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鲁教版（五四制）数学七年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．如图所示，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AE=DB B．∠C=∠F C．BC=EF D．∠ABC=∠DEF
2．（2024七上·宁阳期末）如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是射线AD上的两点，且DE=DF，则下列结论不正确的是（　　）
A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD面积相等
C．BF∥CE D．AE=BF
3．（2023七上·桥西期中）如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七上·济宁期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（　　）
A．8 B．16 C．12 D．24
5．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理2一定是直角三角形吗）已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　　）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
6．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC 的度数为 （　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．（2024七上·桓台期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（　　）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
8．（2023七上·广饶月考）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．在如图的正方形网格中，∠1+∠2+∠3=(　　)
A．105° B．120° C．115° D．135°
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024八上·新吴月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是：　 　．（写一个即可）
12．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，平分．若，，则　 　．
13．（2025八上·长兴期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是　 　．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为　 　．
15．（2024八上·龙湾期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为　 　m．
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024八上·广州期中）如图，三角形钢架中，，AD是连接A与BC中点D的支架，
求证：．
17．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
18．（2024八上·苏州月考）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
（2）若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
19．（2025八上·红花岗期末）如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：
我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）．
（2）在（1）的条件下，若与相交于点，求．
20．（2024八上·宁波期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
21．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
22．（2025七下·福田期末） 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
23．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个角相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形.根据对材料的理解解决以下问题：
（1）如图 1， 猜想DE，AD，BE之间的关系；
（2）如图2，将(1)中条件改为. 请问(1)中的结论是否成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在中，点D为AB上一点，，请直接写出AB的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A=∠D，
A、∵AE=DB，
∴AE+EB=BD+BE，即AB=DE，
∵在△ABC与△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故此选项不符合题意；
B、∵在△ABC与△DEF中，∠C=∠F，AC=DF，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故此选项不符合题意；
C、∵在△ABC与△DEF中，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，
∴△ABC与△DEF不一定全等，故此选项符合题意；
D、∵在△ABC与△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，内错角相等推出∠A=∠D，题干又给出了AC=DF，从而利用“SAS”可判断A选项，用“ASA”可判断B选项；用“SSA”可判断C选项；用“AAS”可判断D选项.
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ADC，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴CE=BF，∠F=∠DEC，
∴FB∥CE；
由此可知A、B、C正确。
故答案为：D．
【分析】现利用SAS判定△BDF≌△CDE，再推出相关结论，即可逐项判断即可；
3．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，，∴，
∵，∴，
∴.
故选：C．
【分析】根据旋转的性质，得到且， ，得到，再由三角形的内角的关系，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
由作图知：平分∠BAC，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故答案为：B．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠CAB=60°，由作图知AD平分∠BAC，由角平分线的性质可求，利用含30°的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，则，然后利用同高三角形的面积之比等于对应底之比可求出△ABD的面积.
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．
【解答】∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∵长为5，12的边为直角边，
∴三角形的面积=×5×12=30．
故选：A．
【点评】本题需要学生根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式结合求解．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由勾股定理得. =12+22=5，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出△ACB是等腰直角三角形，再求出∠ABC=45°即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故答案为：C．
【分析】设水深为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
∴AE是∠PRQ的平分线
故答案为：D．
【分析】先利用"SSS"证出△ADC≌△ABC，再利用全等三角形的性质可得∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE，从而可证出AE是∠PRQ的平分线.
9．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠4=∠3，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵AD=MD，∠ADM=90°，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°.
故答案为：D
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明△ABC≌△AEF(SAS)得到∠4=∠3，从而等量代换得到∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质得到∠2=45°，从而即可求解。
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】AC=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC=AD，
理由是：∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD（答案不唯一）．
【分析】
只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC=AD或BC=BD，答案不唯一，解答即可．
12．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
，，
，
解得，
又平分，，，
．
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 线段的垂直平分线恰好经过格点，
∴，
在中，，
∴则的长是，
故答案为：．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理求出BD长即可．
14．【答案】6或14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD＋AE＝BD＋CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当△ABC 为钝角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当△ABC 为锐角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14，
综上所述，AD＋AE＝6或14；
故填：6或14；
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解即可.
15．【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作，由题意，得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
即：点C离地面的垂直距离为；
故答案为：．
【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理在实际测量中的应用.解答时需要通过作垂线构造直角三角形，证明两三角形全等，得到边长的等量关系.再结合已知线段长度，设未知数并在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后运用线段和差关系求得最终结果.
