资源简介

第2课时　含30°角的直角三角形的性质
稳基础
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为(C)
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm
知识链接
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,则BC=AB.
2(3分)如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(D)
A.7.5 B.5 C.10 D.5
3(3分)若等腰三角形的顶角为30°,腰长为8,则这个等腰三角形的面积为(B)
A.8 B.16 C.24 D.32
4(3分·2025·大连甘井子区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,DE⊥AC,则DE的长度是(B)
A.0.5 B.1 C.2 D.4
5(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A=　15°　.
巧提升
6(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF=　9　.
易错点 在题目中无图时,图形可能存在多种情况,由于忽略分类讨论而出错
7(3分·易错题)已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为　45°或15°或75°　.
8(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,
∴AB=2BC=4,
∵△ABD是等边三角形,
∴AD=BD=AB=4,∠DAB=60°,
①如图所示:
∵E为AD的中点,
∴AE=AD=2,
∵∠BAC=30°,∠DAB=60°,
∴∠CAE=90°,
在△CAE和△ACB中,,
∴△CAE≌△ACB(SAS),
∴CE=AB=4;
②如图所示:
∵△ABD是等边三角形,∠ACB=90°,
∴CD=CB=2,∠DAC=∠BAC=30°,∠D=60°,
∵E为AD的中点,
∴ED=AD=2,∴ED=CD,
∴△CDE是等边三角形,
∴CE=2.
综上,CE的长为4或2.
培素养
9(12分·几何推理)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的长.
【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC,
∠BAC=120°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°,∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°,
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°;
(2)△ADF是等边三角形.
理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,
∴DF=CF,
∵∠C=30°,
∴∠FDC=∠C=30°,
∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAF=90°-∠C=60°,
∴∠ADF=60°,即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°,
∴△ADF是等边三角形;
(3)∵直线MF为CD的垂直平分线,
∴∠FMC=90°,
∵∠C=30°,MF=2,
∴FC=2MF=4,
∵DF=FC,
∴DF=4,
∵△ADF是等边三角形,
∴AF=DF=4,
∴AC=AF+CF=4+4=8,
∵AB=AC,
∴AB=8.第3课时　等腰三角形与全等的综合
稳基础
知识点 等腰三角形与全等的综合
1(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是(D)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.70° C.65° D.50°
2(3分)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 　.
3(6分)下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.
等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.
方法一,证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二,证明:如图,作AD⊥BC于点D.
【解析】选择方法一:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,,
∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC.
选择方法二:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
在△ABD和△ACD中,,
∴△ABD≌△ACD(AAS),
∴AB=AC.
4(6分)如图,已知点D,E在BC上,且AB=AC,BE=CD.求证:△ADE是等腰三角形.
【证明】∵BE=CD,
∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形.
5(6分)如图,在△ABC中,E为AB上一点,连接CE,EC=BC,过点C作CD=AC,连接DE.且∠1=∠2.若∠B=75°,求∠3的度数.
【解析】∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,
∴∠DCE=∠ACB,在△DCE和△ACB中,
,∴△DCE≌△ACB(SAS),
∴∠DEC=∠B=75°,∵EC=BC,
∴∠CEB=∠B=75°,
∴∠DEB=∠DEC+∠CEB=150°,
∴∠3=180°-∠DEB=30°.
6(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)求证:BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
【证明】(1)在△ABD和△CBE中,
,∴△ABD≌△CBE(AAS),∴BA=BC;
(2)∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,
∴△AFC为等腰三角形.
巧提升
7(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有(A)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8(3分)如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC=
　12　m2.
9(10分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD, AC=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)求证:△ABE≌△ADC;
(2)求证:∠DOE+∠CAE=180°.
【证明】(1)∵∠DAB=∠CAE,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
∴∠DAC=∠BAE,在△ABE和△ADC中,
,∴△ABE≌△ADC(SAS).
