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第2课时　用“ASA”“AAS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“ASA”证明两个三角形全等
1(3分)如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是( )
A.ASA B.AAS
C.SAS D.以上都不正确
知识链接
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
2(3分)如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.30°
C.45° D.25°
3(8分)线段AC,BD相交于点E,∠D=∠A,DE=AE,求证:∠C=∠B.
知识点二 　应用“AAS”证明两个三角形全等
4(3分)下列各图中a,b,c为△ABC的边长,根据图中标注数据,判断甲、乙、丙、丁四个三角形和△ABC不一定全等的是( )
知识链接
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
5(8分)如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EC∥FD,EA=FB.求证:AB=CD.
知识点三 　“ASA”与“AAS”的实际应用
6(3分·新趋势·实践探究)如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案,下列说法不正确的是( )
①先确定直线AB,过点B作BF⊥AB;
②在BF上取C,D两点,使得△;
③过点D作DE⊥BF;
④作射线□,交DE于点M;
⑤测量☆的长度,即AB的长.
A.△代表BC=CD　B.□代表AC
C.☆代表DM D.该方案的依据是AAS
巧提升
7(3分)如图,已知∠CAB=∠DAB,则下列:
①∠C=∠D;②AC=AD;③∠CBA=∠DBA;
④BC=BD条件中,不能判定△ABC≌△ABD的是( )
A.① B.② C.③ D.④
易错点 在判定两个三角形全等时,容易混淆判定方法中夹边、对边、夹角、对角而出错
8(3分·易错题)如图,这是一个风筝的骨架图,已知∠1=∠2,AC=AD,为证明△ABC≌△AED,还需要添加一个条件.同学们纷纷提出建议:①AB=AE;②BC=ED;
③∠C=∠D;④∠B=∠E,其中合理的建议有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为 时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.
10(10分·教材再开发·P45T12拓展)如图,△ABC中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)若∠B=∠ACB,CE=3,CF=4,求BD的长.
培素养
11(13分·几何直观)如图所示,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,请问,线段AB,DC和线段BC有何大小关系 并说明理由.第4课时　尺规作图
稳基础
知识点一 作一个角等于已知角
1(3分·2025·天津期末)如图,用直尺和圆规作∠PCD=∠AOB,作图痕迹中,是(D)
A.以点C为圆心,OE为半径的弧
B.以点C为圆心,EF为半径的弧
C.以点G为圆心,OE为半径的弧
D.以点G为圆心,EF为半径的弧
2(3分)如图,是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图,则判定图中两三角形全等的条件是(D)
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3(3分)如图,若∠α=37°,根据尺规作图的痕迹,则∠AOB的度数为　74°　.
4(6分·2025·南京期末)已知:∠α,∠AOB(如图).
(1)求作:以OB为一边,作∠BOC=∠α.(要求:仅用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠AOB=60°,∠α=30°,则∠AOC的度数为________　.
【解析】(1)如图,∠BOC,∠BOC'即为所求;
(2)∵∠AOB=60°,∠BOC=∠BOC'=30°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°或
∠AOC'=∠AOB+∠BOC'=90°.
答案:30°或90°
知识点二 作已知直线的平行线
5(6分)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
已知:如图,点D是三角形ABC边AB上一点.
求作:点E,使DE∥BC,DE=DB.(找到满足条件的一个点E即可)
【解析】如图所示,点E即为所求;
先过点D作DF∥BC,再以D为圆心,BD的长为半径画弧交DF于E,点E即为所求.
知识点三 按要求作一个三角形
6(6分)如图,已知∠α及线段b,求作一个三角形,使得它的两个内角分别为α和2α,且这两个内角的夹边长为b.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图所示,△ABC为所求作.
巧提升
7(3分)如图,已知∠AOB=α,点C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图:①以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E;②以点C为圆心,以OD长为半径作弧,交OC于点F;③以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G;④连接CG并延长交OA于点H.则∠AHC的度数为(D)
A.α B.180°-2α
C.90°-α D.2α
8(6分)完成作图步骤:已知∠α,∠β(∠β>∠α),求作一个角,使它等于∠β-∠α.作法:
(1)作∠AOB=　∠β　;
(2)以OA为一边,在∠AOB的内部作∠AOC=　∠α　,则∠BOC就是所求作的角(如图).
