资源简介

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
稳基础
知识点一 　三角形的中线
1(3分)如图,AD是△ABC的中线,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=AC B.BD=CD
C.BD=AD D.AC=AD
2(3分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点上,则△ABC的重心是(A)
A.点D B.点E
C.点F D.点G
3(4分·2025·鞍山质检)如图,在△ABC中,AD为中线,AB=6,AC=9,则△ABD与△ADC的周长差为　3　,面积差为　0　.
知识点二 　三角形的角平分线
4(3分)如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是(A)
A.20° B.30°
C.45° D.60°
5(3分)如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则　AE　是△ABD的角平分线;　AF　是△ADC的角平分线;AD是△　ABC　的角平分线.
知识点三 三角形的高
6(3分)下列各图中,正确画出AC边上的高的是(A)
7(3分)如图所示,△ABC中AB边上的高线是(C)
A.线段DA B.线段CA
C.线段CD D.线段BD
8(3分)下列说法错误的是(B)
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.钝角三角形有两条高在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高
巧提升
9(3分)如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高,若AE=5,S△ABD=15,则线段CD的长为(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
10(3分)已知点F是△ABC的重心,连接AF并延长交BC于G点,过点F作直线分别交AB,AC于D点、E点,则下列说法正确的是(A)
A.BG=CG B.∠BAG=∠CAG
C.DF=EF D.BD=CE
11(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是(C)
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BCE的高
易错点 忽视分类讨论导致出错
12(3分·易错题)在△ABC中,BC=6,BC边上的高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积为　8或16　.
13(6分)如图所示方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,点B,点C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD;
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE;
(3)直接写出△ABE的面积为________.
【解析】(1)如图所示,线段AD即为所求;
(2)如图所示,线段BE即为所求;
(3)S△ABC=BC·AD=×4×4=8.
∴S△ABE=S△ABC=4.
答案:4
14(8分)如图,已知AD,AE分别是△ADC和△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=
8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.
(1)求AD的长;
(2)△ABE的面积等于________;
(3)求△ACE和△ABE的周长的差.
【解析】(1)∵∠BAC=90°,AD是△ADC的高,
∴AD是边BC上的高,
∴AB·AC=BC·AD,
∴AD===4.8(cm),
即AD的长度为4.8 cm;
(2)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=6 cm,
AC=8 cm,
∴S△ABC=AB·AC=×6×8=24(cm2).
又∵AE是△ABC的中线,
∴BE=EC,
∴BE·AD=EC·AD,
即S△ABE=S△AEC,
∴S△ABE=S△ABC=12cm2.
答案:12 cm2
(3)∵AE为△ABC的中线,∴BE=CE,
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm),
即△ACE和△ABE的周长的差是2 cm.
培素养
15(9分·几何直观)如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多
【解析】因为“三角形的一条中线将原三角形分成面积相等的两部分”,所以可以从三角形的中线入手,利用“三角形等底等高必等积”进行分析.如图所示:13.2.2　三角形的中线、角平分线、高
稳基础
知识点一 　三角形的中线
1(3分)如图,AD是△ABC的中线,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AC B.BD=CD
C.BD=AD D.AC=AD
2(3分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点上,则△ABC的重心是( )
A.点D B.点E
C.点F D.点G
3(4分·2025·鞍山质检)如图,在△ABC中,AD为中线,AB=6,AC=9,则△ABD与△ADC的周长差为 ,面积差为 .
知识点二 　三角形的角平分线
4(3分)如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是( )
A.20° B.30°
C.45° D.60°
5(3分)如图,∠1=∠2=∠3=∠4,则 是△ABD的角平分线; 是△ADC的角平分线;AD是△ 的角平分线.
