．（5分）已知3x＝5y＝a，且+＝2，则a的值为（　　）
A． B．15 C．± D．225
8．（5分）若log34 log168 log8a＝log93，则a等于（　　）
A．9 B．3 C．27 D．8
二、多选题
9．（5分）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的是（　　）
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
10．（5分）下列运算正确的是（　　）
A．＝π﹣3 B．e2x＝（ex）2
C．＝a﹣b D．＝
11．（5分）已知ab＞0且ab≠1，下面四个等式中正确的有（　　）
A．lg（ab）＝lga+lgb B．lg＝lga﹣lgb
C．lg（）2＝lg D．lg（ab）＝
12．（5分）若10a＝4，10b＝25，则（　　）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＞lg6
三、填空题
13．（5分）计算的结果是 　 　 ．
14．（5分）已知3a＝4，b＝log23，则ab＝　 　 ；4b＝　 　 ．
15．（5分）已知2a＝3，9b＝8，则a＝　 　 ，ab＝　 　 ．
16．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay＝c，这时，实数a的取值的集合为 　 　 ．
四、解答题
17．（10分）计算：
（1）（﹣10（﹣2）﹣1+20×（﹣）0+（﹣8；
（2）﹣（）﹣2+（﹣（﹣1）0．
18．（12分）（1）计算：lg25﹣lg22+lg4+（×（﹣）0﹣
（2）已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log365．
19．（12分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
20．（12分）计算下列各式：
（1）（式中字母是正数）；
（2）计算．
21．（12分）已知集合A＝{x，xy，lgxy}，B＝{0，|x|，y}．若A＝B，则log8（x2+y2）＝　 　 ．
22．（12分）已知26a＝38b＝62c（a，b，c均不为0），求a，b，c间满足的关系．
第4章 指数与对数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（5分）化简＝（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】把根式转化为分数指数幂的形式，然后进行分数指数幂的运算即可．
【解答】解：原式＝．
故选：D．
【点评】本题考查了根式和分数指数幂的转化，分数指数幂的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）式子log2（log216）+×（）﹣5＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】有题设先求出log216＝4以及＝2﹣2，再求出log24＝2以及2﹣2×＝8，相加得结果．
【解答】解：log2（log216）+×＝log24+2﹣2×＝2+8＝10，
故选：D．
【点评】本题考查了对数和指数运算性质的应用：求式子的值，属于基础题．
3．（5分）已知函数f（x）＝4x5+3x3+2x+1，则f（log23）+f（lo）＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】A
【分析】可知f（x）﹣1＝4x5+3x3+2x在R上是奇函数；从而解得．
【解答】解：∵f（x）＝4x5+3x3+2x+1，
∴f（x）﹣1＝4x5+3x3+2x在R上是奇函数；
又∵log23＝﹣lo，
∴f（log23）﹣1+f（lo）﹣1＝0；
∴f（log23）+f（lo）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的化简与应用及函数的性质的判断．
4．（5分）已知，则的值是（　　）
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【分析】推导出m+m﹣1＝（）2﹣2＝14，再由＝m+m﹣1+1，能求出结果．
【解答】解：∵，
∴m+m﹣1＝（）2﹣2＝14，
∴＝m+m﹣1+1＝15．
故选：A．
【点评】本题考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）若a+b＝，ab＝（m＞0），则a3+b3等于（　　）
A．0 B． C．﹣ D．
【答案】B
【分析】由已知求得a2+b2的值，然后展开立方和公式求解a3+b3的值．
【解答】解：由a+b＝，得（a+b）2＝a2+2ab+b2＝，
又ab＝，∴＝．
∴a3+b3＝（a+b）（a2+b2﹣ab）＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，考查立方和公式的应用，是基础题．
6．（5分）设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为 （　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】x、y是正数，且xy＝yx，可得ylgx＝xlgy，把y＝9x代入9xlgx＝xlg（9x），化简即可得出．
【解答】解：∵x、y是正数，且xy＝yx，∴ylgx＝xlgy，
∵y＝9x，∴9xlgx＝xlg（9x），
∴9lgx＝lg9+lgx，
化为8lgx＝lg9，
∴x8＝9，x＞0，∴x＝．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题．
7．（5分）已知3x＝5y＝a，且+＝2，则a的值为（　　）
A． B．15 C．± D．225
【答案】A
【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵3x＝5y＝a，
∴xlg3＝ylg5＝lga，
∴，，
∴2＝＝，
∴lga2＝lg15，
∵a＞0，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．
8．（5分）若log34 log168 log8a＝log93，则a等于（　　）
A．9 B．3 C．27 D．8
【答案】B
【分析】对数的换底公式化简等式的左边为，再根据等式的右边为，从而求得a的值．
【解答】解：由换底公式可得log34 log168 log8a＝＝ ＝＝，
再根据 log34 log168 log8a＝log93，可得 ＝，∴a＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查对数的换底公式的应用，对数的运算性质，属于基础题．
二、多选题
9．（5分）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的是（　　）
A．当n为奇数时，x的n次方根为a
B．当n为奇数时，a的n次方根为x
C．当n为偶数时，x的n次方根为±a
D．当n为偶数时，a的n次方根为±x
【答案】BD
【分析】根据n次方根的定义判定即可．
【解答】解：当n为奇数时，a的n次方根为x，
当n为偶数时，a的n次方根为±x，
故B，D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了n次方根的定义，考查函数的零点问题，是一道基础题．
10．（5分）下列运算正确的是（　　）
A．＝π﹣3 B．e2x＝（ex）2
C．＝a﹣b D．＝
【答案】ABC
【分析】根据有理数指数幂和根式的运算性质逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于选项A：＝|3﹣π|＝π﹣3，故选项A正确，
对于选项B：e2x＝（ex）2，故选项B正确，
