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第4课时　分式方程的实际应用——销售问题
稳基础
知识点 销售问题
1(3分·2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C)
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2(3分·2024·东营中考)水是人类赖以生存的宝贵资源,为节约用水,创建文明城市,某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨原价的,小丽家去年5月份的水费是28元,而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用水价格为x元/m3,则可列分式方程为 -=3　.
3(8分)为了进一步丰富校园文体活动,某中学准备一次性购买若干个足球和排球,用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同,已知足球的单价比排球的单价多15元.
(1)求足球和排球的单价各是多少元
(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和排球共100个,但要求其总费用不超过7 550元,那么学校最多可以购买多少个足球
【解析】(1)设足球的单价是x元,
则排球的单价是(x-15)元,
依题意得:=,解得:x=80,
经检验,x=80是原方程的解,且符合题意,
∴x-15=65.
答:足球的单价是80元,排球的单价是65元.
(2)设学校可以购买m个足球,
则可以购买(100-m)个排球,
依题意得:80m+65(100-m)≤7 550,
解得:m≤70.
又∵m为正整数,∴m可以取的最大值为70.
答:学校最多可以购买70个足球.
4(8分)为加快公共领域充电基础设施建设,规范居民安全用电行为,某市计划新建一批智能充电桩.经调研,市场上有A型、B型两种充电桩,已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元,用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少.
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共300个,且花费不超过200万元,则至少购买A型充电桩多少个
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元,
则B型充电桩的单价为(x+0.2)万元.
根据题意得:=,解得:x=0.6,
经检验,x=0.6是所列方程的解,且符合题意,
∴x+0.2=0.6+0.2=0.8.
答:A型充电桩的单价为0.6万元,B型充电桩的单价为0.8万元.
(2)设购买A型充电桩m个,则购买B型充电桩(300-m)个,
由题可得:0.6m+0.8(300-m)≤200,
解得:m≥200,
答:至少可购买A型充电桩200个.
巧提升
5(3分·2024·广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是(C)
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
6(10分)为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校决定开展名著读书活动,用3 600元购买“四大名著”若干套后,发现这批图书满足不了学生的阅读需求,图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书,于是用2 400元购买的套数只比第一批少4套.
(1)求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元;
(2)该校共购进“四大名著”多少套
【解析】(1)设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元,则第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元,
依题意得:-=4,解得:x=150,
经检验,x=150是原方程的解,
答:第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元;
(2)由(1)得:=24(套),
∴24+(24-4)=44(套),
答:该校共购进“四大名著”44套.
7(12分·2024·抚顺新抚区模拟)某大型超市用6 000元购进一批苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又紧急调拨13 000元资金购进该品种苹果,但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元,购进苹果的千克数是试销时的2倍.
(1)求试销时该品种苹果的进价是每千克多少元.
(2)若两批苹果按相同的标价销售,要使两批苹果全部售完后获利不低于4 360元(不考虑其他因素),且最后的400千克苹果按8折(“8折”即定价的80%)优惠售出,那么每千克苹果的标价至少是多少元
【解析】(1)设试销时该品种苹果的进价是每千克x元,
则第二批该品种苹果的进价是每千克(x+0.5)元,根据题意得:=×2,
解得:x=6,
经检验,x=6是所列方程的解,且符合题意,
答:试销时该品种苹果的进价是每千克6元;
(2)试销时该品种苹果的千克数为
6 000÷6=1 000,
则购进第二批该品种苹果的千克数是2 000,
设每千克苹果的标价是y元,根据题意得:
(1 000+2 000-400)y+400×0.8y-6 000-
13 000≥4 360,
解得:y≥8,
答:每千克苹果的标价至少是8元.
培素养
8(13分)近年来,辽宁省以建设“口袋公园”为重点,有效利用城市的边边角角,为市民打造更多的绿地空间和休闲去处.某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗,用来美化“口袋公园”,在购买时发现,甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%,用1 800元购买甲种树苗的棵数比用1 800元购买乙种树苗的棵数少10棵.
