资源简介

15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定
稳基础
知识点一 线段的垂直平分线的性质
1(3分)如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
知识链接
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图,l是线段AB的垂直平分线,点P在l上,则PA=PB.
2(3分)如图,线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°,则∠BDC的度数为( )
A.48° B.96° C.90° D.84°
3(3分·2024·大连甘井子区期末)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=
3 cm,△ABC的周长为18 cm,则△ABD的周长是( )
A.15 cm B.9 cm C.18 cm D.12 cm
4(6分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AC的垂直平分线交DC于点E,且BD=DE.求证:AB+BD=DC.
知识点二 　线段的垂直平分线的判定
5(3分)如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
知识链接
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图,PA=PB,点P在l上,
则l是线段AB的垂直平分线.
6(6分)如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
知识点三 　互逆命题、互逆定理
7(5分)(1)写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为 ,并判断是 命题(填“真”或“假”).
(2)写出一个原命题和逆命题都为定理的命题: .
巧提升
8(3分·2025·大连甘井子区质检)如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断错误的是( )
A.小明说得不对
B.小亮说得对,可添的条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对,可添的条件为“PO⊥AB”
D.小亮说得对,可添的条件为“PO平分∠APB”
易错点 与三条角平分线的交点的性质混淆而出错
9(3分·易错题)第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行.“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”.如图,若记北京为A地,莫斯科为B地,雅典为C地,若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
10(3分)下列定理中,没有逆定理的是( )
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.直角三角形两锐角互余
C.互为相反数的两个数的绝对值相等
D.等腰三角形的两个底角相等
11(10分·2025·大连质检)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=3 cm,求△CMN的周长.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
培素养
12(12分·新趋势·实践探究)课本再现:
如图3,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.
定理证明:
(1)为了证明该性质,珍珍画出了图形,请你帮她写出“已知”和“求证”和证明过程.
知识应用:
(2)如图2,在△ABC中,BC=8,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,与△ABC的交点分别为D,E,F,G,连接AD,AF,求△ADF的周长.15.1.2　线段的垂直平分线
第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定
稳基础
知识点一 线段的垂直平分线的性质
1(3分)如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为(C)
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
知识链接
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图,l是线段AB的垂直平分线,点P在l上,则PA=PB.
2(3分)如图,线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°,则∠BDC的度数为(B)
A.48° B.96° C.90° D.84°
3(3分·2024·大连甘井子区期末)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=
3 cm,△ABC的周长为18 cm,则△ABD的周长是(D)
A.15 cm B.9 cm C.18 cm D.12 cm
4(6分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AC的垂直平分线交DC于点E,且BD=DE.求证:AB+BD=DC.
【证明】如图,连接AE,
∵AC的垂直平分线交DC于点E,
∴AE=CE,
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE,
∴AB=AE,
∴AB=CE,
∵CD=DE+CE,
∴AB+BD=DC.
知识点二 　线段的垂直平分线的判定
5(3分)如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在(A)
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
知识链接
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如图,PA=PB,点P在l上,
则l是线段AB的垂直平分线.
6(6分)如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
【证明】连接BC,
∵AB=AC,DB=DC,∴A在线段BC的垂直平分线上,D在线段BC的垂直平分线上,即AD是线段BC的垂直平分线,
∵E在直线AD上,
∴BE=CE.
知识点三 　互逆命题、互逆定理
7(5分)(1)写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为　面积相等的两个三角形全等　,并判断是　假　命题(填“真”或“假”).
(2)写出一个原命题和逆命题都为定理的命题:　两直线平行,内错角相等(答案不唯一)　.
巧提升
8(3分·2025·大连甘井子区质检)如图,直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且PA=PB.小明说:“直线l是AB的垂直平分线.”小亮说:“需再添加一个条件,小明的结论才正确.”下列判断错误的是(B)
A.小明说得不对
B.小亮说得对,可添的条件为“∠A=∠B”
C.小亮说得对,可添的条件为“PO⊥AB”
D.小亮说得对,可添的条件为“PO平分∠APB”
易错点 与三条角平分线的交点的性质混淆而出错
9(3分·易错题)第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行.“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”.如图,若记北京为A地,莫斯科为B地,雅典为C地,若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在(A)
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
10(3分)下列定理中,没有逆定理的是(C)
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.直角三角形两锐角互余
C.互为相反数的两个数的绝对值相等
D.等腰三角形的两个底角相等
11(10分·2025·大连质检)如图,在△ABC中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F.