(2)设AC和OE交于点F,如图,
由(1)知:△ABE≌△ADC,
∴∠AEF=∠FCO,
∵∠AFE=∠CFO,
∴∠CAE=∠COF,
∵∠DOE+∠COF=180°,
∴∠DOE+∠CAE=180°.
培素养
10(12分·推理能力)如图1,点A,D在y轴正半轴上,点B,C在x轴上,CD平分∠ACB交y轴于点D,∠CAO=90°-∠BDO.
(1)求证:AC=BC;
(2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长.
【解析】(1)∵∠CAO=90°-∠BDO,∠CBD=90°-∠BDO,∴∠CAO=∠CBD.
在△ACD和△BCD中,,
∴△ACD≌△BCD(AAS).∴AC=BC.
(2)由(1)知∠CAD=∠DEA=∠DBO,△ACD≌△BCD,
∴BD=AD=DE,过D作DN⊥AC于点N,如图所示:
∵∠ACD=∠BCD,∴DO=DN,
在Rt△BDO和Rt△EDN中,,
∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL),
∴BO=EN.
在△DOC和△DNC中,,
∴△DOC≌△DNC(AAS),∴OC=NC,
∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.第2课时　等腰三角形的判定
稳基础
知识点一 等腰三角形的判定
1(3分)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(C)
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=70°,∠B=50°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.∠A=60°,∠B=80°
知识链接
有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成“等角对等边”.∵∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形.
2(3分·教材再开发·P81练习T1变式)如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有　6　个.
3(6分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
【解析】(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,∵DE∥CB,
∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,
∴EB=ED,∴△BDE是等腰三角形.
(2)∵DE∥CB,
∴∠DEB=180°-∠ABC=130°,
∵EB=ED,F是BD的中点,
∴∠DEF=∠DEB=65°.
知识点二 　等腰三角形的性质与判定的综合应用
4(6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D.求证:BC=DC.
【证明】连接BD,
∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB,
∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC.
5(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:
(1)图中有哪些等腰三角形.
(2)△ABC各角的度数.
【解析】(1)题图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD,
∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴△ABC,△ABD,△BCD都是等腰三角形;
(2)设∠A=x°,∵AD=DB,
∴∠A=∠ABD=x°,
∵∠BDC是△ABD的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C=2x°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,解得x=36,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°,
∴△ABC各角的度数分别为36°,72°,72°.
知识点三 　求作等腰三角形
6(6分)已知:线段a,∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
【解析】如图所示,△ABC即为所求.
巧提升
7(3分)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是(D)
A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2∶2∶1
8(3分·教材再开发·P81练习T2拓展延伸)如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是(B)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8 B.10
C.12 D.13
9(3分)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点 在等腰三角形的相关计算中,忽略对已知边是腰或底进行分类讨论而出错
10(3分·易错题)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　.
11(6分·教材再开发·P85T9变式)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离.
【解析】由题意得:AB=(11-8)×15=3×15=45(海里),
∵∠NBC是△ABC的一个外角,
∠NAC=40°,∠NBC=80°,
∴∠C=∠NBC-∠NAC=40°,
∴∠C=∠NAC=40°,
∴AB=BC=45海里,
∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里.
培素养
12(12分·新趋势·实践探究)在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动.
在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知
当∠BPC=110°时,α=________°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变________(填“大”或“小”);
(2)思维拓展
在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗 若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由.
【解析】(1)当∠BPC=110°时,α=40°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变小.
理由如下:
∵CA=CB,∠ACB=120°,∴∠B=30°,
∴α=180°-110°-30°=40°.
答案:40　小
(2)∵△PCD是等腰三角形,
∠PCD=120°-α,∠CPD=30°,
①当PC=PD时,
∠PCD=∠PDC=(180°-30°)=75°,
即120°-α=75°,
∴α=45°;
②当PD=CD时,
∠PCD=∠CPD=30°,即120°-α=30°,
∴α=90°;
③当PC=CD时,
∠CDP=∠CPD=30°,
∴∠PCD=180°-2×30°=120°,
即120°-α=120°,
∴α=0°,
此时点P与点B重合,点D与点A重合,
∵点P不与A,B重合,
∴α=0°舍去.