(1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元;
(2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵,且购买的总费用不超过8 700元,至少需要购买多少棵乙种树苗
【解析】(1)设乙种树苗的单价是x元,
则甲种树苗的单价是(1+50%)x元,
由题意得:-=10,
解得:x=60,
经检验,x=60是原方程的解,且符合题意,
∴(1+50%)x=1.5x=1.5×60=90,
答:甲种树苗的单价是90元,乙种树苗的单价是60元;
(2)设需要购买m棵乙种树苗,则购买(120-m)棵甲种树苗,
由题意得:60m+90(120-m)≤8 700,解得:m≥70,
答:至少需要购买70棵乙种树苗.第4课时　分式方程的实际应用——销售问题
稳基础
知识点 销售问题
1(3分·2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( )
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2(3分·2024·东营中考)水是人类赖以生存的宝贵资源,为节约用水,创建文明城市,某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨原价的,小丽家去年5月份的水费是28元,而今年5月份的水费则是24.5元.已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用水价格为x元/m3,则可列分式方程为 .
3(8分)为了进一步丰富校园文体活动,某中学准备一次性购买若干个足球和排球,用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同,已知足球的单价比排球的单价多15元.
(1)求足球和排球的单价各是多少元
(2)根据学校实际情况,需一次性购买足球和排球共100个,但要求其总费用不超过7 550元,那么学校最多可以购买多少个足球
4(8分)为加快公共领域充电基础设施建设,规范居民安全用电行为,某市计划新建一批智能充电桩.经调研,市场上有A型、B型两种充电桩,已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.2万元,用12万元购买A型充电桩与用16万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)求A型、B型充电桩的单价各是多少.
(2)该市决定购买A型、B型充电桩共300个,且花费不超过200万元,则至少购买A型充电桩多少个
巧提升
5(3分·2024·广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是( )
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
6(10分)为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校决定开展名著读书活动,用3 600元购买“四大名著”若干套后,发现这批图书满足不了学生的阅读需求,图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书,于是用2 400元购买的套数只比第一批少4套.
(1)求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元;
(2)该校共购进“四大名著”多少套
7(12分·2024·抚顺新抚区模拟)某大型超市用6 000元购进一批苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又紧急调拨13 000元资金购进该品种苹果,但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元,购进苹果的千克数是试销时的2倍.
(1)求试销时该品种苹果的进价是每千克多少元.
(2)若两批苹果按相同的标价销售,要使两批苹果全部售完后获利不低于4 360元(不考虑其他因素),且最后的400千克苹果按8折(“8折”即定价的80%)优惠售出,那么每千克苹果的标价至少是多少元
培素养
8(13分)近年来,辽宁省以建设“口袋公园”为重点,有效利用城市的边边角角,为市民打造更多的绿地空间和休闲去处.某市政府准备购买甲、乙两种观花树苗,用来美化“口袋公园”,在购买时发现,甲种树苗的单价比乙种树苗的单价高了50%,用1 800元购买甲种树苗的棵数比用1 800元购买乙种树苗的棵数少10棵.
(1)求甲、乙两种树苗的单价各是多少元;
(2)现需要购买甲、乙两种树苗共120棵,且购买的总费用不超过8 700元,至少需要购买多少棵乙种树苗 第3课时　分式方程的实际应用——行程问题
稳基础
知识点 行程问题
1(3分·2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为( )
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
2(3分)某校八年级学生去距离学校120 km的游览区游览,一部分学生乘慢车先行,出发1 h后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍,求慢车的速度.设慢车的速度是x km/h,所列方程正确的是( )
A.+1= B.-1=
C.= D.=
3(7分·2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
4(8分)甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发,甲、乙的速度比是3∶4,结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙的速度.
5(8分)某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校50 km的博物院开展“研学之旅”.大巴车从学校出发,其中一位老师因有事耽误,没有赶上大巴车,因此比大巴车晚 h从学校自驾小汽车出发,并以大巴车1.5倍的速度走同样的路线赶往博物院,结果与大巴车同时到达.求大巴车和小汽车的平均速度.
