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第2课时　运用完全平方公式分解因式
稳基础
知识点一 完全平方式
1(3分)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是( )
A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1
C.a2-a+ D.a2+a+
知识链接
两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式.
易错点 在写完全平方式时,容易因忽视中间项的符号可正可负而出错.
2(3分·易错题)已知x2+mx+36是完全平方式,则m的值为( )
A.12 B.±12 C.6 D.±6
3(3分)已知x2-14x+a是完全平方式,则a= .
知识点二 用完全平方公式分解因式
4(3分)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
5(3分)把a2-2a+1分解因式,正确的是( )
A.a(a-2)+1 B.(a+1)2
C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2
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两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
6(4分)因式分解:
(1)(2024·常州中考)x2-4xy+4y2= .
(2)(2024·广元中考)(a+1)2-4a= .
7(8分)分解因式:(1)(x-1)(x-3)+1.
(2)2(x2-) -x4.
知识点三 用完全平方公式分解因式的应用
8(3分)已知x是有理数,则多项式x-1-x2的值( )
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零
9(3分)若x2+xy=17-a,y2+xy=8+a,则x+y= .
10(5分·新趋势·代数推理)求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正.
巧提升
11(3分)若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为( )
A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3
12(3分)多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是( )
A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4
13(3分)已知a≠c,若M=a2-ac,N=ac-c2,则M与N的大小关系是( )
A.M>N B.M=N
C.M14(3分)利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是 .
培素养
15(10分·2025·大连瓦房店市质检)阅读理解并解析:
我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫作完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
(1)例如:①x2+2x+3=(x2+2x)+3=(x2+2x+1-1)+3=(x+1)2-1+3=(x+1)2+2,
∵(x+1)2是非负数,即(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,
则这个代数式x2+2x+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1;
②2x2-12x+1=2(x2-6x)+1=2(x2-6x+9-9)+1=2(x-3)2-18+1=2(x-3)2-17,∵(x-3)2是非负数,即(x-3)2≥0,∴2(x-3)2-17≥-17,
则这个代数式2x2-12x+1的最小值是________,这时相应的x的值是________;
(2)知识再现:当x=________时,代数式x2-4x+5的最小值是________;
(3)知识运用:若y=-x2+2x+2当x=_____时,y有最________值(填“大”或“小”),这个值是________;
(4)知识拓展:若-x2+3x+y+4=0,求y+x的最小值.第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式
稳基础
知识点一 综合运用提公因式法和公式法因式分解
1(3分·2024·云南中考)分解因式:a3-9a=( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
2(3分)下列将多项式3a2-6a+3因式分解正确的是( )
A.3a(a-2)+3 B.3(a2-2a+1)　
C.3(a-1)(a+1) D.3(a-1)2
3(3分)多项式3ax2-3ay2分解因式的结果是( )
A.3a(x2-y2) B.3a(x-y)(x+y)
C.3a(y-x)(y+x) D.3a(x-y)2
4(3分)在对多项式2x3-8x因式分解的过程中,没有用到的方法有( )
A.提公因式x B.平方差公式
C.完全平方公式 D.提公因式2
5(3分)分解因式:2abx2-8ab= .
6(6分)分解因式:(1)a4-b4;
(2)3a2-6ab+3b2.
知识点二 综合运用提公因式法和公式法因式分解的应用
7(3分)对于算式993-99,下列说法错误的是( )
A.能被98整除 B.能被99整除　
C.能被100整除 D.能被101整除
8(5分·2025·大连期末)若58-1可以被20和30之间的某两个整数整除,求这两个整数.
巧提升
9(3分)把多项式ax2-□ax+16a分解因式的结果为a(x-4)2,则“□”中的数为( )
A.-4 B.-8 C.8 D.16
10(3分·2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
11(3分)若的结果为整数,则整数n的值不可能是( )
A.44 B.55 C.66 D.77
12(3分)如果x+y,x-y,x2-y2,4,m+n,mm分别对应6个字:鹿,鸣,数,我,爱,学.现将4m(x2-y2)+4n(x2-y2)因式分解,结果呈现的可能是哪句话( )
A.我爱鹿鸣 B.爱鹿鸣
C.鹿鸣数学 D.我爱数学
13(12分)把下列各式分解因式:
(1)a2(x-y)+b2(y-x);
(2)(x-y)3-9(x-y);
(3)x2(x+y)+2xy(x+y)+y2(x+y).