9(6分)如图,小明作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画出一个与原来完全一样的三角形,请帮助小明想办法用尺规作图画一个和原三角形全等的三角形.
【解析】根据题意,三角形的两角和它们的夹边是完整的,所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形.
10(8分)如图,利用尺规,在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:CD∥AB(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图所示,
∵∠EAC=∠ACB,
∴AD∥CB,∵AD=BC,
∠DAC=∠ACB,AC=CA,
∴△ACD≌△CAB(SAS),∴∠ACD=∠CAB,
∴AB∥CD.
培素养
11(10分·几何直观、应用意识)如图,一艘船在水流的作用下,从A点航行到B点,此时,小明的船在C处,看到B点在他的正北方.
(1)请帮小明的船只,设计一条与航线AB平行的航线.(运用尺规作图,保留作图痕迹)
(2)两河岸直线l,直线a之间的距离知道,但小明想知道航线AB的里程,又不便测量,你能用学习的全等三角形的知识,画图帮他设计吗 并说明你的理由.
【解析】(1)如图,CD即为所求.
(2)过点C向正南方向作射线CM,在射线CM上截取CF=BC,在直线l上截取CE=CA,连接EF,则测量EF的长度即为航线AB的里程.理由:
在△ABC和△EFC中,
,
∴△ABC≌△EFC(SAS),∴AB=EF.第5课时　用“HL”判定直角三角形全等
稳基础
知识点一 应用“HL”证明两个三角形全等
1(3分)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是( )
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
知识链接
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
2(3分)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
3(3分)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 .
4(6分)已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
知识点二 直角三角形全等的判定方法的综合应用
易错点 在判定两个直角三角形全等时,容易混淆判定方法而出错
5(3分·易错题)在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,有如下几个条件:
①AC=A'C',∠A=∠A';
②AC=A'C',AB=A'B';
③AC=A'C',BC=B'C';
④AB=A'B',∠A=∠A'.其中,能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点三 　直角三角形全等的判定方法的实际应用
6(3分)如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若DF=6 m,DE=8 m,AD=4 m,则BF等于( )
A.18 m B.16 m C.12 m D.10 m
7(3分·新课标·社会主义先进文化)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为 米.
巧提升
8(3分)两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过点E作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,如果AC=3 cm,则AD+DE等于( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
10(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
11(7分)如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
培素养
12(10分·几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等 第4课时　尺规作图
稳基础
知识点一 作一个角等于已知角
1(3分·2025·天津期末)如图,用直尺和圆规作∠PCD=∠AOB,作图痕迹中,是( )
A.以点C为圆心,OE为半径的弧
B.以点C为圆心,EF为半径的弧
C.以点G为圆心,OE为半径的弧
D.以点G为圆心,EF为半径的弧
2(3分)如图,是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图,则判定图中两三角形全等的条件是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3(3分)如图,若∠α=37°,根据尺规作图的痕迹,则∠AOB的度数为 .
4(6分·2025·南京期末)已知:∠α,∠AOB(如图).
(1)求作:以OB为一边,作∠BOC=∠α.(要求:仅用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若∠AOB=60°,∠α=30°,则∠AOC的度数为________ .
知识点二 作已知直线的平行线
5(6分)尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.
已知:如图,点D是三角形ABC边AB上一点.
求作:点E,使DE∥BC,DE=DB.(找到满足条件的一个点E即可)
知识点三 按要求作一个三角形
6(6分)如图,已知∠α及线段b,求作一个三角形,使得它的两个内角分别为α和2α,且这两个内角的夹边长为b.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
巧提升
7(3分)如图,已知∠AOB=α,点C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图:①以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E;②以点C为圆心,以OD长为半径作弧,交OC于点F;③以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G;④连接CG并延长交OA于点H.则∠AHC的度数为( )
A.α B.180°-2α
C.90°-α D.2α
8(6分)完成作图步骤:已知∠α,∠β(∠β>∠α),求作一个角,使它等于∠β-∠α.作法:
(1)作∠AOB= ;
(2)以OA为一边,在∠AOB的内部作∠AOC= ,则∠BOC就是所求作的角(如图).
9(6分)如图,小明作业本上画的三角形被墨迹污染了,他想画出一个与原来完全一样的三角形,请帮助小明想办法用尺规作图画一个和原三角形全等的三角形.