知识点三 三角形的高
6(3分)下列各图中,正确画出AC边上的高的是( )
7(3分)如图所示,△ABC中AB边上的高线是( )
A.线段DA B.线段CA
C.线段CD D.线段BD
8(3分)下列说法错误的是( )
A.锐角三角形的三条高交于一点
B.直角三角形只有一条高
C.钝角三角形有两条高在三角形的外部
D.任意三角形都有三条高
巧提升
9(3分)如图,在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的中线和高,若AE=5,S△ABD=15,则线段CD的长为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
10(3分)已知点F是△ABC的重心,连接AF并延长交BC于G点,过点F作直线分别交AB,AC于D点、E点,则下列说法正确的是( )
A.BG=CG B.∠BAG=∠CAG
C.DF=EF D.BD=CE
11(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E是AC上两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,那么下列说法中不正确的是( )
A.BE是△ABD的中线
B.BD是△BCE的角平分线
C.∠1=∠2=∠3
D.BC是△BCE的高
易错点 忽视分类讨论导致出错
12(3分·易错题)在△ABC中,BC=6,BC边上的高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积为 .
13(6分)如图所示方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点A,点B,点C在小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC中边BC上的高AD;
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE;
(3)直接写出△ABE的面积为________.
14(8分)如图,已知AD,AE分别是△ADC和△ABC的高和中线,AB=6 cm,AC=
8 cm,BC=10 cm,∠CAB=90°.
(1)求AD的长;
(2)△ABE的面积等于________;
(3)求△ACE和△ABE的周长的差.
培素养
15(9分·几何直观)如图,请你在△ABC上画三条线段,把这个三角形分成面积相等的四部分,看谁的方法多 13.2　与三角形有关的线段
13.2.1　三角形的边
稳基础
知识点一 三角形的三边关系
1(3分)如果三角形的三边长分别为a,4,5,那么整数a的值不可能是(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
2(3分)如图是折叠凳及其侧面示意图,若AC=BC=12 cm,则折叠凳的宽AB可能为(A)
A.20 cm B.24 cm C.30 cm D.36 cm
3(3分)下面分别是三根小木棒的长度,能摆成等腰三角形的是(D)
A.2 cm,4 cm,8 cm
B.2 cm,2 cm,4 cm
C.4 cm,4 cm,8 cm
D.8 cm,8 cm,4 cm
4 (3分)如图,五边形ABCDE中,AC是它的一条对角线,小颖观察图形得出结论“AB+BC>AC”,她依据的基本事实是　三角形两边的和大于第三边　.
5(3分)假如一个三角形的三边长分别为x,2,3,那么x的取值范围是　16(7分)在△ABC中,AB=4,AC=5,BC(1)求BC的取值范围;
(2)若BC的长度是奇数,求△ABC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=4,AC=5,则AC-AB∵BC(2)∵1∴BC=3,∴△ABC的周长=AB+AC+BC=4+5+3=12.
知识点二 三角形的稳定性
7(3分)如图,师傅将空调安装在墙上时,一般都会增加一边固定,这种方法应用的几何原理是(D)
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.三角形具有稳定性
8(3分)下列图形中,具有稳定性的是(C)
9(5分)如图是在建筑施工过程中,工人师傅用到的一个六边形木架,为了使其稳定,需要用三根木条(长短不限)将其固定,请你帮师傅设计三种方案,并画出示意图.
【解析】三种方案如图所示(答案不唯一):
巧提升
10(3分)为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上的新篱笆的长度可以为(D)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
11(3分)如图,每个盒子里都有两个小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是(B)
12(3分)已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于(D)
A.12 B.12或15
C.15或18 D.15
13 (3分)如图,用AB,BC,CD,AD四条钢条固定成一个铁框,相邻钢条的夹角均可调整,不计螺丝大小及重叠部分.若AB=5,BC=9,CD=7,AD=6,则所固定成的铁框中,两个顶点间的距离最大值是(C)
A.14 B.16 C.13 D.11
14(7分)用一条长21厘米的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形吗 为什么
【解析】(1)设底边长为x厘米,则腰长为3x厘米,
依题意得x+3x+3x=21,解得x=3,则等腰三角形的腰长为3×3=9(厘米),
∴等腰三角形的各边长分别为3厘米,9厘米,9厘米;
(2)能,理由如下:当5厘米的边为底边长时,其腰长为(21-5)÷2=8(厘米),
5+8=13>8,能围成等腰三角形;当5厘米的边为腰长时,
其底边长为:21-5-5=11(厘米),5+5=10<11,不能构成三角形.综上所述,能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形.
