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第2课时　角的平分线的判定
稳基础
知识点 角的平分线的判定
1(3分·教材再开发·P52T1变式)用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的
∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
易错点 在利用角的平分线的判定且出现三角形时,容易忽视既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论而出错
2(3分·易错题)如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
知识链接
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图,点P在∠AOB的内部,PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴OP是∠AOB的平分线.
3(3分)如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,则∠DAC= °.
4(8分)如图,△ABC中,D,E分别是边AB,AC延长线上的点,AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,求证:CP平分∠BCE.
证明:过点P分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC.
∵AP平分∠BAC(已知),且PF⊥AD,PG⊥AE,
∴ (角的平分线上的点到角两边的距离相等).
∵BP平分∠CBD,且 ,
∴PF=PH,
∴ (等量代换).
又∵PG⊥AE,PH⊥BC,
∴CP平分∠BCE.( ).
5(8分·教材再开发·P52T3拓展)已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且CD,BE相交于O点.
求证:(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
巧提升
6(3分)下列各图中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( )
7(3分)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且
∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8(3分)如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,
∠ADG=130°,则∠DGF= .
9(3分)如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是 .
10(8分)如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求AO的长.
培素养
11(15分·几何直观)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.
(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
(2)如图②,连接OA,求证:AO平分∠BAC.
(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证:OC⊥PC.第2课时　角的平分线的判定
稳基础
知识点 角的平分线的判定
1(3分·教材再开发·P52T1变式)用三角尺可按如图方法画角平分线:在已知的
∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.作法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是(D)
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
易错点 在利用角的平分线的判定且出现三角形时,容易忽视既有内角的平分线,也有外角的平分线,忘记分类讨论而出错
2(3分·易错题)如图,直线l,l',l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
知识链接
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图,点P在∠AOB的内部,PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,∴OP是∠AOB的平分线.
3(3分)如图,若BD⊥AE于B,DC⊥AF于C,且DC=DB,∠BAC=50°,则∠DAC=　25　°.
4(8分)如图,△ABC中,D,E分别是边AB,AC延长线上的点,AP平分∠BAC,BP平分∠CBD,求证:CP平分∠BCE.
证明:过点P分别作PF⊥AD,PG⊥AE,PH⊥BC.
∵AP平分∠BAC(已知),且PF⊥AD,PG⊥AE,
∴　PF=PG　(角的平分线上的点到角两边的距离相等).
∵BP平分∠CBD,且　PH⊥BC　,
∴PF=PH,
∴　PG=PH　(等量代换).
又∵PG⊥AE,PH⊥BC,
∴CP平分∠BCE.(　角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上　).
5(8分·教材再开发·P52T3拓展)已知:如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且CD,BE相交于O点.
求证:(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
【证明】(1)∵∠1=∠2,OE⊥AC,OD⊥AB,
∴OE=OD(角平分线上的点到角两边距离相等).
在△OEC与△ODB中,
∴△OEC≌△ODB(ASA),∴OB=OC.
(2)∵OE⊥AC,OD⊥AB,
∴∠OEC=∠ODB=90°,
在△OEC与△ODB中,
∴△OEC≌△ODB(AAS).
∴OE=OD.
∴∠1=∠2(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上).
巧提升
6(3分)下列各图中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)
7(3分)如图,四边形ABCD中,∠A=90°,AD=5,连接BD,BD⊥CD,垂足是D且
∠ADB=∠C,点P是边BC上的一动点,则DP的最小值是(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
8(3分)如图,已知BD⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,
∠ADG=130°,则∠DGF=　150°　.
9(3分)如图,已知△ABC的周长是18,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是　27　.
10(8分)如图,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON的内部,且AC=BC,CD⊥OM,CE⊥ON,垂足分别为D,E,且AD=BE.
(1)求证:OC平分∠MON;
(2)若AD=3,BO=4,求AO的长.
【解析】(1)∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
在Rt△ADC和Rt△BEC中,
∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL),
∴CD=CE,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴OC平分∠MON;
(2)∵Rt△ADC≌Rt△BEC,AD=3,
∴BE=AD=3,∵BO=4,
∴OE=OB+BE=4+3=7,
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDO=∠CEO=90°,
在Rt△DOC和Rt△EOC中,
∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL),
∴OD=OE=7,∵AD=3,
∴OA=OD+AD=7+3=10.
培素养
11(15分·几何直观)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.
(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.
(2)如图②,连接OA,求证:AO平分∠BAC.
(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证:OC⊥PC.
【解析】(1)∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=115°;
(2)过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,如图,
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,
∴OD=OE,OD=OF,∴OE=OF,
∴AO平分∠BAC;
(3)∵CO平分∠ACB,CP平分∠ACD,
∴∠ACO=∠ACB,∠ACP=∠ACD,
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD
=×180°
=90°,
∴OC⊥CP.14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
稳基础
知识点一 用尺规作已知角的平分线及证明
1(3分)数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是( )
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
2(8分)如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
知识点二 　角的平分线的性质
3(3分)如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是( )
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
知识链接
角的平分线上的点到角两边的距离相等.如图,∵P在∠AOB的平分线OC上,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN.