巧提升
6(3分)“行人守法,安全过街”体现了对生命的尊重,也体现了公民的文明素质,更反映了城市的文明程度.在某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向车道,其中,AB=2BC=10米,在人行绿灯亮时,小刚共用时10秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍,求小刚通过AB的速度.设小刚通过AB的速度为x米/秒,则根据题意列方程为( )
A.+=10 B.+=10
C.+=10 D.+=10
7(8分)随着新能源汽车的普及,我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一,解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向,从2023年开始,4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地.据测试数据显示,使用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用4C技术提高了50%,若采用6C充电技术,续航里程480公里的充电时间,比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟,求采用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程为多少公里
8(10分)2024年7月27日,北京中轴线申遗成功.中轴线南起永定门,北至钟鼓楼.某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后,他们同时出发到故宫集合.第一小组从永定门骑行至故宫,行程约6.4 km,第二小组从钟鼓楼步行至故宫,行程约3.7 km.已知骑行的速度是步行速度的2倍,第一小组比第二小组提前6分钟到达,求第二小组步行的速度.
培素养
9(10分)A,B两地相距200 km,甲车从A地出发匀速开往B地,乙车同时从B地出发匀速开往A地,两车相遇时距A地80 km.已知乙车每小时比甲车多行驶30 km.
(1)求甲、乙两车的速度;
(2)若甲,乙两车分别以初速度继续在一条长为m km的道路上相向而行,经过5 h两车在没有相遇的条件下相距不超过50 km,求m的取值范围.18.5　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
稳基础
知识点一 分式方程的概念
1(3分)下列方程中,是分式方程的是( )
A.+=3
B.x-4y=7
C.2x=3(x-5)
D.=1
2(3分)下列方程:①=2,②=3,③-=,④+=5,⑤+1=0中,关于x的分式方程有(填写序号): .
知识链接
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
知识点二 分式方程的解法
3(3分·2024·德阳中考)分式方程=的解是( )
A.3 B.2 C. D.
4(3分)已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
5(3分·2024·辽宁中考)方程=1的解为 .
6(6分·2024·福建中考)解方程:+1=.
7(6分·2024·陕西中考)解方程:+=1.
巧提升
8(3分·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 .
9(3分·2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 .
知识链接
分式方程无解的两种情况:
(1)分式方程去分母后得到的整式方程无解,即:ax=b,a=0,b≠0,
(2)分式方程去分母后得到的整式方程有解,但是这个解使得最简公分母为0,所以原方程也无解.
10(3分·2024·重庆中考A卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和为 .
11(12分·新趋势·阅读理解)解分式方程+=3时小甲采用了以下的方法:
解:设=y,则原方程可化为y+2y=3,
解得y=1,即=1,去分母得x+1=1,所以x=0,检验:当x=0时,x+1≠0,所以x=0是原方程的解.
上面的方法叫换元法,请用换元法解方程+=3.
培素养
12(12分·新趋势·阅读理解)阅读材料,并回答问题:小亮在学习分式过程中,发现可以运用“类比”的方法—类比思想,达成事半功倍的学习效果,比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减,先通分,转化为同分母分式加减进行运算,解分式方程可以类比有分母的一元一次方程,先去分母,转化为整式方程求解;比较分式的大小,可以类比整式比较大小运用的“作差法”……
问题:
(1)材料中分式“通分”的依据是_____________;“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是_____________;同时,“类比”实数的分类,你认为分式方程在方程家族中应该是_____________;
(2)类比解分式方程的思想方法,解方程:=5;
(3)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题:甲、乙两组人各自平分钱,已知两组人数相同,相关信息如表:
组别 人数(人) 总金额(元)
甲 b2
乙 2b-5
试比较甲、乙两组哪组人均分的钱多 18.5　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
稳基础
知识点一 分式方程的概念
1(3分)下列方程中,是分式方程的是(D)
A.+=3
B.x-4y=7
C.2x=3(x-5)
D.=1
2(3分)下列方程:①=2,②=3,③-=,④+=5,⑤+1=0中,关于x的分式方程有(填写序号):　⑤　.