综上所述:当△PCD是等腰三角形时,α=45°或90°.15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
稳基础
知识点一 等边三角形的性质
1(3分)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为( )
A.4 B.30 C.18 D.12
知识链接
等边三角形的三条边都相等.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.
2(3分)如图,△ABC是等边三角形,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=80°,∠BAD=15°,则∠CDE=( )
A.30° B.20° C.35° D.25°
知识链接
等边三角形的三个角都相等,都等于60°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
3(3分)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= °.
4(6分)如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
知识点二 　等边三角形的判定
5(3分)在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
知识链接
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°(或∠B=60°,或∠C=60°),∴△ABC是等边三角形.
6(3分)在△ABC中,AB=AC,添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是( )
A.∠A=60°
B.AC=BC
C.∠B与∠C互余
D.AB边上的高也是AB边上的中线
7(10分·教材再开发·P82例4变式)已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证:∠C=∠CDE.
(2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由.
巧提升
8(3分·2025·广州期中)如图,△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到E使CE=CD,则BE长为( )
A.7 B.8 C. D.9
9(3分)如图,AB=BC=4,DA=DC,若∠ACB=60°,则OC的长度为( )
A.1 B. C.2 D.
10(3分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.
11(3分)如图,已知∠MAN=60°,AB=6,依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 .
易错点 在对等边三角形进行计算时,忽略等腰三角形的形状而出错
12(3分·易错题)如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是 .
培素养
13(14分·新趋势·推理能力)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解析题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE________DB(填“>”“<”或“=”);证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你补充完整证明过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你画出相应图形,并直接写出结果)15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
稳基础
知识点一 “等边对等角”
1(3分·2025·大连中山区期中)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
知识链接
等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.　
2(3分·2025·营口一中质检)若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形顶角的度数为( )
A.40°
B.100°
C.40°或100°
D.40°或70°
3(3分·2025·大连八十中质检)如图,EC与DA相交于点B,∠ACB=90°,
∠A=60°,BD=BE,则∠E的度数是 .
4(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为 .
知识点二 　等腰三角形“三线合一”
5(3分·新趋势·实践探究)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是( )
A.“等边对等角”
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
知识链接
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”.
6(3分)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是( )
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
7(3分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为 .
巧提升
8(3分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.40° C.50° D.60°
易错点 在求等腰三角形的角时,忽略对已知角是底角或顶角进行分类讨论而出错
9(3分·易错题)等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角的度数为( )
A.80° B.80°或20°
C.20° D.80°或50°
10(3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD;
④OD=2CD.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11(3分·新课标·数学文化)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是 .
易错点 在求等腰三角形的角时,忽略等腰三角形的形状而出错
12(3分·易错题)在△ABC中,AB=AC,AB边上的高CD与AC的夹角为20°,则∠BAC为 .
13(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为点D,连接EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=m,BE=n,求△ABC的周长.
培素养
14(14分·几何直观)在△ABC中,AB=AC.
(1)AD是BC上的高,AD=AE.
①如图1,如果∠BAD=30°,则∠EDC=_____°;
②如图2,如果∠BAD=40°,则∠EDC=_____°.
(2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示:________________.
(3)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系 并说明理由.15.3.2　等边三角形
第1课时　等边三角形的性质与判定
稳基础
知识点一 等边三角形的性质
1(3分)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为(D)
A.4 B.30 C.18 D.12
知识链接
等边三角形的三条边都相等.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC.
2(3分)如图,△ABC是等边三角形,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=80°,∠BAD=15°,则∠CDE=(D)
A.30° B.20° C.35° D.25°
知识链接
等边三角形的三个角都相等,都等于60°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
3(3分)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=　30　°.