10(8分)如图,利用尺规,在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并证明:CD∥AB(尺规作图要求保留作图痕迹,不写作法)
培素养
11(10分·几何直观、应用意识)如图,一艘船在水流的作用下,从A点航行到B点,此时,小明的船在C处,看到B点在他的正北方.
(1)请帮小明的船只,设计一条与航线AB平行的航线.(运用尺规作图,保留作图痕迹)
(2)两河岸直线l,直线a之间的距离知道,但小明想知道航线AB的里程,又不便测量,你能用学习的全等三角形的知识,画图帮他设计吗 并说明你的理由.第3课时　用“SSS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“SSS”证明两个三角形全等
1(3分)如图,下列三角形中,与△ABC全等的是(C)
A.① B.② C.③ D.④
知识链接
三边分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
2(3分)如图,已知AB=AD,根据“SSS”只需补充条件　DC=BC　就可以判定△ABC≌△ADC.
易错点 对两个全等三角形用文字语言描述时,容易忽视对对应字母的分类讨论而出错
3(3分·易错题)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,在方格的格点中找出符合条件的P点(不与点A,B,C重合),则点P有　3　个.
4(8分)已知:如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BF=EC.
求证:△ABC≌△DEF.
【证明】∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
知识点二 　“SSS”的应用
5(3分)如图是用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形示意图,依据是(B)
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
6(6分·新课标·中华优秀传统文化)我国传统工艺中,油纸伞(如图1)制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.图2是撑开的油纸伞的截面示意图,已知AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△　AFG　,其依据是　SSS　.
7(10分·2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】(1)∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS);
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,∴∠F=180°-
(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
巧提升
8(3分·新趋势·数学文化)徐光启是中国明代数学家,他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作.《几何原本》第Ⅰ卷命题9:“一个角可以切分为两个相等的角”,即作一个已知角的平分线.欧几里得给出以下的作图法:如图,在AB和AC上分别取点D和E,使AE=AD,连接DE,以DE为一边作等边△DEF,连接AF,则射线AF平分∠BAC.此法的关键是得到△ADF≌△AEF,进而得出∠FAB=∠FAC.这里判断△ADF≌△AEF的依据是(A)
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
9(3分·教材再开发·P37例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中:
①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥BC,正确的为　①②③④　.(填序号)
10(6分)如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”,某兴趣小组在课余时间研究筝形的性质,得到筝形的其中一条性质是“筝形的一组对角相等”.请你利用三角形的相关知识,帮助兴趣小组解释筝形的这一性质.
【解析】已知:在筝形ABCD中,AB=AD,CB=CD.
求证:∠B=∠D.
证明:连接AC.
在△ACB和△ACD中,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠B=∠D.
培素养
11(12分·推理能力)已知AD=CB,E,F是AC上两动点(不与A,C重合),且有DE=BF.
(1)若E,F两点运动到如图①所示的位置,且有AF=CE,试说明:△ADE≌△CBF;
(2)若E,F两点运动到如图②所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗 请说明理由;
(3)若E,F两点不重合,且AF=CE,AD和CB平行吗 请说明理由.
【解析】(1)∵AF=CE,
∴AF+EF=EF+CE,即AE=CF,
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(2)成立.理由:∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)平行.理由如下:∵△ADE≌△CBF,
∴∠A=∠C,∴AD∥BC.14.2　三角形全等的判定
第1课时　用“SAS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“SAS”证明两个三角形全等
1(3分)根据如图所给信息,可得x=( )
A.16 B.18 C.20 D.16或18
知识链接
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
2(3分)如图,AB=AD,AC平分∠BAD,判定△ABC≌△ADC的依据是 .
3 (3分)如图,已知AB=AD,AC=AE,请添加一个条件 ,能使用“SAS”判定△ABC≌△ADE.
4(6分·2025·大连期中)如图,点M,N在线段BD上,BM=DN,AN=CM,AN∥CM.求证:△ABN≌△CDM.