知识链接
分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
知识点二 分式方程的解法
3(3分·2024·德阳中考)分式方程=的解是(D)
A.3 B.2 C. D.
4(3分)已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为(B)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
5(3分·2024·辽宁中考)方程=1的解为　x=3　.
6(6分·2024·福建中考)解方程:+1=.
【解析】原方程两边都乘(x+2)(x-2),去分母得:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,解得:x=10,
检验:当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
7(6分·2024·陕西中考)解方程:+=1.
【解析】方程两边都乘
(x+1)(x-1),
得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),
解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,
所以分式方程的解是x=-3.
巧提升
8(3分·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为　-1　.
9(3分·2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为　2或-1　.
知识链接
分式方程无解的两种情况:
(1)分式方程去分母后得到的整式方程无解,即:ax=b,a=0,b≠0,
(2)分式方程去分母后得到的整式方程有解,但是这个解使得最简公分母为0,所以原方程也无解.
10(3分·2024·重庆中考A卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和为　16　.
11(12分·新趋势·阅读理解)解分式方程+=3时小甲采用了以下的方法:
解:设=y,则原方程可化为y+2y=3,
解得y=1,即=1,去分母得x+1=1,所以x=0,检验:当x=0时,x+1≠0,所以x=0是原方程的解.
上面的方法叫换元法,请用换元法解方程+=3.
【解析】设=y,则==y,
原方程可化为y+y=3,解得y=,
即=,
去分母得7x=9x-18,所以x=9,
检验:当x=9时,x-2=9-2=7≠0,
所以x=9是原方程的解.
培素养
12(12分·新趋势·阅读理解)阅读材料,并回答问题:小亮在学习分式过程中,发现可以运用“类比”的方法—类比思想,达成事半功倍的学习效果,比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减,先通分,转化为同分母分式加减进行运算,解分式方程可以类比有分母的一元一次方程,先去分母,转化为整式方程求解;比较分式的大小,可以类比整式比较大小运用的“作差法”……
问题:
(1)材料中分式“通分”的依据是_____________;“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是_____________;同时,“类比”实数的分类,你认为分式方程在方程家族中应该是_____________;
(2)类比解分式方程的思想方法,解方程:=5;
(3)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题:甲、乙两组人各自平分钱,已知两组人数相同,相关信息如表:
组别 人数(人) 总金额(元)
甲 b2
乙 2b-5
试比较甲、乙两组哪组人均分的钱多
【解析】(1)分式“通分”的依据是:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变(或分式的基本性质);
“去分母”的依据是:等式的两边都乘(或除以)同一个不为0的整式,所得的结果仍是等式(或等式的基本性质);
∵整式和分式统称为有理式,
∴类比的将整式方程和分式方程统称为有理方程;
答案:分式的基本性质　等式的基本性质　有理方程
(2)=5,方程两边平方,
得1-2x=25,
∴x=-12.
经检验,x=-12是原方程的解.
∴原方程的解为:x=-12.
(3)由甲、乙两组人数相同,故设两组各有a人(a>0),
则甲组均分元,乙组均分元.
∵-==>0,
∴甲组人均分的钱多.第3课时　分式方程的实际应用——行程问题
稳基础
知识点 行程问题
1(3分·2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为(D)
A.5 km/h B.6 km/h
C.7 km/h D.8 km/h
2(3分)某校八年级学生去距离学校120 km的游览区游览,一部分学生乘慢车先行,出发1 h后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍,求慢车的速度.设慢车的速度是x km/h,所列方程正确的是(B)
A.+1= B.-1=
C.= D.=
3(7分·2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
【解析】设D型车的平均速度是x千米/时,
则C型车的平均速度是3x千米/时,
根据题意得:-=2,
解得:x=100,
经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意.
答:D型车的平均速度是100千米/时.
4(8分)甲、乙两人分别从距目的地6 km和10 km的两地同时出发,甲、乙的速度比是3∶4,结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙的速度.