4(6分)如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE.
【证明】∵在等边△ABC中,BD是边AC上的高,
∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ACB=60°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED=30°,
∴∠DBC=∠CED,∴BD=DE.
知识点二 　等边三角形的判定
5(3分)在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=(A)
A.2 B.3 C.4 D.5
知识链接
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°(或∠B=60°,或∠C=60°),∴△ABC是等边三角形.
6(3分)在△ABC中,AB=AC,添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是(C)
A.∠A=60°
B.AC=BC
C.∠B与∠C互余
D.AB边上的高也是AB边上的中线
7(10分·教材再开发·P82例4变式)已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E.
(1)求证:∠C=∠CDE.
(2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B,
∴∠C=∠CDE;
(2)△DEC是等边三角形,理由:∵DE∥AB,
∴∠DEC=∠A=60°,
由(1)得△DEC是等腰三角形,
∴△DEC是等边三角形.
巧提升
8(3分·2025·广州期中)如图,△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到E使CE=CD,则BE长为(D)
A.7 B.8 C. D.9
9(3分)如图,AB=BC=4,DA=DC,若∠ACB=60°,则OC的长度为(C)
A.1 B. C.2 D.
10(3分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=　30　°.
11(3分)如图,已知∠MAN=60°,AB=6,依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为　3　.
易错点 在对等边三角形进行计算时,忽略等腰三角形的形状而出错
12(3分·易错题)如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是　15°或60°　.
培素养
13(14分·新趋势·推理能力)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解析题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE________DB(填“>”“<”或“=”);证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你补充完整证明过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你画出相应图形,并直接写出结果)
【解析】(1)答案:=
(2)AE=DB,证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,
∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF,BE=CF,
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中,,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,∴AE=DB.
答案:=
(3)点E在AB的延长线上时,作EF∥AC,如图所示,
由(2)可推出△BEF为等边三角形,
∴BF=BE,
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECF,
在△DBE和△CFE中,,
∴△DBE≌△CFE(AAS),
∵AB=1,AE=2,∴BE=1,
∵DB=FC=FB+BC=2,∴CD=BC+DB=3.第2课时　等腰三角形的判定
稳基础
知识点一 等腰三角形的判定
1(3分)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠A=30°,∠B=60°
B.∠A=70°,∠B=50°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.∠A=60°,∠B=80°
知识链接
有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成“等角对等边”.∵∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形.
2(3分·教材再开发·P81练习T1变式)如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有 个.
3(6分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点.
(1)求证:△BDE是等腰三角形.
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
知识点二 　等腰三角形的性质与判定的综合应用
4(6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D.求证:BC=DC.
5(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求:
(1)图中有哪些等腰三角形.
(2)△ABC各角的度数.
知识点三 　求作等腰三角形
6(6分)已知:线段a,∠α.
求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.
巧提升
7(3分)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2∶2∶1
8(3分·教材再开发·P81练习T2拓展延伸)如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是( )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.8 B.10
C.12 D.13
9(3分)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
易错点 在等腰三角形的相关计算中,忽略对已知边是腰或底进行分类讨论而出错
10(3分·易错题)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 .
11(6分·教材再开发·P85T9变式)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离.
培素养
12(12分·新趋势·实践探究)在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动.
在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知
当∠BPC=110°时,α=________°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变________(填“大”或“小”);
(2)思维拓展
在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗 若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由.第2课时　含30°角的直角三角形的性质
稳基础
知识点 含30°角的直角三角形的性质
1(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为( )
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm
知识链接
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,则BC=AB.
2(3分)如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.7.5 B.5 C.10 D.5
3(3分)若等腰三角形的顶角为30°,腰长为8,则这个等腰三角形的面积为( )
A.8 B.16 C.24 D.32
4(3分·2025·大连甘井子区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,DE⊥AC,则DE的长度是( )
A.0.5 B.1 C.2 D.4
5(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A= .
巧提升
6(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF= .
