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期中复习练习 (第十三至第十五章)
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·大连中山区期中)下列交通标志中,属于轴对称图形的是( )
2.下列长度的三条线段能构成三角形的是( )
A.1,3,2
B.2,5,8
C.3,4,5
D.5,5,10
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数为( )
A.40°
B.35°
C.30°
D.25°
4.如图,△ABC≌△DEC,B,C,D在同一直线上,且CE=6,BD=15,则AC=( )
A.9
B.10
C.11
D.12
5.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应该修在( )
A.△ABC三边中线的交点处　
B.△ABC三个角的平分线的交点处
C.△ABC三边高线的交点处　
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是( )
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
7.(2025·大连中山区期中)如图,A,B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是( )
8.把△ABC沿EF翻折,叠合后的图形如图,若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.35°
9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40°,则顶角的度数为( )
A.40°或65°
B.50°或65°
C.50°或130°
D.40°或130°
10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=30°,D为AB的中点,P为CD上一点,E为BC延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:①∠PAD+∠PEC=30°;②△PAE为等边三角形;③BC=EC+CP;
④=,其中正确的结论是( )
A.①②③④
B.①②
C.①②④
D.②③④
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度,往往会放一个三脚架来固定和支撑相机,这里用到的数学道理是 .
12.如图,△DEF中,∠F=35°,若沿图中虚线截去∠F,则∠1+∠2= °.
13.(2025·辽阳白塔区期中)如图,AC=AD,请你添加一个适当的条件 ,使得△ABC≌△ABD.
14.(2025·大连中山区期中)如图,在△ABC中,∠BAD=2∠C,∠1=∠2,BD⊥AD,AB=5,AD=2,则BC的长度为 .
15.(2025·鞍山铁西区期中)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为 .
三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
17.(8分)如图,已知△ABC,其中AB=AC.
(1)作AC的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所作的图中,连接CE,若BC=7,AC=9,求△BCE的周长.
18.(8分·2025·大连中山区期中)如图,已知△ABC与直线l(直线l上各点的纵坐标都为-1),A(-1,3),B(-3,1),C(-1,0).
(1)在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标:
A1( , ),B1( , ),C1( , );
(3)观察图形的三组对应点的坐标变化规律,若△ABC的边上有一点P(a,b),则P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为________.(用a,b表示)
19.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,
∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数.
20.(8分)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC是“友爱三角形”.
如图,△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°.
(1)求∠A,∠B的度数.
(2)若CD是△ABC中AB边上的高,则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗 为什么
21.(10分·2025·大连甘井子区期末)小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1的测量方案:先在池塘外的空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA,OD=OC,连接BD,
(1)如图1,求证:AC=BD;
(2)如图2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长CO至点D,使OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得
∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5 m,EF=9 m,请求出池塘宽度AC.
22.(12分·2025·鞍山铁西区期中)综合与探究
[问题情境]
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题,如图1,在四边形ABDF中,AD平分∠BAF,DE⊥AB于点E,且BD=DF.
求证:AE=AF+BE.
小明是这样思考的:因为AD平分∠BAF,DE⊥AB,根据角平分线的性质,过点D作DC⊥AF交AF的延长线于点C,先证明△FCD≌△BED,再证明△ACD≌△AED,即可证出AE=AF+BE.
小丽是这样思考的:根据截长补短的方法,延长AF至C,使AC=AE,连接DC,先证明△ACD≌△AED,再证明△FCD≌△BED,即可证出AE=AF+BE.请你帮助小明或小丽完成证明过程.
[实践探究]
(2)老师总结了他们的证明方法,有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线,帮助我们完成证明过程.老师又出示了一个问题.如图2,在△ABC中,∠CAB=∠CBA =45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N.
①求证:∠BCN=∠CAE;
②求证:AE=CN+EN.
23.(13分)(1)问题发现
如图①,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在AC,BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AE,BD,则AD与BE的数量关系是___________.
(2)类比探究
如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系.并说明理由.
