资源简介

13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
稳基础
知识点 　三角形的内角和定理
1(3分)在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
2(3分)如图,直角三角尺ABC的直角顶点C在直线l上,∠B=30°,∠α=110°,则∠BCD的度数为( )
A.30° B.40° C.35° D.45°
3(3分)在探究证明三角形的内角和定理时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是( )
4(3分)如图,AD⊥BC,∠B=60°,则∠BAD的度数为 .
5(3分)在△ABC中,∠A=36°,∠B=∠C,则∠C的度数是 .
6(8分·教材再开发·P12例1变式)如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,
∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
巧提升
7(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是∠BAC的平分线,则∠ADB
=( )
A.65° B.75° C.85° D.90°
8(3分)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,则∠EDC=( )
A.37° B.32° C.22° D.44°
9(3分)如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是( )
A.36° B.72° C.18° D.54°
易错点 忽视对三角形形状的讨论而出错
10(3分·易错题)在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为 .
11(3分·新中考·数学文化·2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”.即:
1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若
∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C= °.
12(10分)如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
培素养
13(12分·模型观念)【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
第1课时　三角形的内角和定理
稳基础
知识点 　三角形的内角和定理
1(3分)在△ABC中,∠A=40°,∠B=80°,则∠C为(A)
A.60° B.50° C.40° D.30°
2(3分)如图,直角三角尺ABC的直角顶点C在直线l上,∠B=30°,∠α=110°,则∠BCD的度数为(B)
A.30° B.40° C.35° D.45°
3(3分)在探究证明三角形的内角和定理时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是(B)
4(3分)如图,AD⊥BC,∠B=60°,则∠BAD的度数为　30°　.
5(3分)在△ABC中,∠A=36°,∠B=∠C,则∠C的度数是　72°　.
6(8分·教材再开发·P12例1变式)如图,在△ABC中,∠BAC=95°,∠B=25°,
∠CAD=75°,求∠ADC的度数.
【解析】∵∠BAC=95°,∠B=25°,
∴∠C=180°-∠B-∠BAC=60°,
∵∠CAD=75°,
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=45°.
巧提升
7(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是∠BAC的平分线,则∠ADB
=(C)
A.65° B.75° C.85° D.90°
8(3分)如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,点E在AC上,DE∥BC,若∠A=62°,∠B=74°,则∠EDC=(C)
A.37° B.32° C.22° D.44°
9(3分)如图,在△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是(C)
A.36° B.72° C.18° D.54°
易错点 忽视对三角形形状的讨论而出错
10(3分·易错题)在△ABC中,∠A=40°,BD为AC边上的高,若∠CBD=10°,则∠ABC的度数为　40°或60°　.
11(3分·新中考·数学文化·2023·株洲中考)《周礼·考工记》中记载有“…半矩谓之宣(xuān),一宣有半谓之欘(zhú)…”.意思是“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”.即:
1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
问题:图(1)为中国古代一种强弩图,图(2)为这种强弩图的部分组件的示意图,若
∠A=1矩,∠B=1欘,则∠C=　22.5　°.
12(10分)如图,在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,它们相交于点F,∠BAC=58°,∠C=72°,求∠DAC和∠AFB的度数.
【解析】∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,
∵∠BAC=58°,∠C=72°,
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=50°,
∠DAC=180°-∠ADC-∠C=18°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠ABC=25°,
∴∠AFB=180°-∠ABF-∠BAD=115°.
培素养
13(12分·模型观念)【问题背景】一次数学综合实践活动课上,老师提出了一个问题:如何证明三角形内角和等于180°,小红的证明思路是:如图1,在△ABC中,过点A作DE∥BC,再利用平行线的相关知识来证明∠BAC+∠B+∠C=180°.
证明:过A点作DE∥BC.
(1)请按照小红同学的思路继续完成证明过程.
(2)【尝试运用】如图2,若DE∥BC且经过A点,F为BC延长线上一点,AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,AH与CH交于点H,求∠AHC的大小.
(3)【拓广探索】如图3,在△ABC中,点F是BC延长线上的一点,CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,CH与BH交于点H.若∠A=50°,求∠H的大小.