知识点二 　“SAS”的实际应用
5(8分·教材再开发·P34T1变式)如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
6(8分)在校内劳动课上,小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架.已知点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,AB=DE,BF=EC.若△ABC的周长为24 cm,
FC=3 cm,则制作该风筝框架需用材料的总长度至少是多少
巧提升
7(3分·2025·大连甘井子区质检)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等( )
A.BE B.AE C.DE D.DP
8(3分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC=3,AD=4.则AB的长不可能是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9(3分)如图,AD是△ABC的中线,点E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,则①BF=CE,②△ABD和△ACD的面积相等,③BF∥CE,④∠ACE=
∠DCE,以上说法正确的是 .(填序号)
10(8分·2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
培素养
11(12分·几何直观)两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(注意:结论中不得含有未标识的字母);
(2)请判断DC与BE的位置关系,并证明;
(3)若CE=2,BC=4,求△DCE的面积.14.2　三角形全等的判定
第1课时　用“SAS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“SAS”证明两个三角形全等
1(3分)根据如图所给信息,可得x=(C)
A.16 B.18 C.20 D.16或18
知识链接
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
2(3分)如图,AB=AD,AC平分∠BAD,判定△ABC≌△ADC的依据是　SAS　.
3 (3分)如图,已知AB=AD,AC=AE,请添加一个条件　∠BAC=∠DAE或∠BAD=∠CAE　,能使用“SAS”判定△ABC≌△ADE.
4(6分·2025·大连期中)如图,点M,N在线段BD上,BM=DN,AN=CM,AN∥CM.求证:△ABN≌△CDM.
【证明】∵BM=DN,
∴BM+MN=DN+MN,即BN=DM,
∵AN∥CM,
∴∠ANB=∠CMD,
在△ABN和△CDM中,
,
∴△ABN≌△CDM(SAS).
知识点二 　“SAS”的实际应用
5(8分·教材再开发·P34T1变式)如图,小红要测量池塘A,B两端的距离,她设计了一个测量方案,先在平地上取可以直接到达A点和B点的C,D两点,AC与BD相交于点O,且测得AC=BD=55 m,OA=OD=17 m,△COD的周长为103 m,求A,B两端的距离.
【解析】∵AC=BD,OA=OD,
∴AC-OA=BD-OD,即OC=OB.
在△COD和△BOA中,,
∴△COD≌△BOA(SAS),∴CD=AB.
∵△COD的周长为103 m,
∴OC+OD+CD=OC+OA+CD=103 m,
即AC+CD=103 m.
∵AC=55 m,∴CD=48 m,∴AB=48 m.
6(8分)在校内劳动课上,小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架.已知点B,F,C,E在同一条直线上,∠B=∠E,AB=DE,BF=EC.若△ABC的周长为24 cm,
FC=3 cm,则制作该风筝框架需用材料的总长度至少是多少
【解析】∵BF=EC,BC=BF+FC,EF=EC+CF,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴C△DEF=C△ABC=24 cm.
∵CF=3 cm,
∴制作该风筝框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC-CF=24+24-3=45(cm).
故制作该风筝框架需用材料的总长度至少是45 cm.
巧提升
7(3分·2025·大连甘井子区质检)如图是某纸伞截面示意图,伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC,AE=AF.若支杆DF需要更换,则所换长度应与哪一段长度相等(C)
A.BE B.AE C.DE D.DP
8(3分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC=3,AD=4.则AB的长不可能是(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
9(3分)如图,AD是△ABC的中线,点E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,则①BF=CE,②△ABD和△ACD的面积相等,③BF∥CE,④∠ACE=
∠DCE,以上说法正确的是　①②③　.(填序号)
10(8分·2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD,
在△ABC与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
培素养
11(12分·几何直观)两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形,并给予说明(注意:结论中不得含有未标识的字母);
(2)请判断DC与BE的位置关系,并证明;
(3)若CE=2,BC=4,求△DCE的面积.
【解析】(1)△ABE≌△ACD.理由:
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中,,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)DC⊥BE.设AE,CD交于点F.如图,
∵△ABE≌△ACD,∴∠AEB=∠ADC.
∵∠ADC+∠AFD=90°,∴∠AEB+∠AFD=90°.
∵∠AFD=∠CFE,∴∠AEB+∠CFE=90°,
∴∠FCE=90°,∴DC⊥BE.
(3)∵CE=2,BC=4,∴BE=6.∵△ABE≌△ACD,∴CD=BE=6,∴S△DCE=CE·CD
=×2×6=6.第3课时　用“SSS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“SSS”证明两个三角形全等
1(3分)如图,下列三角形中,与△ABC全等的是( )
A.① B.② C.③ D.④
知识链接
三边分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
2(3分)如图,已知AB=AD,根据“SSS”只需补充条件 就可以判定△ABC≌△ADC.