【解析】设甲的速度为3 km/h,乙的速度为
4 km/h,
由题意,得-=,
∴x=1.5,
经检验x=1.5是分式方程的解,
则甲的速度为3×1.5=4.5(km/h),
乙的速度为4×1.5=6(km/h),
答:甲的速度为4.5 km/h,乙的速度为6 km/h.
5(8分)某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校50 km的博物院开展“研学之旅”.大巴车从学校出发,其中一位老师因有事耽误,没有赶上大巴车,因此比大巴车晚 h从学校自驾小汽车出发,并以大巴车1.5倍的速度走同样的路线赶往博物院,结果与大巴车同时到达.求大巴车和小汽车的平均速度.
【解析】设大巴车的平均速度为x km/h,
则小汽车的平均速度为1.5x km/h,
根据题意得:-=,
解得:x=50,
经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×50=75.
答:大巴车的平均速度为50 km/h,小汽车的平均速度为75 km/h.
巧提升
6(3分)“行人守法,安全过街”体现了对生命的尊重,也体现了公民的文明素质,更反映了城市的文明程度.在某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向车道,其中,AB=2BC=10米,在人行绿灯亮时,小刚共用时10秒通过AC,其中通过BC的速度是通过AB的1.3倍,求小刚通过AB的速度.设小刚通过AB的速度为x米/秒,则根据题意列方程为(A)
A.+=10 B.+=10
C.+=10 D.+=10
7(8分)随着新能源汽车的普及,我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一,解决汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向,从2023年开始,4C甚至6C的快速充电方案已经开始逐步落地.据测试数据显示,使用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用4C技术提高了50%,若采用6C充电技术,续航里程480公里的充电时间,比采用4C充电技术续航里程400公里的充电时间节省2分钟,求采用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程为多少公里
【解析】设采用4C充电技术,每分钟充电量的续航里程为x公里,
则采用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程为(1+50%)x公里,
根据题意,得=-2,
解得:x=40,经检验,x=40是原分式方程的解,
当x=40时,(1+50%)x=60,
答:采用6C充电技术,每分钟充电量的续航里程为60公里.
8(10分)2024年7月27日,北京中轴线申遗成功.中轴线南起永定门,北至钟鼓楼.某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后,他们同时出发到故宫集合.第一小组从永定门骑行至故宫,行程约6.4 km,第二小组从钟鼓楼步行至故宫,行程约3.7 km.已知骑行的速度是步行速度的2倍,第一小组比第二小组提前6分钟到达,求第二小组步行的速度.
【解析】设第二小组的步行速度是x km/h,
则第一小组的骑行速度是2x km/h,
依题意得:=+,解得:x=5,
经检验,x=5是原方程的解,且符合题意,
答:第二小组的步行速度是5 km/h.
培素养
9(10分)A,B两地相距200 km,甲车从A地出发匀速开往B地,乙车同时从B地出发匀速开往A地,两车相遇时距A地80 km.已知乙车每小时比甲车多行驶30 km.
(1)求甲、乙两车的速度;
(2)若甲,乙两车分别以初速度继续在一条长为m km的道路上相向而行,经过5 h两车在没有相遇的条件下相距不超过50 km,求m的取值范围.
【解析】(1)设甲车的速度是x km/h,
则乙车的速度是(x+30) km/h,
根据题意得:=,解得:x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,
∴x+30=60+30=90.
答:甲车的速度是60 km/h,乙车的速度是90 km/h;
(2)根据题意得:,
解得:750故m的取值范围是750稳基础
知识点 工程问题
1(3分·2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为(B)
A.200 B.300 C.400 D.500
2(3分)甲、乙两台机器运输某种货物,已知乙比甲每小时多运60 kg,甲运输500 kg所用的时间与乙运输800 kg所用的时间相等,求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物,设甲每小时运输x kg货物,则可列方程为(A)
A.= B.=
C.= D.=
3(3分·2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程(C)
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
4(6分·2023·沈阳中考)甲、乙两人加工同一种零件,甲比乙每小时多加工2个这种零件,甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等,求乙每小时加工多少个这种零件.