【解析】(1)过A点作DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠CAE=∠C,
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°,
∴∠BAC+∠B+∠C=180°;
(2)∵DE∥BC,∴∠EAC+∠FCA=180°,
∵AH平分∠EAC,CH平分∠FCA,
∴∠HAC=∠EAC,∠ACH=∠FCA,
∴∠HAC+∠ACH=∠EAC+∠FCA
=(∠EAC+∠FCA)=×180°=90°,
∵∠HAC+∠ACH+∠AHC=180°,
∴∠AHC=180°-(∠HAC+∠ACH)=180°-90°=90°;
(3)∵CH平分∠ACF,BH平分∠ABC,
∴∠HBC=∠ABC,∠HCF=∠ACF,
∵∠ACF=∠A+∠ABC,∠HCF=∠HBC+∠H,
∴∠H=∠HCF-∠HBC
=∠ACF-∠ABC
=(∠A+∠ABC)-∠ABC
=∠A+∠ABC-∠ABC
=∠A
=25°.13.3.2　三角形的外角
稳基础
知识点一 三角形外角的概念
1(3分)如图,∠1,∠2,∠3中是△ABC外角的是( )
A.∠1,∠2
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
2(3分)若三角形的一个外角小于和它相邻的内角,则这个三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
知识点二 　三角形外角的性质
3(3分)某建筑工具是如图所示的人字架,若∠3=50°,则∠1比∠2大( )
A.40° B.50° C.60° D.65°
4(3分)如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为( )
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
5(3分)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=40°,∠ACE=65°,则∠A的度数为( )
A.95° B.90° C.85° D.80°
知识链接
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6(3分)在如图所示的三角形中,x的值是 .
知识点三 　三角形内、外角性质的综合应用
7(3分)如图是∠A=60°的四边形纸片,剪去这个60°角后,得到一个五边形,则∠1+∠2的度数为( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
8(3分·2024·宿迁期末)如图,∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五角星ABCDE的五个内角,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
9(8分)如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
巧提升
10(3分)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=30°,
∠C=45°,则∠AFB的大小为( )
A.75° B.80° C.100° D.110°
11(3分)若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍,等于与它相邻的内角的2倍,则三角形各角的度数为( )
A.45°,45°,90° B.30°,60°,90°
C.25°,25°,130° D.36°,72°,72°
12(3分)如图,在△ABC中,△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的平分线交于点P,已知∠APB=42°,则∠C的度数为 .
13(10分·教材再开发·P17习题T11变式)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=30°,∠BAC=88°,求∠E的度数;
(2)若∠B=∠E=α°,请直接写出∠BAC的度数(用含α的代数式表示).
培素养
14(9分·应用意识、创新意识)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗 解决问题的策略是多样的,请用三种不同的方法说明其中的道理.第2课时　直角三角形的两个锐角互余
稳基础
知识点 　直角三角形的两个锐角互余
1(3分)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
2(3分)如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3(3分)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
4(3分·教材再开发·P14例3变式)如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D的度数是( )
A.55° B.35° C.25° D.20°
巧提升
5(3分)具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
6(3分)直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是( )
A.120° B.135°
C.150° D.160°
7(3分)直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角度数是 °.
易错点 忽视分类讨论
8(3分·易错题)如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°,过AB边上一点D剪下△ADE,点E在AC上,当△ADE是直角三角形时,∠AED的度数是 .
培素养
9(6分·几何直观)在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.第2课时　直角三角形的两个锐角互余
稳基础
知识点 　直角三角形的两个锐角互余
1(3分)在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
2(3分)如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是(C)
A.30° B.60° C.90° D.120°
3(3分)在△ABC中,∠C=90°,∠B=2∠A,则∠A=(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4(3分·教材再开发·P14例3变式)如图,∠C=∠A=90°,∠B=25°,则∠D的度数是(C)
A.55° B.35° C.25° D.20°
巧提升
5(3分)具备下列条件的△ABC中,不是直角三角形的是(D)
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
6(3分)直角三角形中,两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是(B)
A.120° B.135°
C.150° D.160°
7(3分)直角三角形中两个锐角的差为20°,则较小的锐角度数是　35　°.
易错点 忽视分类讨论
8(3分·易错题)如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°,∠A=30°,过AB边上一点D剪下△ADE,点E在AC上,当△ADE是直角三角形时,∠AED的度数是　60°或90°　.
培素养
9(6分·几何直观)在Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是AC,BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,求∠α,∠1,∠2之间的数量关系.