(1)若AB=3 cm,求△CMN的周长.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
【解析】(1)∵DM,EN分别垂直平分AC和BC,
∴AM=CM,BN=CN,
∴△CMN的周长为CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3 cm.
(2)∵∠MFN=70°,
∴∠MNF+∠NMF=180°-70°=110°,
∵∠AMD=∠NMF,∠BNE=∠MNF,
∴∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110°,
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-110°=70°.
∵AM=CM,BN=CN,
∴∠A=∠ACM,∠B=∠BCN,
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×70°=40°.
培素养
12(12分·新趋势·实践探究)课本再现:
如图3,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离,你有什么发现 可以发现,点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.
定理证明:
(1)为了证明该性质,珍珍画出了图形,请你帮她写出“已知”和“求证”和证明过程.
知识应用:
(2)如图2,在△ABC中,BC=8,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,与△ABC的交点分别为D,E,F,G,连接AD,AF,求△ADF的周长.
【解析】(1)已知:如图1,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在直线l上.
求证:PA=PB.
证明:∵直线l⊥AB,∴∠ACP=∠BCP=90°.
在△APC与△BPC中,,
∴△APC≌△BPC(SAS),∴PA=PB;
(2)∵DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,∴AD=BD,AF=CF,
∴△ADF的周长为:AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=8.第十五章　轴对称
15.1　图形的轴对称
15.1.1　轴对称及其性质
稳基础
知识点一 轴对称图形的识别
1(3分·新课标·中华优秀传统文化)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”,其中是轴对称图形的是(D)
2(3分·跨学科·体育·2025·大连金普新区期中)中国体育代表团在2024年巴黎奥运会取得优异成绩,下列图标中,是轴对称图形的是(C)
知识点二 　轴对称的概念
3(3分)视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是(C)
知识链接
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫对称点.
4(6分·教材再开发·P64练习T2变式)如图(1)(2)中每幅图形中的两个图案成轴对称吗 如果是,请找出它们的对称轴,并标出一对对称点.
【解析】图(1)(2)中的两个图案均成轴对称,对称轴及对称点如图所示.(对称点位置不唯一)
知识点三 　轴对称的性质
5(3分)下列说法错误的是(D)
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形不一定能关于某条直线对称
D.角是轴对称的图形,它的对称轴是角平分线
6(3分)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,且∠A=105°,∠C'=30°,则∠B=(B)
A.25° B.45° C.30° D.20°
7(3分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论:(1)△ABC≌△A'B'C';(2)∠BAC=∠B'A'C';(3)直线l垂直平分CC';(4)直线l平分∠CAC',其中正确的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识链接
1.成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
2.无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
巧提升
8(3分)下列四个图形中,对称轴最多的图形是(A)
9(3分·2025·大连中山区期中)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是(A)
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
10(8分)如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长;
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数;
(3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,ED=15,BF=9,
∴EF=CF,BF=DF=9,ED=CB=15,
∴EF=ED-DF=ED-BF=15-9=6.
(2)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,
∴∠AED=∠ACB=65°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°,
∵∠BAE=16°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°,
∵线段AE与AC关于直线MN对称,
∴∠EAN=∠CAN=∠EAC=×64°=32°,
∴∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48°,
∴∠BFN=∠ABC+∠BAN=35°+48°=83°.
(3)平行,理由:∵MN⊥EC,MN⊥BD,∴EC∥BD,
∴BD和EC的位置关系为平行.
培素养
11(12分·新趋势·结论开放性)在进行综合实践活动时,老师组织同学们通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠,使角的顶点A落在点A'处,OE为折痕,如图1;
【操作2】在图1条件下,点F是线段BC上一点,角顶点B沿线段OF折叠,点B落在点B'处,且点B'在长方形内.
【任务】
(1)在图1中,若∠AOE=35°,求∠A'OB的度数;
(2)在操作2中,当点B'刚好落在线段OA'上时,如图2,求∠EOF的度数;
(3)在操作2中,当点B'不在线段OA'上时,试猜想∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)由折叠性质可知:∠AOE=∠A'OE,
∵∠AOE=35°,
∴∠AOA'=∠AOE+∠A'OE=2∠AOE=70°,
∴∠A'OB=180°-∠AOA'=180°-70°=110°.
