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第十七章　因式分解
17.1　用提公因式法分解因式
稳基础
知识点一 因式分解的概念
1(3分·2025·大连甘井子区期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x(x+1)=x2+x
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2+4x+4=(x+2)2
D.x+1=x(1+)
知识链接
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫因式分解,也叫分解因式.
知识点二 公因式的概念
2(3分)下列多项式中,没有公因式的是( )
A.a(m+n)和(m+n)
B.32(x+y)和(-x+y)
C.3b(x-y)和2(x-y)
D.(3a-3b)和6(b-a)
知识链接
多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式p,我们把这个因式p叫作这个多项式各项的公因式.
3(3分)单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是( )
A.3a2b B.3a3b3
C.a2b D.a3b3
4(3分·2024·沈阳大东区期末)多项式8a3b2+12ab3c的公因式是( )
A.abc B.4ab2
C.ab2 D.4ab2c
5(3分)整式a2-a和(a-1)2的公因式为 .
知识点三 利用提公因式法因式分解
6(3分)下列提公因式法分解因式中,正确的是( )
A.3x2-2x-1=x(3x-2)-1
B.3x2-6x=x(3x-6)
C.3(x-2)-2x(x-2)=(x-2)(3-2x)
D.-2x3+4x2-2x=-2x(x2-2x)
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如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
7(4分)因式分解:
(1)(2024·吉林中考)a2-3a= .
(2)(2024·山东中考)x2y+2xy= .
8(8分)因式分解:
(1)6a2m-3am;
(2)-8a3b2+6ab3c;
(3)4x2y3+8x2y2z-12xy2z;
(4)n2(m-2)-n(2-m).
巧提升
9(3分)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
10(3分)分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是( )
A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)
C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1)
11(3分)(-2)2 024+(-2)2 023计算后的结果是( )
A.22 023 B.-2 C.-22 023 D.-1
12(3分)已知mn=1,m-n=2,则m2n-mn2的值是( )
A.-1 B.3 C.2 D.-2
13(3分)如图,长、宽分别为a,b的长方形的周长为16,面积为15,则a3b+ab3的值为 .
14(8分·教材再开发·P126练习T1)用提公因式法分解因式:(1)8x3-8x2-4x.
(2)x2(a-1)+x(1-a).
(3)4x2y2(a+b)-2xy2(a+b).
(4)3a2(x-y)+12a(y-x).
培素养
15(7分·新趋势·阅读理解)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是________;
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024的结果是________;
(3)利用(2)中结论计算:5+52+53+…+52 024.第十七章　因式分解
17.1　用提公因式法分解因式
稳基础
知识点一 因式分解的概念
1(3分·2025·大连甘井子区期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(C)
A.x(x+1)=x2+x
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2+4x+4=(x+2)2
D.x+1=x(1+)
知识链接
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫因式分解,也叫分解因式.
知识点二 公因式的概念
2(3分)下列多项式中,没有公因式的是(B)
A.a(m+n)和(m+n)
B.32(x+y)和(-x+y)
C.3b(x-y)和2(x-y)
D.(3a-3b)和6(b-a)
知识链接
多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式p,我们把这个因式p叫作这个多项式各项的公因式.
3(3分)单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是(A)
A.3a2b B.3a3b3
C.a2b D.a3b3
4(3分·2024·沈阳大东区期末)多项式8a3b2+12ab3c的公因式是(B)
A.abc B.4ab2
C.ab2 D.4ab2c
5(3分)整式a2-a和(a-1)2的公因式为　a-1　.
知识点三 利用提公因式法因式分解
6(3分)下列提公因式法分解因式中,正确的是(C)
A.3x2-2x-1=x(3x-2)-1
B.3x2-6x=x(3x-6)
C.3(x-2)-2x(x-2)=(x-2)(3-2x)
D.-2x3+4x2-2x=-2x(x2-2x)
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如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
7(4分)因式分解:
(1)(2024·吉林中考)a2-3a=　a(a-3)　.
(2)(2024·山东中考)x2y+2xy=　xy(x+2)　.
8(8分)因式分解:
(1)6a2m-3am;
(2)-8a3b2+6ab3c;
(3)4x2y3+8x2y2z-12xy2z;
(4)n2(m-2)-n(2-m).
【解析】(1)原式=3am(2a-1);
(2)原式=-2ab2(4a2-3bc);
(3)原式=4xy2(xy+2xz-3z);
(4)原式=n2(m-2)+n(m-2)
=n(m-2)(n+1).
巧提升
9(3分)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是(C)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
10(3分)分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是(B)
A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1)
C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1)
11(3分)(-2)2 024+(-2)2 023计算后的结果是(A)
A.22 023 B.-2 C.-22 023 D.-1
12(3分)已知mn=1,m-n=2,则m2n-mn2的值是(C)
A.-1 B.3 C.2 D.-2
13(3分)如图,长、宽分别为a,b的长方形的周长为16,面积为15,则a3b+ab3的值为　510　.
14(8分·教材再开发·P126练习T1)用提公因式法分解因式:(1)8x3-8x2-4x.
(2)x2(a-1)+x(1-a).
(3)4x2y2(a+b)-2xy2(a+b).
(4)3a2(x-y)+12a(y-x).
【解析】(1)8x3-8x2-4x=4x×2x2-4x×2x-4x×1
=4x(2x2-2x-1).
(2)x2(a-1)+x(1-a)=x2(a-1)-x(a-1)=x(a-1)(x-1).
(3)4x2y2(a+b)-2xy2(a+b)=2xy2(a+b)×2x-2xy2(a+b)×1=2xy2(a+b)(2x-1).
(4)3a2(x-y)+12a(y-x)=3a2(x-y)-12a(x-y)=3a(x-y)×a-3a(x-y)×4=3a(x-y)(a-4).
培素养
15(7分·新趋势·阅读理解)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是________;
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 024的结果是________;
(3)利用(2)中结论计算:5+52+53+…+52 024.
【解析】(1)答案:提公因式法;
(2)原式=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)2 023]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)2 022]
…
=(1+x)2 025;
答案:(1+x)2 025
(3)原式=×4(5+52+53+…+52 024)
=×(4×5+4×52+4×53+…+4×52 024)
=×(1+4+4×5+4×52+4×53+…+4×52 024)-
=-
=.

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