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第2课时　用坐标表示轴对称
稳基础
知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标特点
1(3分·新中考·实践探究)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示.若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为x,y轴的平面直角坐标系内,若点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为( )
A.(6,2) B.(-6,-2)
C.(2,6) D.(2,-6)
易错点 在图形变换时,混淆关于x轴或y轴对称的点的坐标特点而出错
2(3分·易错题)在平面直角坐标系中,若点A(a,3)与点B(-2,b)关于y轴对称,则点M(b,a)所在的象限是( )
A.第二象限 B.第四象限
C.第一象限 D.第三象限
3(3分·跨学科·物理)如图,这是蜡烛的平面镜成像的原理图,若以桌面为x轴,镜面侧面为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系.如果某刻火焰顶尖S点的坐标是(-4,2),那么此时对应的虚像顶尖S'点的坐标是 .
4(3分·2024·抚顺新抚区期中)点(-3,4)向右平移5个单位长度后再关于x轴对称的点的坐标是 .
5(8分)已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若A,B关于y轴对称,求(4a+b)2 024的值.
知识链接
关于坐标轴的对称点的坐标规律
1.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
2.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
知识点二 在平面直角坐标系中画轴对称图形
6(3分)如图,△AOB关于x轴对称图形是△A'OB,若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b),则△A'OB中的对应点Q的坐标是( )
A.(a,b) B.(-a,b)
C.(-a,-b) D.(a,-b)
7(8分·教材再开发·P75练习T3拓展)已知,在平面直角坐标系中,△ABC,△DEF, △PMN的位置如图所示.
(1)写出点A,E的坐标.
(2)△ABC与△PMN具有怎样的位置关系 △ABC与△DEF具有怎样的位置关系
(3)在平面直角坐标系中,画出△PMN关于y轴的对称图形.
巧提升
8(3分·新课标·中华优秀传统文化)如图,剪纸艺术是中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(n,2m),其关于y轴对称的点F的坐标为(n-4,m+1),则(n-m)2 023的值为( )
A.32 023 B.-1 C.1 D.0
9(3分)圆周率π是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.如图,在平面直角坐标系中,对π进行循环往复的轴对称变换,若π第一笔画上有一点A,其坐标为(m,n),则经过第2 025次变换后所得的A点坐标是( )
A.(m,n) B.(-m,n)
C.(m,-n) D.(-m,-n)
10(3分)在平面直角坐标系中,直线l是经过点(1,0),且平行于y轴的直线,点P(2,n)与点Q(m,-3)关于直线l成轴对称,则m-2n= .
11(10分)在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),点B(3,0),点C是点A关于点B的对称点.
(1)求点C的坐标;
(2)如果点P在y轴上,过点P作直线l∥x轴,点A关于直线l的对称点是点D,那么当△BCD的面积等于10时,求点P的坐标.
培素养
12(10分·新趋势·阅读理解)在平面直角坐标系中,直线l为第一、三象限角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点,记为P1,P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记作P2.例如,点(-1,2)的一次反射点为(1,2),二次反射点为(2,1).根据定义,回答下列问题:
(1)点(3,-4)的一次反射点为________;
二次反射点为________;
(2)若P(m+1,2n-1)的一次反射点和Q(-3,4)的二次反射点重合,求m+n的值.15.2　画轴对称的图形
第1课时　画轴对称的图形
稳基础
知识点 画轴对称的图形
1(3分)分别以直线l为对称轴,所作轴对称图形错误的是( )
2(3分)如图是小华画的正方形风筝图案,他以图中的对角线AB为对称轴,在对角线的下方再画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若下列有一图形为此对称图形,则此图为( )
3(6分)如图,将△ABC关于某条直线作第一次轴对称变换得到的图形是 ,再作第二次轴对称变换得到的图形是 .
4(8分·教材再开发·P75习题15.2T1拓展)如图,已知△ABC和直线MN.画△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称.