(2)由折叠性质可知:∠A'OE=∠AOA',
∠B'OF=∠BOB',
∵∠AOA'+∠BOB'=180°,
∴∠A'OE+∠B'OF=(∠AOA'+∠BOB')=×180°=90°,即∠EOF=90°.
(3)∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系为∠AOE+∠BOF-∠A'OB'=90°或∠AOE+∠BOF+∠A'OB'=90°.
理由:由折叠性质可知:∠AOE=∠AOA',
∠BOF=∠BOB',
①当点B'在OA'的左侧时,如图,
∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB'=180°,
∴∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB'=90°,
∴∠AOE+∠BOF-∠A'OB'=90°;
②当点B'在OA'的右侧时,如图,
∠AOA'+∠BOB'+∠A'OB'=180°,
∴∠AOA'+∠BOB'+∠A'OB'=90°,
∴∠AOE+∠BOF+∠A'OB'=90°.
综上所述,∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系为∠AOE+∠BOF
-∠A'OB'=90°或∠AOE+∠BOF+∠A'OB'=90°.第2课时　作轴对称图形的对称轴
稳基础
知识点 作轴对称图形的对称轴
1(3分)如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2(3分)已知在△ABC中,BC>AB>AC,根据图中的作图痕迹及作法,下列结论一定成立的是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.BP=CP B.AP=CP
C.∠APC=2∠ABC D.AP⊥BC
3(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为　23　.
4(4分)如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
【解析】如图,线段BH即为所求.
巧提升
5(3分)已知△ABC(AC6(6分·教材再开发·P71T12变式)现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
【解析】如图所示,点P即为所求.
培素养
7(8分·几何直观)请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,
∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.
【解析】(1)如图①,对称轴m即为所求;
(2)如图②,BC边的垂直平分线n即为所求.第十五章　轴对称
15.1　图形的轴对称
15.1.1　轴对称及其性质
稳基础
知识点一 轴对称图形的识别
1(3分·新课标·中华优秀传统文化)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”,其中是轴对称图形的是( )
2(3分·跨学科·体育·2025·大连金普新区期中)中国体育代表团在2024年巴黎奥运会取得优异成绩,下列图标中,是轴对称图形的是( )
知识点二 　轴对称的概念
3(3分)视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是( )
知识链接
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫对称点.
4(6分·教材再开发·P64练习T2变式)如图(1)(2)中每幅图形中的两个图案成轴对称吗 如果是,请找出它们的对称轴,并标出一对对称点.
知识点三 　轴对称的性质
5(3分)下列说法错误的是( )
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形不一定能关于某条直线对称
D.角是轴对称的图形,它的对称轴是角平分线
6(3分)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,且∠A=105°,∠C'=30°,则∠B=( )
A.25° B.45° C.30° D.20°
7(3分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论:(1)△ABC≌△A'B'C';(2)∠BAC=∠B'A'C';(3)直线l垂直平分CC';(4)直线l平分∠CAC',其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识链接
1.成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
2.无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线.
巧提升
8(3分)下列四个图形中,对称轴最多的图形是( )
9(3分·2025·大连中山区期中)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是( )
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
10(8分)如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长;
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数;
(3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
培素养
11(12分·新趋势·结论开放性)在进行综合实践活动时,老师组织同学们通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠,使角的顶点A落在点A'处,OE为折痕,如图1;
【操作2】在图1条件下,点F是线段BC上一点,角顶点B沿线段OF折叠,点B落在点B'处,且点B'在长方形内.
【任务】
(1)在图1中,若∠AOE=35°,求∠A'OB的度数;
(2)在操作2中,当点B'刚好落在线段OA'上时,如图2,求∠EOF的度数;
(3)在操作2中,当点B'不在线段OA'上时,试猜想∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系,并说明理由.第2课时　作轴对称图形的对称轴
稳基础
知识点 作轴对称图形的对称轴
1(3分)如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2(3分)已知在△ABC中,BC>AB>AC,根据图中的作图痕迹及作法,下列结论一定成立的是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.BP=CP B.AP=CP
C.∠APC=2∠ABC D.AP⊥BC
3(3分)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为 .
4(4分)如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
巧提升
5(3分)已知△ABC(AC6(6分·教材再开发·P71T12变式)现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
培素养
7(8分·几何直观)请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,
∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.

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