易错点 对两个全等三角形用文字语言描述时,容易忽视对对应字母的分类讨论而出错
3(3分·易错题)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,在方格的格点中找出符合条件的P点(不与点A,B,C重合),则点P有 个.
4(8分)已知:如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BF=EC.
求证:△ABC≌△DEF.
知识点二 　“SSS”的应用
5(3分)如图是用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形示意图,依据是( )
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
6(6分·新课标·中华优秀传统文化)我国传统工艺中,油纸伞(如图1)制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.图2是撑开的油纸伞的截面示意图,已知AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△ ,其依据是 .
7(10分·2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
巧提升
8(3分·新趋势·数学文化)徐光启是中国明代数学家,他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作.《几何原本》第Ⅰ卷命题9:“一个角可以切分为两个相等的角”,即作一个已知角的平分线.欧几里得给出以下的作图法:如图,在AB和AC上分别取点D和E,使AE=AD,连接DE,以DE为一边作等边△DEF,连接AF,则射线AF平分∠BAC.此法的关键是得到△ADF≌△AEF,进而得出∠FAB=∠FAC.这里判断△ADF≌△AEF的依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
9(3分·教材再开发·P37例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中:
①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥BC,正确的为 .(填序号)
10(6分)如图,四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”,某兴趣小组在课余时间研究筝形的性质,得到筝形的其中一条性质是“筝形的一组对角相等”.请你利用三角形的相关知识,帮助兴趣小组解释筝形的这一性质.
培素养
11(12分·推理能力)已知AD=CB,E,F是AC上两动点(不与A,C重合),且有DE=BF.
(1)若E,F两点运动到如图①所示的位置,且有AF=CE,试说明:△ADE≌△CBF;
(2)若E,F两点运动到如图②所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗 请说明理由;
(3)若E,F两点不重合,且AF=CE,AD和CB平行吗 请说明理由.第5课时　用“HL”判定直角三角形全等
稳基础
知识点一 应用“HL”证明两个三角形全等
1(3分)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全等的条件是(C)
A.AC=A'C',BC=B'C'
B.∠A=∠A',AB=A'B'
C.AC=A'C',AB=A'B'
D.∠B=∠B',BC=B'C'
知识链接
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
2(3分)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2=(B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
3(3分)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是　AB=DC或AC=DB　.
4(6分)已知:如图,点E,F在线段BD上,AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF,求证:AF=CE.
【证明】∵DE=BF,
∴DE+EF=BF+EF,∴DF=BE;
在Rt△ADF和Rt△CBE中,
∴Rt△ADF≌Rt△CBE(HL),
∴AF=CE.
知识点二 直角三角形全等的判定方法的综合应用
易错点 在判定两个直角三角形全等时,容易混淆判定方法而出错
5(3分·易错题)在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,有如下几个条件:
①AC=A'C',∠A=∠A';
②AC=A'C',AB=A'B';
③AC=A'C',BC=B'C';
④AB=A'B',∠A=∠A'.其中,能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件的个数为(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点三 　直角三角形全等的判定方法的实际应用
6(3分)如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若DF=6 m,DE=8 m,AD=4 m,则BF等于(A)
A.18 m B.16 m C.12 m D.10 m
7(3分·新课标·社会主义先进文化)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下,如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC,BD相交于O,OD⊥CD垂足为D.已知AB=20米.根据上述信息,标语CD的长度为　20　米.
巧提升
8(3分)两个直角三角形中:
①一锐角和斜边对应相等;
②斜边和一直角边对应相等;
③有两条边相等;
④两个锐角对应相等.
能使这两个直角三角形全等的是(A)
A.①② B.②③
C.③④ D.①②③④
9(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB上一点,且BE=BC,过点E作DE⊥AB交AC于点D,连接BD,如果AC=3 cm,则AD+DE等于(B)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
10(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP=　5或10　时,△ABC和△PQA全等.
11(7分)如图,两根旗杆AC与BD相距12 m,某人从A点沿AB走向B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线夹角为90°,且CM=MD.已知旗杆AC的高为3 m,该人的运动速度为0.5 m/s,求这个人的行走时间.
【解析】∵∠CMD=90°,
∴∠CMA+∠DMB=90°,
又∵∠CAM=90°,∴∠CMA+∠ACM=90°,∴∠ACM=∠DMB,
在△ACM与△BMD中,
∴△ACM≌△BMD(AAS),
∴AC=BM=3 m,
∴AM=AB-BM=12-3=9(m),
∴这个人的行走时间为9÷0.5=18(s).