16．【答案】证明：∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据D是BC的中点求出BD=CD，再利用SSS证明三角形全等即可.
17．【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用“绳长始终保持不变”分析求解即可；
（2）连接，则点A、B、F三点共线，先利用勾股定理求出AC和BC的长，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
19．【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择条件和结论，然后证明解题；
（2）先得到，根据（1）可得，然后运用三角形的内角和定理解题．
（1）解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
20．【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于等腰三角形任何一个腰上的中线都不可能等于腰，因此当一个等腰三角形是梦想三角形时，只能是底边上的中线等底边的长，因此可过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度即可证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此当一个直角三角形是梦想三角形时，只有其中一条直角边上的中线等于这条直角边，因此可分两种情况：①当边上的中线时，则，利用勾股定理可直接求得；②当边上的中线时，则是，利用勾股定理先求出即可．
（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
21．【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
22．【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
23．【答案】（1）DE=AD+BE.理由：
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCE=90°，
所以∠CAD=∠BCE，
又因为 AC=BC，所以△ADC≌△CEB(AAS)，
所以CE=AD，CD=BE，所以DE=CD+CE=BE+AD；
（2）(1)中结论仍然成立，理由：
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB，∠BCE+∠ACD=180°-∠ACB，∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC，
所以∠CAD=∠BCE.
在△ADC 和△CEB中， 所以△ADC≌△CEB(AAS)，
所以AD=CE，DC=BE，所以 DE=AD+BE，
所以(1)中结论仍然成立；
（3）因为∠A = ∠EDF =∠B，∠EDB =180°-∠ADE=∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，
所以∠AED=∠FDB，
因为 DE=DF，所以△AED≌△BDF(AAS)，所以AE=BD，AD=BF，
所以AB=AD+BD=AE+BF=2+5=7.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)猜想：DE=AD+BE.证明 (AAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)结论成立.证明 推出AD=CE，DC=BE.可得结论；
(3)证明 ，推出AE=BD=2，AD=BF=5，即可解决问题.
1 / 1鲁教版（五四制）数学七年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1．如图所示，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AE=DB B．∠C=∠F C．BC=EF D．∠ABC=∠DEF
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠A=∠D，
A、∵AE=DB，
∴AE+EB=BD+BE，即AB=DE，
∵在△ABC与△DEF中，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故此选项不符合题意；
B、∵在△ABC与△DEF中，∠C=∠F，AC=DF，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），故此选项不符合题意；
C、∵在△ABC与△DEF中，BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，
∴△ABC与△DEF不一定全等，故此选项符合题意；
D、∵在△ABC与△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由二直线平行，内错角相等推出∠A=∠D，题干又给出了AC=DF，从而利用“SAS”可判断A选项，用“ASA”可判断B选项；用“SSA”可判断C选项；用“AAS”可判断D选项.
2．（2024七上·宁阳期末）如图，AD是△ABC的中线，点E、F分别是射线AD上的两点，且DE=DF，则下列结论不正确的是（　　）
A．△BDF≌△CDE B．△ABD和△ACD面积相等
C．BF∥CE D．AE=BF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ADC，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
∴CE=BF，∠F=∠DEC，
∴FB∥CE；
由此可知A、B、C正确。
故答案为：D．
【分析】现利用SAS判定△BDF≌△CDE，再推出相关结论，即可逐项判断即可；
3．（2023七上·桥西期中）如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，，∴，
∵，∴，
∴.
故选：C．
【分析】根据旋转的性质，得到且， ，得到，再由三角形的内角的关系，即可求解.
4．（2024七上·济宁期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（　　）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
由作图知：平分∠BAC，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故答案为：B．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠CAB=60°，由作图知AD平分∠BAC，由角平分线的性质可求，利用含30°的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，则，然后利用同高三角形的面积之比等于对应底之比可求出△ABD的面积.
5．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第三章勾股定理2一定是直角三角形吗）已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　　）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．
【解答】∵52+122=132，
∴三角形为直角三角形，
∵长为5，12的边为直角边，
∴三角形的面积=×5×12=30．
故选：A．
【点评】本题需要学生根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式结合求解．
6．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC 的度数为 （　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由勾股定理得. =12+22=5，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出△ACB是等腰直角三角形，再求出∠ABC=45°即可.