培素养
14(7分·新趋势·阅读理解)阅读下列材料:
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y) ……分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:9x2-y2-9x+3y;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.第3课时　综合运用提公因式法与公式法分解因式
稳基础
知识点一 综合运用提公因式法和公式法因式分解
1(3分·2024·云南中考)分解因式:a3-9a=(A)
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
2(3分)下列将多项式3a2-6a+3因式分解正确的是(D)
A.3a(a-2)+3 B.3(a2-2a+1)　
C.3(a-1)(a+1) D.3(a-1)2
3(3分)多项式3ax2-3ay2分解因式的结果是(B)
A.3a(x2-y2) B.3a(x-y)(x+y)
C.3a(y-x)(y+x) D.3a(x-y)2
4(3分)在对多项式2x3-8x因式分解的过程中,没有用到的方法有(C)
A.提公因式x B.平方差公式
C.完全平方公式 D.提公因式2
5(3分)分解因式:2abx2-8ab=　2ab(x+2)(x-2)　.
6(6分)分解因式:(1)a4-b4;
(2)3a2-6ab+3b2.
【解析】(1)原式=(a2+b2)(a2-b2)
=(a2+b2)(a+b)(a-b);
(2)原式=3(a2-2ab+b2)
=3(a-b)2.
知识点二 综合运用提公因式法和公式法因式分解的应用
7(3分)对于算式993-99,下列说法错误的是(D)
A.能被98整除 B.能被99整除　
C.能被100整除 D.能被101整除
8(5分·2025·大连期末)若58-1可以被20和30之间的某两个整数整除,求这两个整数.
【解析】∵58-1
=(54+1)(54-1)
=(54+1)(52+1)(52-1)
=(54+1)×26×24,
∴58-1可以被20和30之间的26和24两个整数整除.
巧提升
9(3分)把多项式ax2-□ax+16a分解因式的结果为a(x-4)2,则“□”中的数为(C)
A.-4 B.-8 C.8 D.16
10(3分·2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
11(3分)若的结果为整数,则整数n的值不可能是(D)
A.44 B.55 C.66 D.77
12(3分)如果x+y,x-y,x2-y2,4,m+n,mm分别对应6个字:鹿,鸣,数,我,爱,学.现将4m(x2-y2)+4n(x2-y2)因式分解,结果呈现的可能是哪句话(A)
A.我爱鹿鸣 B.爱鹿鸣
C.鹿鸣数学 D.我爱数学
13(12分)把下列各式分解因式:
(1)a2(x-y)+b2(y-x);
(2)(x-y)3-9(x-y);
(3)x2(x+y)+2xy(x+y)+y2(x+y).
【解析】(1)a2(x-y)+b2(y-x)
=a2(x-y)-b2(x-y)
=(x-y)(a+b)(a-b);
(2)(x-y)3-9(x-y)
=(x-y)[(x-y)2-9]
=(x-y)(x-y+3)(x-y-3);
(3)x2(x+y)+2xy(x+y)+y2(x+y)
=(x+y)(x2+2xy+y2)
=(x+y)(x+y)2
=(x+y)3.
培素养
14(7分·新趋势·阅读理解)阅读下列材料:
常用的分解因式方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y =(x2-4y2)+(2x-4y) ……分组 =(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ……组内分解因式 =(x-2y)(x+2y+2) ……整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:9x2-y2-9x+3y;
(2)已知△ABC的三边长a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.
【解析】(1)9x2-y2-9x+3y
=(9x2-y2)+(-9x+3y)
=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)
=(3x-y)(3x+y-3);
(2)△ABC为等腰三角形.
理由:∵a2-b2-ac+bc=0,
∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0,
∴(a-b)(a+b-c)=0.
∵△ABC三边长a,b,c都大于0,
∴a+b-c>0.
∴a-b=0,即a=b,
∴△ABC为等腰三角形.17.2　用公式法分解因式
第1课时　运用平方差公式分解因式
稳基础
知识点一 用平方差公式分解因式
1(3分·教材再开发·P129练习T1)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(C)
A.a2+b2
B.2a-b2
C.a2-b2
D.-a2-b2
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两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,即a2-b2=(a+b)(a-b).
