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2025-2026学年苏科版数学七年级上册
第2章有理数专题3：数轴与绝对值的综合
【典型例题】
【例1】 已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【例2】如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【例3】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列说法正确的有（ ）
；；；④．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【例4】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数____表示的点重合．
【例5】有理数在数轴上的位置如图，化简：．
【例6】有理数a、b、c在数抽上的位置如图：
（1）判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________0，_______0．
（2）化简：．
【举一反三】
【变式1】如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. a+b＞0 B. a+b＜0 C. ab＞0 D. |b|＜|a|
【变式2】如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【变式3】点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　）
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③⑤ D. ②③④
【变式4】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则x2020﹣cd＋＋m2﹣1的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【变式5】已知有理数a，b，c，d在数轴上所对应的点为A，B，C，D，请根据下列对话解答问题．
晓晓：“点B到原点的距离与点C到原点的距离都为4，点B在点C的右侧．”
潇潇：“d的绝对值等于它的相反数，并且点B到点D的距离为13．”
笑笑：“点A到点D的距离为7．”
（1）求a，b，c，d的值；
（2）计算的值．
【变式6】点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示和两点之间的距离为______．若表示一个有理数，且，则______．
（3）利用数轴求出的最小值为_______，并写出此时可取哪些整数值______．
【巩固练习】
1.如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2.符合的整数的值有　　
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
3.已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ）
A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①④
4.如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.已知a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果是_____．
6. 的最小值为______．
7.在数轴上有间隔相等的四个点M、N、P、Q所表示的数分别为m、n、p、q．其中有两个数互为相反数，若m的绝对值最大，则数轴的原点是 　　 点．
8.如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示：
则下列结论：①a+b-c＞0：②b-a＜0：③bc-a＜0：④．其中正确的是_______．
9. |5-2|表示5与2两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．探索：
（1）求|5-（-2）|的值．
（2）如果|x+2|=1，请写出x的值．
（3）求适合条件|x-1|<3的所有整数x的值．
10.同学们都知道，表示5与的差的绝对值？实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）________；
（2）如果点表示数5，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度，那么、两点间的距离是________；
（3）找出所有符合条件的________，使成立；
（4）若表示一个有理数，若，则__________．
11.如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足；
（1）点A表示的数为__________；点B表示的数为__________；
（2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数__________；
（3）动点P，Q分别从B，A两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．
12.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ．
（2）若数轴上表示数点位于与之间，则的值为 ．
（3）利用数轴解决问题：找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ．
（4）利用数轴解决问题：当 时，值最小，最小值是 ．
答案解析
【典型例题】
【例1】 已知a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【例2】如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
【答案】C
【例3】有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列说法正确的有（ ）
；；；④．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【例4】如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足，若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数____表示的点重合．
【答案】3
【例5】有理数在数轴上的位置如图，化简：．
【答案】根据图示可得，， ，
∴
．
【例6】有理数a、b、c在数抽上的位置如图：
（1）判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________0，_______0．
（2）化简：．
【答案】（1）解：由数轴可得：且，
∴，，．
故答案为：，，．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴
．
【举一反三】
【变式1】如图所示，下列判断正确的是（ ）
A. a+b＞0 B. a+b＜0 C. ab＞0 D. |b|＜|a|
【答案】B
【变式2】如图，数轴上的、两点分别表示有理数、，化简，结果正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【变式3】点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　）