7．（2024七上·桓台期末）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（　　）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故答案为：C．
【分析】设水深为尺，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2023七上·广饶月考）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
∴AE是∠PRQ的平分线
故答案为：D．
【分析】先利用"SSS"证出△ADC≌△ABC，再利用全等三角形的性质可得∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE，从而可证出AE是∠PRQ的平分线.
9．在如图的正方形网格中，∠1+∠2+∠3=(　　)
A．105° B．120° C．115° D．135°
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠4=∠3，
∵∠1+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵AD=MD，∠ADM=90°，
∴∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°.
故答案为：D
【分析】先根据三角形全等的判定与性质证明△ABC≌△AEF(SAS)得到∠4=∠3，从而等量代换得到∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质得到∠2=45°，从而即可求解。
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再利用角平分线的概念可求出∠BAE=∠CAE=35°，利用垂直的定义可求出∠AEB的度数，即可求出∠ABE的度数，根据∠EBC=∠ABE-∠ABC，代入计算可对①作出判断；利用角平分线的概念可求出∠FBG的度数，可求出∠EBF的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可对②作出判断；延长BE，AC交于点H，利用ASA可证得△ABE≌△AHE，利用全等三角形的性质可证得BE=HE，只有当∠BCH=90°时，CE=BE，可对③作出判断；在AB上截取AM=AD，利用SAS可证得△AMF≌△AFD，利用全等三角形的性质可推出∠BFM=∠BFG，利用ASA可证得△BFM≌△BFG，利用全等三角形的性质可推出BM=BG，然后根据AB=AM+BM，代入可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（2024八上·新吴月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是：　 　．（写一个即可）
【答案】AC=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加的条件是AC=AD，
理由是：∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC=AD（答案不唯一）．
【分析】
只有符合两直角三角形全等的判定定理HL即可，条件可以是AC=AD或BC=BD，答案不唯一，解答即可．
12．（2025八上·上海市期末）如图，在中，，平分．若，，则　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
，，
，
解得，
又平分，，，
．
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可．
13．（2025八上·长兴期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点在格点上，点在网格线上，线段的垂直平分线恰好经过格点，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 线段的垂直平分线恰好经过格点，
∴，
在中，，
∴则的长是，
故答案为：．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理求出BD长即可．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为　 　．
【答案】6或14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD＋AE＝BD＋CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当△ABC 为钝角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当△ABC 为锐角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14，
综上所述，AD＋AE＝6或14；
故填：6或14；
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解即可.
15．（2024八上·龙湾期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为　 　m．
【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作，由题意，得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
即：点C离地面的垂直距离为；
故答案为：．
【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理在实际测量中的应用.解答时需要通过作垂线构造直角三角形，证明两三角形全等，得到边长的等量关系.再结合已知线段长度，设未知数并在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后运用线段和差关系求得最终结果.
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（2024八上·广州期中）如图，三角形钢架中，，AD是连接A与BC中点D的支架，
求证：．
【答案】证明：∵D是BC中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据D是BC的中点求出BD=CD，再利用SSS证明三角形全等即可.
17．（2024八上·余杭期中）如图，中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F，且CE，作交BC于点.
（1）若，求的度数.
（2）若的周长为17cm，求DC的长.
【答案】（1）解：∵EF垂直平分 AC，
∴AE＝EC，
∴AE＝EC＝AB
∴∠B＝∠AEB＝68°
∴∠C＝∠EAC＝34°
（2）解：∵AD⊥BC，AB＝AE
∴BD＝DE
△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝AB＋BD＋DE＋CE＋AC
＝CE＋DE＋DE＋CE＋AC＝2CD＋AC＝17
∴CD＝5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到：进而求出，进而即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到：进而根据线段间的等量关系计算即可.
18．（2024八上·苏州月考）如图，在一条紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到，且绳长始终保持不变．回答下列问题：
（1）根据题意可知：______（填“”、“”、“”）．
（2）若，点B在直线AF上，米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）利用“绳长始终保持不变”分析求解即可；
（2）连接，则点A、B、F三点共线，先利用勾股定理求出AC和BC的长，再利用线段的和差求出CE的长即可.