【解析】(1)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,
∵∠α=60°,
∴∠APD+∠BPE=180°-60°=120°,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2
=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(∠APD+∠BPE+∠A+∠B)
=360°-(120°+90°)
=150°,
∴∠1+∠2=150°;
(2)∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠α+∠APD+∠BPE=180°,∴∠APD+
∠BPE=180°-∠α,
∵∠1=180°-∠APD-∠A,∠2=180°-∠B-∠BPE,
∴∠1+∠2
=180°-∠APD-∠A+180°-∠B-∠BPE
=360°-(180°-∠α+90°)
=90°+∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α.13.3.2　三角形的外角
稳基础
知识点一 三角形外角的概念
1(3分)如图,∠1,∠2,∠3中是△ABC外角的是(C)
A.∠1,∠2
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
2(3分)若三角形的一个外角小于和它相邻的内角,则这个三角形为(C)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
知识点二 　三角形外角的性质
3(3分)某建筑工具是如图所示的人字架,若∠3=50°,则∠1比∠2大(B)
A.40° B.50° C.60° D.65°
4(3分)如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为(D)
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
5(3分)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=40°,∠ACE=65°,则∠A的度数为(B)
A.95° B.90° C.85° D.80°
知识链接
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
6(3分)在如图所示的三角形中,x的值是　60　.
知识点三 　三角形内、外角性质的综合应用
7(3分)如图是∠A=60°的四边形纸片,剪去这个60°角后,得到一个五边形,则∠1+∠2的度数为(C)
A.120° B.180° C.240° D.300°
8(3分·2024·宿迁期末)如图,∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五角星ABCDE的五个内角,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　180　°.
9(8分)如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
【解析】∵在△EFG中,∠EFG=90°,∠E=35°,
∴∠EGF=90°-∠E=55°.
∵GE平分∠FGD,
∴∠EGF=∠EGD=55°.
∵AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.
又∵∠EHB=∠EFB+∠E,
∴∠EFB=∠EHB-∠E=55°-35°=20°.
巧提升
10(3分)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=30°,
∠C=45°,则∠AFB的大小为(D)
A.75° B.80° C.100° D.110°
11(3分)若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍,等于与它相邻的内角的2倍,则三角形各角的度数为(B)
A.45°,45°,90° B.30°,60°,90°
C.25°,25°,130° D.36°,72°,72°
12(3分)如图,在△ABC中,△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的平分线交于点P,已知∠APB=42°,则∠C的度数为　84°　.
13(10分·教材再开发·P17习题T11变式)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=30°,∠BAC=88°,求∠E的度数;
(2)若∠B=∠E=α°,请直接写出∠BAC的度数(用含α的代数式表示).
【解析】(1)∵∠B=30°,∠BAC=88°,
∴∠ACD=30°+88°=118°,∠EAC=180°-88°=92°,
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠ACE=59°,
∴∠E=180°-59°-92°=29°;
(2)∵∠B=∠E=α°,
∴∠ECD=2α°,
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠ACD=4α°,∴∠BAC=4α°-α°=3α°.
培素养
14(9分·应用意识、创新意识)一个零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°.李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗 解决问题的策略是多样的,请用三种不同的方法说明其中的道理.
【解析】方法一:如图,连接AC并延长,
在△ADC中,
∠1=∠D+∠DAC,
在△ABC中,
∠2=∠B+∠BAC,
∴∠BCD=∠1+∠2=∠D+∠B+∠BAC+∠DAC=∠D+∠B+∠BAD=140°,
∴李叔叔量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.
方法二:如图,延长DC交AB于M,
∵∠AMD=180°-∠A-∠D=180°-90°-30°=60°,
∴∠CMB=180°-∠AMD=180°-60°=120°,
∴∠MCB=180°-∠B-∠CMB=180°-20°-120°=40°,
∴∠DCB=180°-∠MCB=180°-40°=140°,
∴李叔叔量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.
方法三:如图,连接BD,
∵∠CDB+∠CBD=180°-∠A-∠ADC-∠ABC=180°-90°-30°-20°=40°,
∴∠DCB=180°-(∠CDB+∠CBD)=180°-40°=140°,
∴李叔叔量得∠BCD=142°,就可以断定这个零件不合格.

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