2(3分)已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于(B)
A.16 B.±4 C.4 D.±2
3(3分)分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是(D)
A.4a2-b2 B.4a2+b2
C.-4a2-b2 D.-4a2+b2
4(9分)分解因式:
(1)(2024·德州中考)x2-4=　(x+2)(x-2)　.
(2)(2024·临夏州中考)x2-=(x+) (x-).
(3)(2023·无锡中考)4x2-1=(2x+1)(2x-1).
知识点二 用平方差公式分解因式的应用
5(3分)已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是(A)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.不确定
6(3分)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2=　6 072　.
7(6分·2024·沈阳于洪区期中)先因式分解,再计算求值:25(x+y)2-9(x-y)2,其中x=,y=-1.
【解析】原式=(5x+5y)2-(3x-3y)2
=(5x+5y+3x-3y)(5x+5y-3x+3y)
=(8x+2y)(2x+8y)
=4(4x+y)(x+4y);
∵x=,y=-1,
∴原式=4×(4×-1)×(-4)
=4×1×(-)
=-14.
8(5分)如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,
b=3.7时,阴影部分的面积.
【解析】(1)由题意得阴影部分的面积为a2-4b2.
(2)∵a2-4b2=(a+2b)(a-2b),
当a=15.4,b=3.7时,
原式=(15.4+7.4)(15.4-7.4)=22.8×8=182.4.
巧提升
9(3分)如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式(B)
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
10(3分)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被________整除(A)
A.8 B.m C.m-1 D.2m-1
11(3分)若多项式(2x)n-81分解因式的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是(B)
A.2 B.4 C.6 D.8
12(8分)(1)计算:.
(2)若x+y=2,求代数式x2-y2+4y的值.
【解析】(1)原式=
=
=2 035.
(2)∵x+y=2,
∴x2-y2+4y=(x+y)(x-y)+4y
=2(x-y)+4y
=2x-2y+4y
=2x+2y
=2(x+y)
=2×2
=4.
培素养
13(8分·新趋势·代数推理)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)32这个数是奇特数吗 若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积.
【解析】(1)∵32=92-72,
∴32是奇特数;
(2)由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数,
理由:(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=8n,
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数;
(3)S=392-372+352-332+…+72-52+32-12
=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(3+1)(3-1)
=(39+37+35+33+…+3+1)×2
=×2
=800.17.2　用公式法分解因式
第1课时　运用平方差公式分解因式
稳基础
知识点一 用平方差公式分解因式
1(3分·教材再开发·P129练习T1)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2
B.2a-b2
C.a2-b2
D.-a2-b2
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两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,即a2-b2=(a+b)(a-b).
2(3分)已知x2-16=(x-a)(x+a),那么a等于( )
A.16 B.±4 C.4 D.±2
3(3分)分解因式结果为-(2a+b)(2a-b)的多项式是( )
A.4a2-b2 B.4a2+b2
C.-4a2-b2 D.-4a2+b2
4(9分)分解因式:
(1)(2024·德州中考)x2-4= .
(2)(2024·临夏州中考)x2-=( ) ( ).
(3)(2023·无锡中考)4x2-1= .
知识点二 用平方差公式分解因式的应用
5(3分)已知a,b是△ABC的两边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.锐角三角形 D.不确定
6(3分)若a+b=2 024,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2= .
7(6分·2024·沈阳于洪区期中)先因式分解,再计算求值:25(x+y)2-9(x-y)2,其中x=,y=-1.
8(5分)如图,在一块边长为a的正方形纸板四周,各剪去一个边长为b(b>0)的正方形.
(1)用代数式表示阴影部分的面积.
(2)利用因式分解的方法计算当a=15.4,
b=3.7时,阴影部分的面积.
巧提升
9(3分)如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成如图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
10(3分)对于任意关于正整数m的多项式(4m+5)2-9都能被________整除( )
A.8 B.m C.m-1 D.2m-1
11(3分)若多项式(2x)n-81分解因式的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12(8分)(1)计算:.
(2)若x+y=2,求代数式x2-y2+4y的值.
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13(8分·新趋势·代数推理)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)32这个数是奇特数吗 若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)设两个连续奇数是2n-1和2n+1(其中n取正整数),由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗 为什么
(3)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数……按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积.第2课时　运用完全平方公式分解因式
稳基础
知识点一 完全平方式
1(3分)下列多项式中,不是两数和(差)的平方公式的是(A)
A.4a2-4a-1 B.4a2+4a+1
C.a2-a+ D.a2+a+
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两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和或差的平方,我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式.