（1）解：∵的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴，
故答案为：；
（2）解：连接，则点A、B、F三点共线，
在中，（米），
∵（米），
∴在中，（米），
∵，
∴米，
∴小男孩需向右移动的距离为米．
19．（2025八上·红花岗期末）如图，在和中，在同一条直线上，已知：，下列给出三个条件：．解答下列问题：
（1）请选择两个合适的作为已知条件，余下一个作为结论，并给出证明过程：
我选择 作为已知条件， 作为结论（填写序号）．
（2）在（1）的条件下，若与相交于点，求．
【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）选择条件和结论，然后证明解题；
（2）先得到，根据（1）可得，然后运用三角形的内角和定理解题．
（1）解：条件：①， ③；
结论：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
条件：②；③；
结论： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
20．（2024八上·宁波期中）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“梦想三角形”．
（1）如图，在中，，．求证：是“梦想三角形”．
（2）在中，，．若是“梦想三角形”，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于等腰三角形任何一个腰上的中线都不可能等于腰，因此当一个等腰三角形是梦想三角形时，只能是底边上的中线等底边的长，因此可过点作于点，根据等腰三角形三线合一可知是边上的中线，且，再利用勾股定理求出的长度即可证明；
（2）由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此当一个直角三角形是梦想三角形时，只有其中一条直角边上的中线等于这条直角边，因此可分两种情况：①当边上的中线时，则，利用勾股定理可直接求得；②当边上的中线时，则是，利用勾股定理先求出即可．
（1）证明：如图，过点作于点，
，，，
是边上的中线，，
又∵，
由勾股定理得：，
，
是“梦想三角形”；
（2）解：如图，若是“梦想三角形”，
∵直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴只能是直角边的中线等于对应的直角边，
有以下两种情况：
①当边上的中线时，，
此时，，
②当边上的中线时，，
此时，，即，
解得：（负数值舍去），
综上所述，或．
21．（2025七上·东营期末）如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，的面积为2，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）根据是的中线，得到，由“”证得，从而得到，即可得证；
（2）根据，求得，由是的中线，得到，再由，得到，进而计算，即可得到答案．
（1）证明：，，
，
是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，
，
是的中线，
，
又，
，
．
22．（2025七下·福田期末） 如图，点E，A，D，B在同一条直线上，，，.
（1） 与全等吗？请说明理由；
（2） 尺规作图：作的角平分线，与AC交于点P（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（3） 在条件（2）下，若，，求的面积.
【答案】（1）解： 或 与 全等.理由如下：
∵，且 ，
∴.
∵，
∴.
在和中，
（SAS）.
（2）解：如下图：
射线 BP 即为所求；
（3）解：如下图，过点 P 作 于点 H，
，
，
平分， 且 ，
，
，
，
.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）通过线段和差得边相等，平行线得角相等，结合（实际是，因直角 ）证全等，关键是条件转化与全等判定.
（2）运用尺规作角平分线的基本方法，保留作图痕迹即可，核心是角平分线的尺规作图步骤.
（3）利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等 ）得高相等，结合全等三角形性质得长度，最后用三角形面积公式计算，重点是性质应用与面积公式的结合.
23．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个角相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形.根据对材料的理解解决以下问题：
（1）如图 1， 猜想DE，AD，BE之间的关系；
（2）如图2，将(1)中条件改为. 请问(1)中的结论是否成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在中，点D为AB上一点，，请直接写出AB的长.
【答案】（1）DE=AD+BE.理由：
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，所以∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCE=90°，
所以∠CAD=∠BCE，
又因为 AC=BC，所以△ADC≌△CEB(AAS)，
所以CE=AD，CD=BE，所以DE=CD+CE=BE+AD；
（2）(1)中结论仍然成立，理由：
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB，∠BCE+∠ACD=180°-∠ACB，∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC，
所以∠CAD=∠BCE.
在△ADC 和△CEB中， 所以△ADC≌△CEB(AAS)，
所以AD=CE，DC=BE，所以 DE=AD+BE，
所以(1)中结论仍然成立；
（3）因为∠A = ∠EDF =∠B，∠EDB =180°-∠ADE=∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，
所以∠AED=∠FDB，
因为 DE=DF，所以△AED≌△BDF(AAS)，所以AE=BD，AD=BF，
所以AB=AD+BD=AE+BF=2+5=7.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)猜想：DE=AD+BE.证明 (AAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
(2)结论成立.证明 推出AD=CE，DC=BE.可得结论；
(3)证明 ，推出AE=BD=2，AD=BF=5，即可解决问题.
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