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第十六章　整式的乘法
单元素养测评卷 120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列计算正确的是( )
A.x2·x3=x6
B.x6÷x3=x2
C.(x2)3=x6
D.(xy)2=xy2
2.若式子(x+4)0有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≠-4
B.x=-4
C.x≠4
D.x=4
3.已知x+y-3=0,则3x 3y的值是( )
A.9
B.27
C.
D.
4.已知a=313,b=96,c=275,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
5.如果x2+kxy+16y2是一个完全平方式,那么k的值是( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
6.如图,通过计算,比较图①,图②中阴影部分的面积,可以验证的算式是( )
A.a(b-x)=ab-ax
B.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2
C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx
D.b(a-x)=ab-bx
7.要使-x3(x2+ax+1)+2x4中不含有x的四次项,则a等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知(a+b)2=15,(a-b)2=7,则ab的值等于( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
9.若x+y=2,x2+y2=4,则x2 024+y2 024的值是( )
A.4
B.2 0242
C.22 024
D.42 024
10.为了求1+2+22+23+…+22 011+22 012的值,可令S=1+2+22+23+…+22 011+22 012,则2S=2+22+23+24+…+22 012+22 013,因此2S-S=22 013-1,所以1+22+23+…+22 012=22 013-1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52 025的值是( )
A.52 026-1
B.52 026+1
C.
D.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若x(x+2)=ax2+bx,则a+b= .
12.计算:82 024×(-0.125)2 025= .
13.当x=1时,代数式ax3-3bx+2的值是-4,则当x=-1时,代数式ax3-3bx-5的值是 .
14.如图,正方形的边长为a+b,阴影部分图形的面积为 .
15.小利在学习多项式乘法时发现:将多项式与多项式相乘展开,再合并同类项后,有可能出现缺项的现象.已知A是关于x的整式,最高次项次数为2,二次项系数为1,若整式A与x+3的乘积是一个只含有两项的多项式,则整式A为 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)计算:(1)(-5a2b)(-3a);
(2)-2a3·a5+3a8-(-a2)4;
(3)(7x+5y)(3x-2y);
(4)(12a3-6a2+3a)÷3a.
17.(8分)化简求值:[(x-y)2-x(3x-2y)+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=1,y=-2.
18.(8分)已知多项式A=mx-3,B=2x+n,A与B的乘积中不含有x项,常数项是-3.求m,n的值.
19.(8分)实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”.
(1)探究:以下两种图形能够验证平方差公式的是图________(填序号);
(2)应用:利用“平方差公式”计算1 9492-1 948×1 950;
(3)拓展:运用平方差公式计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1.
20.(8分)如图,某社区有两块相连的长方形空地,一块长为(3a+2b)m,宽为(2a+b)m;另一块长为(a+b)m,宽为(a-b)m.现将两块空地进行改造,计划在中间边长为(a-b)m的正方形(阴影部分)中种花,其余部分种植草坪.
(1)求计划种植草坪的面积;
(2)已知a=30,b=10,若种植草坪的价格为30元/m2,求种植草坪应投入的资金是多少元.
21.(10分)下面有3张卡片,其上分别写有相应的代数式,并且满足:
A·B=C(m,n为常数).
(1)求m,n的值;
(2)若x为正整数,求证:代数式B2-2C总能被5整除.
A=x-1　　　B=2x+m　　　C=2x2+x+n
22.(12分·2025·鞍山立山区期中)我们知道,图形也是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现一些代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.
在数学活动课上,胡老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形,并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
(1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式为________________ ;
(2)运用(1)中的等式解决下列问题.
①已知a2+b2=10,a+b=4,求ab的值;
②已知(2 025-c)(c-2 023)=-2 024,求(2 025-c)2+(c-2 023)2的值.
23.(13分)给出如下定义:我们把有序实数对(m,n)叫作关于x的一次多项式mx+n的特征系数对,有序数对(a,b,c)叫作关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对,并且把关于x的一次多项式mx+n叫作有序实数对(m,n)的特征多项式,把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫作有序实数对(a,b,c)的特征多项式.
(1)关于x的一次多项式-2x+4的特征系数对在第________象限;关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为________ ;
(2)若有序实数对(1,a)的特征多项式与有序实数对(a,-4)的特征多项式的乘积为bx2-cx+16,求a,b,c的值;
(3)若有序实数对(p,q,-1)的特征多项式与有序实数对(m,n,-2)的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3-10x2-x+2,计算(4p-2q-1)(2m-n-1)的值.第十六章　整式的乘法
单元素养测评卷 120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列计算正确的是(C)
A.x2·x3=x6
B.x6÷x3=x2
C.(x2)3=x6
D.(xy)2=xy2
2.若式子(x+4)0有意义,则实数x的取值范围是(A)
A.x≠-4
B.x=-4
C.x≠4
D.x=4
3.已知x+y-3=0,则3x 3y的值是(B)
A.9
B.27
C.