易错点 在写完全平方式时,容易因忽视中间项的符号可正可负而出错.
2(3分·易错题)已知x2+mx+36是完全平方式,则m的值为(B)
A.12 B.±12 C.6 D.±6
3(3分)已知x2-14x+a是完全平方式,则a=　49　.
知识点二 用完全平方公式分解因式
4(3分)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是(D)
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
5(3分)把a2-2a+1分解因式,正确的是(D)
A.a(a-2)+1 B.(a+1)2
C.(a+1)(a-1) D.(a-1)2
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两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方,即a2±2ab+b2=(a±b)2.
6(4分)因式分解:
(1)(2024·常州中考)x2-4xy+4y2=　(x-2y)2　.
(2)(2024·广元中考)(a+1)2-4a= (a-1)2 .
7(8分)分解因式:(1)(x-1)(x-3)+1.
(2)2(x2-) -x4.
【解析】(1)原式=x2-4x+3+1
=x2-4x+4
=(x-2)2.
(2)原式=2x2-1-x4
=-(x4-2x2+1)
=-(x2-1)2
=-(x+1)2(x-1)2.
知识点三 用完全平方公式分解因式的应用
8(3分)已知x是有理数,则多项式x-1-x2的值(B)
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能是正数或负数或零
9(3分)若x2+xy=17-a,y2+xy=8+a,则x+y=　±5　.
10(5分·新趋势·代数推理)求证:不论x,y为何值,整式x2y2-4xy+5总为正.
【证明】x2y2-4xy+5=(xy-2)2+1≥1>0.
即不论x,y为何值,
整式x2y2-4xy+5总为正值.
巧提升
11(3分)若x2+6x+p=(x-q)2,则p,q的值分别为(B)
A.6,6 B.9,-3 C.3,-3 D.9,3
12(3分)多项式4x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,则加上的单项式最佳的是(C)
A.4x B.-4x C.±4x D.-4x4
13(3分)已知a≠c,若M=a2-ac,N=ac-c2,则M与N的大小关系是(A)
A.M>N B.M=N
C.M14(3分)利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式是　a2+2ab+b2=(a+b)2　.
培素养
15(10分·2025·大连瓦房店市质检)阅读理解并解析:
我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫作完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地,把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
(1)例如:①x2+2x+3=(x2+2x)+3=(x2+2x+1-1)+3=(x+1)2-1+3=(x+1)2+2,
∵(x+1)2是非负数,即(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,
则这个代数式x2+2x+3的最小值是2,这时相应的x的值是-1;
②2x2-12x+1=2(x2-6x)+1=2(x2-6x+9-9)+1=2(x-3)2-18+1=2(x-3)2-17,∵(x-3)2是非负数,即(x-3)2≥0,∴2(x-3)2-17≥-17,
则这个代数式2x2-12x+1的最小值是________,这时相应的x的值是________;
(2)知识再现:当x=________时,代数式x2-4x+5的最小值是________;
(3)知识运用:若y=-x2+2x+2当x=_____时,y有最________值(填“大”或“小”),这个值是________;
(4)知识拓展:若-x2+3x+y+4=0,求y+x的最小值.
【解析】(1)∵(x-3)2是非负数,即(x-3)2≥0,
∴2(x-3)2-17≥-17,
则这个代数式2x2-12x+1的最小值是-17,这时相应的x的值是3;
答案:-17　3
(2)x2-4x+5=(x-2)2+1,
∵(x-2)2是非负数,即(x-2)2≥0,
∴(x-2)2+1≥1,
当x=2时,代数式x2-4x+5的最小值是1;
答案:2　1
(3)∵y=-x2+2x+2=-(x2-2x-2)=
-(x-1)2+3,
∵(x-1)2是非负数,即(x-1)2≥0,
∴-(x-1)2≤0,
∴-(x-1)2+3≤3,
∴当x=1时,y有最大值,这个值是3;
答案:1　大　3
(4)∵-x2+3x+y+4=0,
∴y=x2-3x-4,
∴y+x=x2-2x-4=(x-1)2-5,
∵(x-1)2≥0,
∴(x-1)2-5≥-5,
∴y+x的最小值为-5.

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