巧提升
易错点在找一个已知图形的轴对称图形时,容易因忽略对称轴的不确定性而出错
5(3分·易错题)如图是2×2的正方形网格,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的△ABC为格点三角形,则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
6(8分)已知四边形ABCD,如果点D,C关于直线MN对称,
(1)画出直线MN;
(2)画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
培素养
7(9分·几何直观)如图,在△ABC中,AB=AC,点B关于直线AC的对称点为D,点C关于直线AB的对称点为E,连接BD,CE,交于点F,连接AD,AE,连接AF并延长,交BC于点G.
(1)根据题意补全图形;
(2)求证:∠EAG=∠DAG.第2课时　用坐标表示轴对称
稳基础
知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标特点
1(3分·新中考·实践探究)某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花,如图所示.若A,B两处桂花的位置关于小路对称,在分别以两条小路为x,y轴的平面直角坐标系内,若点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为(A)
A.(6,2) B.(-6,-2)
C.(2,6) D.(2,-6)
易错点 在图形变换时,混淆关于x轴或y轴对称的点的坐标特点而出错
2(3分·易错题)在平面直角坐标系中,若点A(a,3)与点B(-2,b)关于y轴对称,则点M(b,a)所在的象限是(C)
A.第二象限 B.第四象限
C.第一象限 D.第三象限
3(3分·跨学科·物理)如图,这是蜡烛的平面镜成像的原理图,若以桌面为x轴,镜面侧面为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系.如果某刻火焰顶尖S点的坐标是(-4,2),那么此时对应的虚像顶尖S'点的坐标是　(4,2)　.
4(3分·2024·抚顺新抚区期中)点(-3,4)向右平移5个单位长度后再关于x轴对称的点的坐标是　(2,-4)　.
5(8分)已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若A,B关于y轴对称,求(4a+b)2 024的值.
【解析】(1)∵点A,B关于x轴对称,
∴,解得,
∴a=-8,b=-5.
(2)∵点A,B关于y轴对称,∴,解得,
∴(4a+b)2 024=(-4+3)2 024=1.
知识链接
关于坐标轴的对称点的坐标规律
1.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);
2.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
知识点二 在平面直角坐标系中画轴对称图形
6(3分)如图,△AOB关于x轴对称图形是△A'OB,若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b),则△A'OB中的对应点Q的坐标是(D)
A.(a,b) B.(-a,b)
C.(-a,-b) D.(a,-b)
7(8分·教材再开发·P75练习T3拓展)已知,在平面直角坐标系中,△ABC,△DEF, △PMN的位置如图所示.
(1)写出点A,E的坐标.
(2)△ABC与△PMN具有怎样的位置关系 △ABC与△DEF具有怎样的位置关系
(3)在平面直角坐标系中,画出△PMN关于y轴的对称图形.
【解析】(1)由图可得,A(4,-1),E(-3,-5).
(2)△ABC与△PMN关于x轴对称,△ABC与△DEF关于y轴对称.
(3)如图,△P'M'N'即为所求.
巧提升
8(3分·新课标·中华优秀传统文化)如图,剪纸艺术是中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(n,2m),其关于y轴对称的点F的坐标为(n-4,m+1),则(n-m)2 023的值为(C)
A.32 023 B.-1 C.1 D.0
9(3分)圆周率π是精确计算圆周长、圆面积、球体积的关键值.如图,在平面直角坐标系中,对π进行循环往复的轴对称变换,若π第一笔画上有一点A,其坐标为(m,n),则经过第2 025次变换后所得的A点坐标是(C)
A.(m,n) B.(-m,n)
C.(m,-n) D.(-m,-n)
10(3分)在平面直角坐标系中,直线l是经过点(1,0),且平行于y轴的直线,点P(2,n)与点Q(m,-3)关于直线l成轴对称,则m-2n=　6　.
11(10分)在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),点B(3,0),点C是点A关于点B的对称点.