D.
4.已知a=313,b=96,c=275,则a,b,c的大小关系为(A)
A.c>a>b
B.b>a>c
C.a>b>c
D.a>c>b
5.如果x2+kxy+16y2是一个完全平方式,那么k的值是(D)
A.4
B.±4
C.8
D.±8
6.如图,通过计算,比较图①,图②中阴影部分的面积,可以验证的算式是(B)
A.a(b-x)=ab-ax
B.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx+x2
C.(a-x)(b-x)=ab-ax-bx
D.b(a-x)=ab-bx
7.要使-x3(x2+ax+1)+2x4中不含有x的四次项,则a等于(B)
A.1
B.2
C.3
D.4
8.已知(a+b)2=15,(a-b)2=7,则ab的值等于(D)
A.-1
B.-2
C.1
D.2
9.若x+y=2,x2+y2=4,则x2 024+y2 024的值是(C)
A.4
B.2 0242
C.22 024
D.42 024
10.为了求1+2+22+23+…+22 011+22 012的值,可令S=1+2+22+23+…+22 011+22 012,则2S=2+22+23+24+…+22 012+22 013,因此2S-S=22 013-1,所以1+22+23+…+22 012=22 013-1.仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52 025的值是(D)
A.52 026-1
B.52 026+1
C.
D.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.若x(x+2)=ax2+bx,则a+b=　3　.
12.计算:82 024×(-0.125)2 025=　-0.125　.
13.当x=1时,代数式ax3-3bx+2的值是-4,则当x=-1时,代数式ax3-3bx-5的值是　1　.
14.如图,正方形的边长为a+b,阴影部分图形的面积为　2ab　.
15.小利在学习多项式乘法时发现:将多项式与多项式相乘展开,再合并同类项后,有可能出现缺项的现象.已知A是关于x的整式,最高次项次数为2,二次项系数为1,若整式A与x+3的乘积是一个只含有两项的多项式,则整式A为　x2-3x+9或x2-3x或x2　.
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)计算:(1)(-5a2b)(-3a);
(2)-2a3·a5+3a8-(-a2)4;
(3)(7x+5y)(3x-2y);
(4)(12a3-6a2+3a)÷3a.
【解析】(1)原式=15a3b.
(2)原式=-2a8+3a8-a8=0.
(3)原式=21x2-14xy+15xy-10y2
=21x2+xy-10y2.
(4)(12a3-6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1.
17.(8分)化简求值:[(x-y)2-x(3x-2y)+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=1,y=-2.
【解析】原式=(x2-2xy+y2-3x2+2xy+x2-y2)÷2x
=(-x2)÷2x
=-x,
当x=1,y=-2时,原式=-.
18.(8分)已知多项式A=mx-3,B=2x+n,A与B的乘积中不含有x项,常数项是-3.求m,n的值.
【解析】∵A=mx-3,B=2x+n,
∴A·B=(mx-3)(2x+n)
=2mx2+mnx-6x-3n
=2mx2+(mn-6)x-3n,
∵A与B的乘积中不含有x项,常数项是-3,
∴mn-6=0,-3n=-3,解得m=6,n=1.
19.(8分)实践探究题
某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”.
(1)探究:以下两种图形能够验证平方差公式的是图________(填序号);
(2)应用:利用“平方差公式”计算1 9492-1 948×1 950;
(3)拓展:运用平方差公式计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1.
【解析】(1)题图①验证了等式(a+b)(a-b)=a2-b2,
题图②验证了等式(a+b)2-(a-b)2=4ab,
∴题图①能够验证平方差公式.
答案:①
(2)1 9492-1 948×1 950
=1 9492-(1 949-1)×(1 949+1)
=1 9492-(1 9492-1)
=1 9492-1 9492+1
=1.
(3)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)…(21 024+1)+1
=22 048-1+1
=22 048.
20.(8分)如图,某社区有两块相连的长方形空地,一块长为(3a+2b)m,宽为(2a+b)m;另一块长为(a+b)m,宽为(a-b)m.现将两块空地进行改造,计划在中间边长为(a-b)m的正方形(阴影部分)中种花,其余部分种植草坪.
(1)求计划种植草坪的面积;
(2)已知a=30,b=10,若种植草坪的价格为30元/m2,求种植草坪应投入的资金是多少元.