易错点 在题目中无图时,图形可能存在多种情况,由于忽略分类讨论而出错
7(3分·易错题)已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为 .
8(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长.
培素养
9(12分·几何推理)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2.
(1)求∠ADE的度数;
(2)△ADF是等边三角形吗 为什么
(3)求AB的长.第3课时　等腰三角形与全等的综合
稳基础
知识点 等腰三角形与全等的综合
1(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是( )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.45° B.70° C.65° D.50°
2(3分)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 .
3(6分)下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明.
等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC.
方法一,证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二,证明:如图,作AD⊥BC于点D.
4(6分)如图,已知点D,E在BC上,且AB=AC,BE=CD.求证:△ADE是等腰三角形.
5(6分)如图,在△ABC中,E为AB上一点,连接CE,EC=BC,过点C作CD=AC,连接DE.且∠1=∠2.若∠B=75°,求∠3的度数.
6(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)求证:BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
巧提升
7(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
8(3分)如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC=
m2.
9(10分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD, AC=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)求证:△ABE≌△ADC;
(2)求证:∠DOE+∠CAE=180°.
培素养
10(12分·推理能力)如图1,点A,D在y轴正半轴上,点B,C在x轴上,CD平分∠ACB交y轴于点D,∠CAO=90°-∠BDO.
(1)求证:AC=BC;
(2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长.15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质
稳基础
知识点一 “等边对等角”
1(3分·2025·大连中山区期中)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C)
A.70° B.45° C.35° D.50°
知识链接
等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.　
2(3分·2025·营口一中质检)若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形顶角的度数为(C)
A.40°
B.100°
C.40°或100°
D.40°或70°
3(3分·2025·大连八十中质检)如图,EC与DA相交于点B,∠ACB=90°,
∠A=60°,BD=BE,则∠E的度数是　75°　.
4(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为　60°　.
知识点二 　等腰三角形“三线合一”
5(3分·新趋势·实践探究)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(C)
A.“等边对等角”
B.垂线段最短
C.等腰三角形“三线合一”
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
知识链接
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”.
6(3分)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是(B)
A.BD=CD B.BD=AD
C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C
7(3分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为　55°　.
巧提升
8(3分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.40° C.50° D.60°
易错点 在求等腰三角形的角时,忽略对已知角是底角或顶角进行分类讨论而出错
9(3分·易错题)等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角的度数为(B)
A.80° B.80°或20°
C.20° D.80°或50°
10(3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD;
④OD=2CD.正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11(3分·新课标·数学文化)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是　50°　.
易错点 在求等腰三角形的角时,忽略等腰三角形的形状而出错
12(3分·易错题)在△ABC中,AB=AC,AB边上的高CD与AC的夹角为20°,则∠BAC为　70°或110°　.
13(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为点D,连接EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=m,BE=n,求△ABC的周长.
【解析】(1)∵DE垂直平分AC,
∴AE=CE,∴∠ECD=∠A=36°.
(2)∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB=72°.
∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°,
∴∠B=∠BEC,∴BC=CE.
∵CE=m,BE=n,AE=CE,
∴AE=CE=BC=m,∵AB=AE+BE=m+n,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=m+n+m+n+m=3m+2n.
培素养
14(14分·几何直观)在△ABC中,AB=AC.
(1)AD是BC上的高,AD=AE.
①如图1,如果∠BAD=30°,则∠EDC=_____°;
②如图2,如果∠BAD=40°,则∠EDC=_____°.
(2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示:________________.
(3)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系 并说明理由.
【解析】(1)①∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,∠BAD=30°,
∴∠CAD=∠BAD=30°,∠ADC=90°,
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°.
答案:15
②∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,
∠BAD=40°,∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°,∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=70°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°.
答案:20
(2)答案:∠BAD=2∠EDC
(3)仍有,理由如下:
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=
∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC
=2∠EDC+∠C,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC.

展开更多......

收起↑