对于选项C：＝a﹣b，故选项C正确，
对于选项D：＝，故选项D错误，
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了根式的性质，是基础题．
11．（5分）已知ab＞0且ab≠1，下面四个等式中正确的有（　　）
A．lg（ab）＝lga+lgb B．lg＝lga﹣lgb
C．lg（）2＝lg D．lg（ab）＝
【答案】CD
【分析】由条件得不出a＞0，b＞0，从而判断选项A，B都错误；然后根据对数的运算性质和换底公式即可判断选项C，D都正确．
【解答】解：由ab＞0得不出a＞0，b＞0，从而判断出A，B都错误；
ab＞0且ab≠1，所以根据对数的换底公式判断选项D正确，
ab＞0所以，所以根据对数的运算可判断选项C正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了对数的真数和底数的范围，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
12．（5分）若10a＝4，10b＝25，则（　　）
A．a+b＝2 B．b﹣a＝1 C．ab＞8lg22 D．b﹣a＞lg6
【答案】ACD
【分析】由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，利用对数的运算性质即可判断出结论．
【解答】解：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，
则a+b＝lg100＝2，，ab＝4lg2lg5＞4lg2lg4＝8lg22，
故选：ACD．
【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三、填空题
13．（5分）计算的结果是 　6　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】可利用根式的运算性质＝将原式转化为有理数指数幂的形式，化简整理即可．
【解答】解：∵原式＝2×××
＝2××
＝2×1×3
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，将根式化为指数幂是关键，属于基础题．
14．（5分）已知3a＝4，b＝log23，则ab＝　2　 ；4b＝　9　 ．
【答案】2，9．
【分析】求出a＝log34，利用换底公式能求出ab，4b．
【解答】解：∵3a＝4，b＝log23，
∴a＝log34，
∴ab＝log34 log23＝＝2，
4b＝＝＝9．
故答案为：2，9．
【点评】本题考查对数的性质、运算法则的应用，考查换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）已知2a＝3，9b＝8，则a＝　log23　 ，ab＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用指数式、对数式互化公式和对数换底公式直接求解．
【解答】解：∵2a＝3，∴a＝log23．
∵9b＝8，∴b＝log98，
∴ab＝log23×log98＝＝．
故答案为：log23，．
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay＝c，这时，实数a的取值的集合为 　{3}　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．
【解答】解：∵logax+logay＝c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：
由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，
∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c＝3，a＝3．适合题意．
∴实数a的取值的集合为{3}．
【点评】由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．
四、解答题
17．（10分）计算：
（1）（﹣10（﹣2）﹣1+20×（﹣）0+（﹣8；
（2）﹣（）﹣2+（﹣（﹣1）0．
【答案】（1）16．
（2）．
【分析】（1）（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣+20×1+＝10﹣10（+2）+20+16＝10﹣10﹣20+20+16＝16．
（2）原式＝﹣4+﹣1＝4﹣4+﹣1＝．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
18．（12分）（1）计算：lg25﹣lg22+lg4+（×（﹣）0﹣
（2）已知log189＝a，18b＝5，试用a，b表示log365．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据对数、指数和根式的运算性质运算即可；
（2）根据对数的运算性质和对数的换底公式进行运算即可．
【解答】解：（1）原式＝（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+lg4+＝lg5﹣lg2+lg4＝lg10＝1．
（2）∵log189＝a，log185＝b，
∴＝．
【点评】本题考查了对数、指数和根式的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
19．（12分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】结合指数的运算性质可求（1），结合对数的运算性质及对数恒等式可求（2）．
【解答】解（1）由题意可得＝；
（2）由对数的运算性质可得，＝+lg（25×4）+2＝＝．
【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的应用，属于基础题．
20．（12分）计算下列各式：
（1）（式中字母是正数）；
（2）计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出．
（2）利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1）原式＝＝．
（2）原式＝＝1．
【点评】本题考查了指数幂与对数的运算法则，属于基础题．
21．（12分）已知集合A＝{x，xy，lgxy}，B＝{0，|x|，y}．若A＝B，则log8（x2+y2）＝　　 ．
【答案】．
【分析】根据A＝B可得出lgxy＝0，得出xy＝1，然后根据集合元素的互异性即可求出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵A＝B，
∴lgxy＝0，xy＝1，
∴根据集合元素的互异性：|x|＝1，x＝﹣1，y＝﹣1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了集合相等的定义，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基础题．
22．（12分）已知26a＝38b＝62c（a，b，c均不为0），求a，b，c间满足的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据对数的定义，设26a＝38b＝62c＝k，得到＝＝6logk2，＝8logk3，＝2logk6，再利用对数的运算性质得到
【解答】解：设26a＝38b＝62c＝k，
则6a＝log2k，8b＝log3k，2c＝log6k，
∴＝＝6logk2，＝8logk3，＝2logk6，
∴+＝24logk2+24logk3＝24logk6＝12，
即
【点评】本题主要考查了对数的定义和运算性质，属于基础题
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