培素养
15(8分·推理能力、几何直观)(1)如图1,在四边形ABCD的各边上任意取一个点,分别是E,F,G,H,并顺次连接得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长一定小于原四边形ABCD的周长,请根据线段的性质说明理由.
∵EF同理:FGEH∴EF+FG+HG+EH(2)联系拓广:
在四边形ABCD内一定存在一点P,使点P到四个顶点的距离之和最短.
请在图2中画出这个点,并说明理由.(提示:要想说明点P到四个顶点的距离之和最短,只需在该四边形内部另找任意的一个点Q,说明点Q到四个顶点的距离之和大于点P到四个顶点的距离之和即可)
【解析】(1)∵EF∴EF+FG+HG+EH答案:三角形两边的和大于第三边
(2)如图,连接AC,BD,其交点为P,
点P即为所求.理由如下:在四边形ABCD的内部任取一点Q,连接QA,QB,QC,QD,∵BD∴AC+BD∴PA+PB+PC+PD13.2.1　三角形的边
稳基础
知识点一 三角形的三边关系
1(3分)如果三角形的三边长分别为a,4,5,那么整数a的值不可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2(3分)如图是折叠凳及其侧面示意图,若AC=BC=12 cm,则折叠凳的宽AB可能为( )
A.20 cm B.24 cm C.30 cm D.36 cm
3(3分)下面分别是三根小木棒的长度,能摆成等腰三角形的是( )
A.2 cm,4 cm,8 cm
B.2 cm,2 cm,4 cm
C.4 cm,4 cm,8 cm
D.8 cm,8 cm,4 cm
4 (3分)如图,五边形ABCDE中,AC是它的一条对角线,小颖观察图形得出结论“AB+BC>AC”,她依据的基本事实是 .
5(3分)假如一个三角形的三边长分别为x,2,3,那么x的取值范围是 .
6(7分)在△ABC中,AB=4,AC=5,BC(1)求BC的取值范围;
(2)若BC的长度是奇数,求△ABC的周长.
知识点二 三角形的稳定性
7(3分)如图,师傅将空调安装在墙上时,一般都会增加一边固定,这种方法应用的几何原理是( )
A.两点确定一条直线 B.垂线段最短
C.两点之间线段最短 D.三角形具有稳定性
8(3分)下列图形中,具有稳定性的是( )
9(5分)如图是在建筑施工过程中,工人师傅用到的一个六边形木架,为了使其稳定,需要用三根木条(长短不限)将其固定,请你帮师傅设计三种方案,并画出示意图.
巧提升
10(3分)为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆AB,CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB上接上的新篱笆的长度可以为( )
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
11(3分)如图,每个盒子里都有两个小棒,把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段,这两段小棒再与另一根小棒首尾相接,能够围成一个三角形的是( )
12(3分)已知等腰三角形的两边长分别是3和6,则它的周长等于( )
A.12 B.12或15
C.15或18 D.15
13 (3分)如图,用AB,BC,CD,AD四条钢条固定成一个铁框,相邻钢条的夹角均可调整,不计螺丝大小及重叠部分.若AB=5,BC=9,CD=7,AD=6,则所固定成的铁框中,两个顶点间的距离最大值是( )
A.14 B.16 C.13 D.11
14(7分)用一条长21厘米的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么各边的长是多少
(2)能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形吗 为什么
培素养
15(8分·推理能力、几何直观)(1)如图1,在四边形ABCD的各边上任意取一个点,分别是E,F,G,H,并顺次连接得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长一定小于原四边形ABCD的周长,请根据线段的性质说明理由.
∵EF同理:FGEH∴EF+FG+HG+EH(2)联系拓广:
在四边形ABCD内一定存在一点P,使点P到四个顶点的距离之和最短.
请在图2中画出这个点,并说明理由.(提示:要想说明点P到四个顶点的距离之和最短,只需在该四边形内部另找任意的一个点Q,说明点Q到四个顶点的距离之和大于点P到四个顶点的距离之和即可)

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