4(3分)如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是( )
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
5(3分·2025·大连瓦房店质检)如图,OP平分∠AOB,PC⊥OB,如果PC=15,那么点P到OA的距离等于 .
6(8分)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
巧提升
7(3分)如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=3,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是( )
A.2.8 B.3 C.4.2 D.5
易错点 在利用角的平分线的性质时,容易忽视直角条件,直接通过视觉直观判断出相等线段而出错
8(3分·易错题)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与△CDE的周长分别为13和3,则AB的长为( )
A.10 B.16
C.8 D.5
9(3分·2025·大连质检)如图,△ABC的边AB=3,BC=5,O是△ABC三条角平分线的交点,若△ABO的面积为3,则△BCO的面积为( )
A.8 B.7.5
C.6 D.5
10(3分·教材再开发·P53T8拓展)如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF= .
11(8分)如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
(2)若AB=21,AD=9,求DF的长.
培素养
12(12分·几何直观)在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD= ;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= . 14.3　角的平分线
第1课时　角的平分线的性质
稳基础
知识点一 用尺规作已知角的平分线及证明
1(3分)数学课上陈老师要求学生利用尺规作图,作一个已知角的平分线,并保留作图痕迹.学生小敏的作法是:如图,∠AOB是已知角,以O为圆心,任意长为半径作弧,与OA,OB分别交于N,M;再分别以N,M为圆心,大于MN的长为半径作弧,交于点C;作射线OC;则射线OC是∠AOB的平分线.小敏作图的依据是(D)
A.SAS B.ASA
C.AAS D.SSS
2(8分)如图,已知△ABC,用尺规作出△ABC的角平分线BD.(保留作图的痕迹,不写作法)
【解析】如图:
知识点二 　角的平分线的性质
3(3分)如图,∠1=∠2,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,下列结论中错误的是(A)
A.PD=OD B.PD=PE
C.∠DPO=∠EPO D.OD=OE
知识链接
角的平分线上的点到角两边的距离相等.如图,∵P在∠AOB的平分线OC上,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN.
4(3分)如图1,这是一个平板电脑支架,由托板、支撑板和底座构成,平板电脑放置在托板上,图2是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=10 cm,支撑板顶端的C恰好是托板AB的中点,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时,点B到直线DE的距离是(B)
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm
5(3分·2025·大连瓦房店质检)如图,OP平分∠AOB,PC⊥OB,如果PC=15,那么点P到OA的距离等于　15　.
6(8分)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=70°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)求∠EDA的度数;
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
【解析】(1)∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠BAC=60°,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠BAC=30°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEA=90°,
∴∠EDA=90°-∠BAD=60°.
(2)过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DF=DE=3.又∵AB=10,AC=8,
∴S△ABC=×10×3+×8×3=27.
巧提升
7(3分)如图,OD平分∠AOB,DE⊥AO于点E,DE=3,F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是(A)
A.2.8 B.3 C.4.2 D.5
易错点 在利用角的平分线的性质时,容易忽视直角条件,直接通过视觉直观判断出相等线段而出错
8(3分·易错题)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与△CDE的周长分别为13和3,则AB的长为(D)
A.10 B.16
C.8 D.5
9(3分·2025·大连质检)如图,△ABC的边AB=3,BC=5,O是△ABC三条角平分线的交点,若△ABO的面积为3,则△BCO的面积为(D)
A.8 B.7.5
C.6 D.5
10(3分·教材再开发·P53T8拓展)如图,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,EF过P点且与AB垂直,交AB于点F,交CD于点E,已知点P到AC的距离为3 cm,则EF=　6 cm　.
11(8分)如图,已知AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,且BC=DC.
(1)求证:BE=DF;
(2)若AB=21,AD=9,求DF的长.
【解析】(1)∵AC平分∠BAF,CE⊥AB于点E,CF⊥AF于点F,
∴CE=CF,∠BEC=∠F=90°,
在Rt△BCE和Rt△DCF中,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL),∴BE=DF.
(2)∵AC平分∠BAF,∴∠EAC=∠FAC,
∵∠AEC=90°,∴∠AEC=∠F,
在△ACE和△ACF中,
∴△ACE≌△ACF(AAS),
∴AE=AF,∴AB-BE=AD+DF,
∵AB=21,AD=9,BE=DF,
∴21-DF=9+DF,∴DF=6,∴DF的长是6.
培素养
12(12分·几何直观)在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD=　1∶1　;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,则S△ABD∶S△ACD=　m∶n　;(用含m,n的代数式表示)
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC=　9　.

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