【解析】设乙每小时加工x个这种零件,则甲每小时加工(x+2)个这种零件,
根据题意得:=,解得:x=8,
经检验,x=8是所列方程的解,且符合题意.
答:乙每小时加工8个这种零件.
5(6分·2024·威海中考)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电
16 000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
【解析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时,
则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时,
根据题意得:=,解得:x=96,
经检验,x=96是所列方程的解,且符合题意,
∴2x-32=2×96-32=160.
答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
6(6分·2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
【解析】设乙组同学平均每小时包x个粽子,
则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子,
根据题意得=,
解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,
x+20=100.
答:甲组同学平均每小时包100个粽子,乙组同学平均每小时包80个粽子.
巧提升
7(3分)某加工厂接到一笔订单,甲、乙车间同时加工,已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍,甲车间加工4 000件比乙车间加工4 200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品,根据题意可列方程为 -=3　.
8(6分·2024·泰安中考)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人
【解析】设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人,
根据题意得:=×1.2,解得:x=20,
经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意,
∴35-x=35-20=15.
答:甲组有20名工人,乙组有15名工人.
9(8分)为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产________件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
【解析】(1)更新设备前每天生产x件产品,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,
更新设备后每天生产产品数量为(1+25%)x=1.25x(件);
答案:1.25x
(2)由题意知:-2=,
去分母,得6 250-2.5x=6 000,
解得:x=100,
经检验,x=100是所列分式方程的解,
1.25×100=125(件).
答:更新设备后每天生产125件产品.
10(8分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合作15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天
(2)已知甲队每天的施工费用为6 500元,乙队每天的施工费用为3 500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作完成.则该工程施工费用是多少
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天,
根据题意得:(+)×15+=1.
解得:x=30.
经检验x=30是原分式方程的解.
答:这项工程的规定时间是30天.
(2)该工程由甲、乙队合作完成,
所需时间为:
1÷(+)=18(天),
则该工程施工费用是:18×(6 500+3 500)=180 000(元).
答:该工程的费用为180 000元.
培素养
11(8分·2024·雅安中考)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前15天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工
【解析】(1)设原计划每天铺设管道x米,
则实际施工每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米,
根据题意得:+15=,解得:x=40,
经检验x=40是分式方程的解,且符合题意,
∴1.25x=50,
答:原计划与实际每天铺设管道各为40米,50米.
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工,3 000÷40=75(天),
根据题意得:300×75y≤180 000,解得:y≤8,
答:该公司原计划最多应安排8名工人施工.第2课时　分式方程的实际应用——工程问题
稳基础
知识点 工程问题
1(3分·2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
2(3分)甲、乙两台机器运输某种货物,已知乙比甲每小时多运60 kg,甲运输500 kg所用的时间与乙运输800 kg所用的时间相等,求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物,设甲每小时运输x kg货物,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
3(3分·2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程( )
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
4(6分·2023·沈阳中考)甲、乙两人加工同一种零件,甲比乙每小时多加工2个这种零件,甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等,求乙每小时加工多少个这种零件.
5(6分·2024·威海中考)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电
16 000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
6(6分·2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
巧提升
7(3分)某加工厂接到一笔订单,甲、乙车间同时加工,已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍,甲车间加工4 000件比乙车间加工4 200件多用3天.设甲车间每天加工x件产品,根据题意可列方程为 .
8(6分·2024·泰安中考)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人
9(8分)为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产________件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
10(8分)某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合作15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天
(2)已知甲队每天的施工费用为6 500元,乙队每天的施工费用为3 500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作完成.则该工程施工费用是多少
培素养
11(8分·2024·雅安中考)某市为治理污水,保护环境,需铺设一段全长为3 000米的污水排放管道,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前15天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米.
(2)负责该工程的施工单位,按原计划对工人的工资进行了初步的预算,工人每天人均工资为300元,所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工

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