A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③⑤ D. ②③④
【答案】B
【变式4】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点表示的数，则x2020﹣cd＋＋m2﹣1的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【变式5】已知有理数a，b，c，d在数轴上所对应的点为A，B，C，D，请根据下列对话解答问题．
晓晓：“点B到原点的距离与点C到原点的距离都为4，点B在点C的右侧．”
潇潇：“d的绝对值等于它的相反数，并且点B到点D的距离为13．”
笑笑：“点A到点D的距离为7．”
（1）求a，b，c，d的值；
（2）计算的值．
【答案】（1）∵点B到原点的距离与点C到原点的距离都为4，点B在点C的右侧，
∴点B所表示数是4，即b=4，点C所表示的数是，即，
又∵d的绝对值等于它的相反数，并且点B到点D的距离为13，
∴点D所表示的数为，即，
∵点A到点D的距离为7，点D所表示的数为，
∴点A所表示的数为或， 即或，
答：或；
【小问2详解】
当时，
；
当时，
．
【变式6】点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_____，数轴上表示2和的两点之间的距离为________．
（2）数轴上表示和两点之间的距离为______．若表示一个有理数，且，则______．
（3）利用数轴求出的最小值为_______，并写出此时可取哪些整数值______．
【答案】（1）解：，，
∴数轴上表示1和5两点之间的距离是4，数轴上表示2和的两点之间的距离为3．
故答案为：4，3；
【小问2详解】
解：数轴上表示和两点之间的距离为，
∵表示一个有理数，且，
∴．
故答案为：，6；
【小问3详解】
解：根据题意，可知的几何意义为有理数表示的点到表示的点以及4表示的点的距离和，
当时，，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
综上所述，的最小值为7；
此时，即，可取的整数值有，，，0，1，2，3，4．
故答案为：7；，，，0，1，2，3，4．
【巩固练习】
1.如果实数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.符合的整数的值有　　
A．4个 B．5个 C．7个 D．9个
【答案】D
3.已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ）
A. ②③ B. ①② C. ①③ D. ①④
【答案】C
4.如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
5.已知a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|+|a+b|的结果是_____．
【答案】﹣2a
6. 的最小值为______．
【答案】
7.在数轴上有间隔相等的四个点M、N、P、Q所表示的数分别为m、n、p、q．其中有两个数互为相反数，若m的绝对值最大，则数轴的原点是 　　 点．
【答案】PQ的中点或P
8.如图，有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示：
则下列结论：①a+b-c＞0：②b-a＜0：③bc-a＜0：④．其中正确的是_______．
【答案】②③．
9. |5-2|表示5与2两个数在数轴上所对应的两个点之间的距离．探索：
（1）求|5-（-2）|的值．
（2）如果|x+2|=1，请写出x的值．
（3）求适合条件|x-1|<3的所有整数x的值．
【答案】（1）|5-（-2）|=7．
故答案为：7；
（2）∵|x+2|=1，
∴x+2=±1，
解得x=-3或x=-1；
（3）∵|x-1|＜3，
∴-3＜x-1＜3，
解得-2＜x＜4，
其中整数有-1，0，1，2，3．
10.同学们都知道，表示5与的差的绝对值？实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
（1）________；
（2）如果点表示数5，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度，那么、两点间的距离是________；
（3）找出所有符合条件的________，使成立；
（4）若表示一个有理数，若，则__________．
【答案】（1），
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
∴点B表示的数为8，
∴、两点间的距离是，
故答案为：3；
【小问3详解】
解：∵表示的是数轴上表示x的数到表示的距离为5，
∴或，
故答案为：3或；
【小问4详解】
解：当时，∵，
∴，
解得；
当时，∵，
∴，此时方程无解，不符合题意；
当时，∵，
∴，
解得；
综上所述，或，
故答案为：或2．
11.如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a，b满足；
（1）点A表示的数为__________；点B表示的数为__________；
（2）若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数__________；
（3）动点P，Q分别从B，A两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点A表示的数为，点B表示的数为6，
故答案为：；6；
【小问2详解】
解：设点C表示的数为x，则，
∵，
∴，
∴或，
解得或，
∴点C表示的数为或14，
故答案为：或14；
【小问3详解】
解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵点P和点Q之间的距离为4，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
∴当或时，P，Q之间的距离为4．
12.数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示和的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用表示．根据以上阅读材料探索下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ．
（2）若数轴上表示数点位于与之间，则的值为 ．
（3）利用数轴解决问题：找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ．
（4）利用数轴解决问题：当 时，值最小，最小值是 ．
【答案】（1）解：∵，，
∴数轴上表示和的两点之间的距离是；表示和两点之间的距离是；
∵表示数和的两点之间的距离是，
∴
∴，
∴
解得：或，
故答案为：3；7；3或．
【小问2详解】
解：∵数轴上表示数的点位于与之间，
∴
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
解：∵表示到和4的距离之和，，
又
∴数轴上表示数的点位于和4之间，
∴整数点为：，，，，，，，，
这些点表示的数的和是，
故答案为：．
【小问4详解】
解：∵表示到、与4距离之和，
∴当时，的值最小，
最小值为，
故答案为：．

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