(3)拓展延伸
如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.试猜想∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(4)解决问题
在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,直接写出四边形ABEC的面积.辽宁期中备考卷(第十三至第十五章)
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·大连中山区期中)下列交通标志中,属于轴对称图形的是(A)
2.下列长度的三条线段能构成三角形的是(C)
A.1,3,2
B.2,5,8
C.3,4,5
D.5,5,10
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若∠A=35°,则∠BCD的度数为(B)
A.40°
B.35°
C.30°
D.25°
4.如图,△ABC≌△DEC,B,C,D在同一直线上,且CE=6,BD=15,则AC=(A)
A.9
B.10
C.11
D.12
5.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应该修在(B)
A.△ABC三边中线的交点处　
B.△ABC三个角的平分线的交点处
C.△ABC三边高线的交点处　
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是(A)
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
7.(2025·大连中山区期中)如图,A,B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是(A)
8.把△ABC沿EF翻折,叠合后的图形如图,若∠A=60°,∠1=95°,则∠2的度数是(C)
A.15°
B.20°
C.25°
D.35°
9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为40°,则顶角的度数为(C)
A.40°或65°
B.50°或65°
C.50°或130°
D.40°或130°
10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠B=30°,D为AB的中点,P为CD上一点,E为BC延长线上一点,且PA=PE.有下列结论:①∠PAD+∠PEC=30°;②△PAE为等边三角形;③BC=EC+CP;
④=,其中正确的结论是(A)
A.①②③④
B.①②
C.①②④
D.②③④
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,摄影师在拍照时为了确保照片的清晰度,往往会放一个三脚架来固定和支撑相机,这里用到的数学道理是　三角形具有稳定性　.
12.如图,△DEF中,∠F=35°,若沿图中虚线截去∠F,则∠1+∠2=　215　°.
13.(2025·辽阳白塔区期中)如图,AC=AD,请你添加一个适当的条件　∠CAB=
∠DAB(答案不唯一)　,使得△ABC≌△ABD.
14.(2025·大连中山区期中)如图,在△ABC中,∠BAD=2∠C,∠1=∠2,BD⊥AD,AB=5,AD=2,则BC的长度为　9　.
15.(2025·鞍山铁西区期中)如图,AD是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC的取值范围为　3三、解答题(本题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
【解析】∵(b-5)2+(c-7)2=0,
∴,解得,∵a为方程|a-3|=2的解,∴a=5或1,
当a=1,b=5,c=7时,1+5<7,不能构成三角形,故a=1不符合题意,舍去;
∴a=5,∴△ABC的周长为5+5+7=17,
∵a=b=5,
∴△ABC是等腰三角形.
17.(8分)如图,已知△ABC,其中AB=AC.
(1)作AC的垂直平分线DE,交AC于点D,交AB于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所作的图中,连接CE,若BC=7,AC=9,求△BCE的周长.
【解析】(1)如图所示,直线DE即为所求;
(2)∵AB=AC=9,DE垂直平分AC,∴AE=EC,
∴△BCE的周长为BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=16.
18.(8分·2025·大连中山区期中)如图,已知△ABC与直线l(直线l上各点的纵坐标都为-1),A(-1,3),B(-3,1),C(-1,0).
(1)在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标:
A1(　　　,　　　),B1(　　　,　　　),C1(　　　,　　　);
(3)观察图形的三组对应点的坐标变化规律,若△ABC的边上有一点P(a,b),则P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为________.(用a,b表示)
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)由图可得,A1(-1,-5),B1(-3,-3),C1(-1,-2).
答案:-1　-5　-3　-3　-1　-2
(3)由题意得,点P(a,b)在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为(a,-2-b).
答案:(a,-2-b)
19.(8分)如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,
∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA的度数.
【解析】∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵∠C=70°,
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°;
∵∠BAC=50°,∠C=70°,∴∠BAO=25°,∠ABC=60°.
∵BF是∠ABC的平分线,∴∠ABO=30°,
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°.
20.(8分)定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的,我们称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=80°,∠B=40°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC是“友爱三角形”.
如图,△ABC是“友爱三角形”,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠A>∠B),∠ACB=90°.
(1)求∠A,∠B的度数.
(2)若CD是△ABC中AB边上的高,则△ACD,△BCD都是“友爱三角形”吗 为什么
【解析】(1)∵∠A与∠B互为“友爱角”,且∠A>∠B,
∴∠B=∠A,∴∠A=2∠B,
在△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∴2∠B+∠B=90°,∴∠B=30°,
∴∠A=2∠B=60°.
(2)△ACD,△BCD都是“友爱三角形”,理由如下:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,在Rt△ACD中,∠A=60°,
∴∠ACD=90°-∠A=30°,∴∠ACD=∠A,
∴∠ACD与∠A互为“友爱角”,∴△ACD是“友爱三角形”;
在Rt△BCD中,∠B=30°,∴∠BCD=90°-∠B=60°,
∴∠B=∠BCD,∴∠BCD与∠B互为“友爱角”,
∴△BCD是“友爱三角形”.
21.(10分·2025·大连甘井子区期末)小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图1的测量方案:先在池塘外的空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点D,使OB=OA,OD=OC,连接BD,
(1)如图1,求证:AC=BD;
(2)如图2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长CO至点D,使OC=OD,过点D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得
∠DEF=120°,∠OFE=90°,DE=5 m,EF=9 m,请求出池塘宽度AC.