(1)求点C的坐标;
(2)如果点P在y轴上,过点P作直线l∥x轴,点A关于直线l的对称点是点D,那么当△BCD的面积等于10时,求点P的坐标.
【解析】(1)∵点A(8,0),点B(3,0),∴AB=5,
∵点C是点A关于点B的对称点,∴BC=AB,则点C的坐标为(-2,0);
(2)如图,由题意知S△BCD=BC·AD=10,BC=5,
∴AD=4,则OP=2,∴点P的坐标为(0,2)或(0,-2).
培素养
12(10分·新趋势·阅读理解)在平面直角坐标系中,直线l为第一、三象限角平分线.点P关于y轴的对称点为P的一次反射点,记为P1,P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点,记作P2.例如,点(-1,2)的一次反射点为(1,2),二次反射点为(2,1).根据定义,回答下列问题:
(1)点(3,-4)的一次反射点为________;
二次反射点为________;
(2)若P(m+1,2n-1)的一次反射点和Q(-3,4)的二次反射点重合,求m+n的值.
【解析】(1)根据题意,结合平面直角坐标系,可得:点(3,-4)的一次反射点为(-3,-4),二次反射点为(-4,-3).
答案:(-3,-4)　(-4,-3)
(2)∵P为(m+1,2n-1),
∴P的一次反射点为(-m-1,2n-1).
又∵Q为(-3,4),∴Q的一次反射点为(3,4).
∴Q的二次反射点为(4,3).
又∵P(m+1,2n-1)的一次反射点和Q(-3,4)的二次反射点重合,
∴-m-1=4,2n-1=3.
∴m=-5,n=2.
∴m+n=-5+2=-3.15.2　画轴对称的图形
第1课时　画轴对称的图形
稳基础
知识点 画轴对称的图形
1(3分)分别以直线l为对称轴,所作轴对称图形错误的是(B)
2(3分)如图是小华画的正方形风筝图案,他以图中的对角线AB为对称轴,在对角线的下方再画一个三角形,使得新的风筝图案成为轴对称图形,若下列有一图形为此对称图形,则此图为(C)
3(6分)如图,将△ABC关于某条直线作第一次轴对称变换得到的图形是　△PQR　,再作第二次轴对称变换得到的图形是　△EFG　.
4(8分·教材再开发·P75习题15.2T1拓展)如图,已知△ABC和直线MN.画△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于直线MN对称.
【解析】如图所示.
巧提升
易错点在找一个已知图形的轴对称图形时,容易因忽略对称轴的不确定性而出错
5(3分·易错题)如图是2×2的正方形网格,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的△ABC为格点三角形,则正方形网格中与△ABC成轴对称的格点三角形的个数是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
6(8分)已知四边形ABCD,如果点D,C关于直线MN对称,
(1)画出直线MN;
(2)画出四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
【解析】(1)如图,直线MN即为所求;
(2)四边形A'B'DC即为四边形ABCD关于直线MN的对称图形.
培素养
7(9分·几何直观)如图,在△ABC中,AB=AC,点B关于直线AC的对称点为D,点C关于直线AB的对称点为E,连接BD,CE,交于点F,连接AD,AE,连接AF并延长,交BC于点G.
(1)根据题意补全图形;
(2)求证:∠EAG=∠DAG.
【解析】(1)补全图形如图所示;
(2)∵点B关于直线AC的对称点为D,点C关于直线AB的对称点为E,
∴∠EAB=∠BAC=∠DAC,AB⊥CE,AC⊥BD,AE=AC,AB=AD,
∴∠EAC=∠DAB,∵AB=AC,∴AE=AD,
在△AEC与△ADB中,,
∴△AEC≌△ADB(SAS),
∴∠ACE=∠ABD,∵∠ABC=∠ACB,
∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC,
在△ABF和△ACF中,,
∴△ABF≌△ACF(SSS),∴∠BAG=∠CAG,
∴∠EAB+∠BAG=∠DAC+∠CAG,即∠EAG=∠DAG.

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