答:这个人行走了18 s.
培素养
12(10分·几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P在线段AC上运动,点Q在过A点且垂直于AC的射线AM上运动,PQ=AB,当P点运动到AC上什么位置时,△ABC和△QPA全等
【解析】①当P运动到AP=BC时,△ABC和△QPA全等,
∵∠C=∠QAP=90°,
在Rt△ABC和Rt△QPA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);
②当P运动到与C重合,即AP=AC时,△ABC和△QPA全等;
∵在Rt△ABC和Rt△PQA中,,
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL).
综合上述,当P运动到AP=BC或点P与C重合时,△ABC和△QPA全等.第2课时　用“ASA”“AAS”判定三角形全等
稳基础
知识点一 应用“ASA”证明两个三角形全等
1(3分)如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是(A)
A.ASA B.AAS
C.SAS D.以上都不正确
知识链接
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
2(3分)如图,∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°,则∠DBC的度数为(D)
A.50° B.30°
C.45° D.25°
3(8分)线段AC,BD相交于点E,∠D=∠A,DE=AE,求证:∠C=∠B.
【证明】∵线段AC,BD相交于点E,∴∠DEC=∠AEB,
在△DEC和△AEB中,
∴△DEC≌△AEB(ASA),∴∠C=∠B.
知识点二 　应用“AAS”证明两个三角形全等
4(3分)下列各图中a,b,c为△ABC的边长,根据图中标注数据,判断甲、乙、丙、丁四个三角形和△ABC不一定全等的是(A)
知识链接
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.如图,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
5(8分)如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EC∥FD,EA=FB.求证:AB=CD.
【证明】∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD,
∵EC∥FD,∴∠D=∠ECA,
在△EAC和△FBD中,
∴△EAC≌△FBD(AAS),∴AC=BD,
∴AB+BC=BC+CD,∴AB=CD.
知识点三 　“ASA”与“AAS”的实际应用
6(3分·新趋势·实践探究)如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案,下列说法不正确的是(D)
①先确定直线AB,过点B作BF⊥AB;
②在BF上取C,D两点,使得△;
③过点D作DE⊥BF;
④作射线□,交DE于点M;
⑤测量☆的长度,即AB的长.
A.△代表BC=CD　B.□代表AC
C.☆代表DM D.该方案的依据是AAS
巧提升
7(3分)如图,已知∠CAB=∠DAB,则下列:
①∠C=∠D;②AC=AD;③∠CBA=∠DBA;
④BC=BD条件中,不能判定△ABC≌△ABD的是(D)
A.① B.② C.③ D.④
易错点 在判定两个三角形全等时,容易混淆判定方法中夹边、对边、夹角、对角而出错
8(3分·易错题)如图,这是一个风筝的骨架图,已知∠1=∠2,AC=AD,为证明△ABC≌△AED,还需要添加一个条件.同学们纷纷提出建议:①AB=AE;②BC=ED;
③∠C=∠D;④∠B=∠E,其中合理的建议有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
9(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为　(-4,0),(-2,0),(4,0)　时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.
10(10分·教材再开发·P45T12拓展)如图,△ABC中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作CF∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF;
(2)若∠B=∠ACB,CE=3,CF=4,求BD的长.
【解析】(1)∵CF∥AB,∴∠FCE=∠DAE.
∵E是边AC的中点,∴AE=CE,
又∵∠AED=∠CEF,
∴△AED≌△CEF(ASA),∴AD=CF.
(2)∵E是边AC的中点,∴AC=2CE=6.
∵∠B=∠ACB,∴AB=AC=6.
由(1)知AD=CF=4,
∴BD=AB-AD=6-4=2.
培素养
11(13分·几何直观)如图所示,已知DE=AE,点E在BC上,AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,请问,线段AB,DC和线段BC有何大小关系 并说明理由.
【解析】BC=AB+DC.
理由:∵AB⊥BC,DC⊥BC,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠AED=90°,
在△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,
在△DCE中,∠EDC+∠DEC=90°,
∵∠BEA+∠DEC=90°,
∴∠BEA=∠CDE,
在△ABE和△ECD中,
∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AB=EC,BE=CD,
∴BC=BE+EC=DC+AB.

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