【解析】(1)在△OAC和△OBD中,,
∴△OAC≌△OBD(SAS),∴AC=BD.
(2)延长DE,AF交于点B,
∵DE∥AC,∴∠C=∠D,
在△OAC和△OBD中,,
∴△OAC≌△OBD(ASA),∴AC=BD,
∵∠DEF=120°,∠OFE=90°,
∴∠BFE=90°,∠BEF=60°,∴∠B=30°,
∵EF=9 m,∴BE=2EF=18 m,∵DE=5 m,
∴BD=BE+DE=23 m,∴AC=23 m,
答:池塘宽度AC为23 m.
22.(12分·2025·鞍山铁西区期中)综合与探究
[问题情境]
(1)数学活动课上,老师出示了一个问题,如图1,在四边形ABDF中,AD平分∠BAF,DE⊥AB于点E,且BD=DF.
求证:AE=AF+BE.
小明是这样思考的:因为AD平分∠BAF,DE⊥AB,根据角平分线的性质,过点D作DC⊥AF交AF的延长线于点C,先证明△FCD≌△BED,再证明△ACD≌△AED,即可证出AE=AF+BE.
小丽是这样思考的:根据截长补短的方法,延长AF至C,使AC=AE,连接DC,先证明△ACD≌△AED,再证明△FCD≌△BED,即可证出AE=AF+BE.请你帮助小明或小丽完成证明过程.
[实践探究]
(2)老师总结了他们的证明方法,有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线,帮助我们完成证明过程.老师又出示了一个问题.如图2,在△ABC中,∠CAB=∠CBA =45°,CA=CB,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于N.
①求证:∠BCN=∠CAE;
②求证:AE=CN+EN.
【解析】(1)小明:过点D作DC⊥AF交AF延长线于点C,
∵AD平分∠BAF,DE⊥AB,DC⊥AF,
∴DC=DE,∠CAD=∠EAD,∠C=∠AED=90°,
∵DF=BD,∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL),
∴FC=BE,∵∠C=∠AED=90°,AD=AD,∠CAD=∠EAD,
∴△ACD≌△AED(AAS),∴AE=AC=AF+CF=AF+BE;
小丽:延长AF至C,使AC=AE,连接DC,∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠DEB=90°,
∵AD平分∠BAF,∴∠CAD=∠EAD,∵AE=AC,AD=AD,
∴△ACD≌△AED(SAS),
∴DC=DE,∠C=∠AED=90°=∠DEB,∵DF=BD,
∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL),∴FC=BE,
∴AE=AC=AF+CF=AF+BE.
(2)①∵∠CAB=∠CBA=45°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°,
∴∠BCN+∠ACN=90°,
∵CN⊥AE,
∴∠ACN+∠CAE=90°,
∴∠BCN=∠CAE;
②过B作BM⊥CB交CN的延长线于点M,
∴∠CBM=∠ACE=90°,
∴∠MBN=90°-∠CBA=90°-45°=45°=∠EBN,
∵∠BCM=∠CAE,AC=CB,
∴△BCM≌△CAE(ASA),
∴CM=AE,BM=CE.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE=BM,
∵BM=BE,∠MBN=∠EBN,BN=BN,
∴△MBN≌△EBN(SAS),
∴MN=EN,
∴AE=CM=CN+MN=CN+EN.
23.(13分)(1)问题发现
如图①,在△ABC中,AC=BC,D,E分别在AC,BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连接AE,BD,则AD与BE的数量关系是___________.
(2)类比探究
如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系.并说明理由.
(3)拓展延伸
如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.试猜想∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(4)解决问题
在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,直接写出四边形ABEC的面积.
【解析】(1)∵AC=BC,CD=CE,∴AC-CD=BC-CE,即AD=BE.
答案:AD=BE
(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∠CDE=∠CED=60°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,,∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,∵点A,D,E在同一条直线上,
∴∠ADC=180°-60°=120°,∴∠BEC=120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°,
综上可得∠AEB的度数为60°,线段BE与AD之间的数量关系是BE=AD.
(3)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∠CDE=∠CED=45°,
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,
∵点A,D,E在同一条直线上,
∴∠ADC=180°-45°=135°,
∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°;
∵∠DCE=90°,CD=CE,CM⊥DE,
∴CM=DM=EM,
∴DE=DM+EM=2CM,
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(4)由(3)知AE=BE+2CM=10,
S四边形ABEC=S△ACE+S△ABE
=AE·CM+AE·BE
=×10×3+×10×4
=35,
故四边形ABEC的面积为35.

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