【解析】(1)两块空地的总面积:(3a+2b)×(2a+b)+(a+b)×(a-b)
=6a2+7ab+2b2+a2-b2
=7a2+7ab+b2,
种花的面积:(a-b)2=a2-2ab+b2,
种植草坪的面积:7a2+7ab+b2-(a2-2ab+b2)=6a2+9ab.
答:计划种植草坪的面积为(6a2+9ab)m2.
(2)a=30,b=10,种植草坪的价格为30元/m2,
应投入的资金为(6a2+9ab)×30=(6×302+9×30×10)×30=243 000(元).
答:种植草坪应投入的资金是243 000元.
21.(10分)下面有3张卡片,其上分别写有相应的代数式,并且满足:
A·B=C(m,n为常数).
(1)求m,n的值;
(2)若x为正整数,求证:代数式B2-2C总能被5整除.
A=x-1　　　B=2x+m　　　C=2x2+x+n
【解析】(1)∵A=x-1,B=2x+m,C=2x2+x+n,A·B=C,
∴(x-1)(2x+m)=2x2+x+n,
2x2+mx-2x-m=2x2+x+n,
2x2+(m-2)x-m=2x2+x+n,
∴,由①得:m=3,
把m=3代入②得:n=-3,
∴.
(2)由m=3,n=-3,则B=2x+3,C=2x2+x-3,
∴B2-2C
=(2x+3)2-2(2x2+x-3)
=4x2+12x+9-4x2-2x+6
=10x+15
=5(2x+3),
∵x为正整数,
∴2x+3为整数,
∴代数式B2-2C总能被5整除.
22.(12分·2025·鞍山立山区期中)我们知道,图形也是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现一些代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题.
在数学活动课上,胡老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形,并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
(1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式为________________　;
(2)运用(1)中的等式解决下列问题.
①已知a2+b2=10,a+b=4,求ab的值;
②已知(2 025-c)(c-2 023)=-2 024,求(2 025-c)2+(c-2 023)2的值.
【解析】(1)由题意得:阴影部分的面积为x2+y2=(x+y)2-2xy.
答案:x2+y2=(x+y)2-2xy
(2)①由(1)可得:a2+b2=(a+b)2-2ab,
∵a2+b2=10,a+b=4,
∴10=16-2ab,解得ab=3.
②设2 025-c=a,c-2 023=b,
∴a+b=2 025-c+c-2 023=2,
∵(2 025-c)(c-2 023)=-2 024,
∴ab=-2 024,
∵(2 025-c)2+(c-2 023)2=a2+b2
=(a+b)2-2ab
=4-2×(-2 024)
=4+4 048
=4 052.
23.(13分)给出如下定义:我们把有序实数对(m,n)叫作关于x的一次多项式mx+n的特征系数对,有序数对(a,b,c)叫作关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对,并且把关于x的一次多项式mx+n叫作有序实数对(m,n)的特征多项式,把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫作有序实数对(a,b,c)的特征多项式.
(1)关于x的一次多项式-2x+4的特征系数对在第________象限;关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为________　;
(2)若有序实数对(1,a)的特征多项式与有序实数对(a,-4)的特征多项式的乘积为bx2-cx+16,求a,b,c的值;
(3)若有序实数对(p,q,-1)的特征多项式与有序实数对(m,n,-2)的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3-10x2-x+2,计算(4p-2q-1)(2m-n-1)的值.
【解析】(1)由题意可得关于x的一次多项式-2x+4的特征系数对为(-2,4),它在第二象限;
关于x的二次多项式3x2+2x-1的特征系数对为(3,2,-1).
答案:二　(3,2,-1)
(2)∵有序实数对(1,a)的特征多项式与有序实数对(a,-4)的特征多项式的乘积为bx2-cx+16,
∴(x+a)(ax-4)=bx2-cx+16,
整理得:ax2+(a2-4)x-4a=bx2-cx+16,
则a=b,a2-4=-c,-4a=16,
解得:a=-4,b=-4,c=-12.
(3)∵有序实数对(p,q,-1)的特征多项式与有序实数对(m,n,-2)的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3-10x2-x+2,
则有(px2+qx-1)(mx2+nx-2)=2x4+x3-10x2-x+2,
当x=-2时,
(px2+qx-1)(mx2+nx-2)
=(4p-2q-1)(4m-2n-2)
=2×(-2)4+(-2)3-10×(-2)2-(-2)+2
=32-8-40+2+2,
即(4p-2q-1)(4m-2n-2)=-12,
则(4p-2q-1)(2m-n-1)=-6.

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