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全册练习 (第十三至第十八章)
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是( )
A.全等形是指形状相同的两个图形
B.全等形的周长和面积一定相等
C.两个等边三角形一定全等
D.面积相等的两个三角形一定全等
2.若分式的值为零,那么x的值为( )
A.-1或1 B.0 C.1 D.-1
3.若点(-3,4)与点(a2,b2)关于y轴对称,则(a+b)(a-b)=( )
A.-1 B.1 C.7 D.-12
4.小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式,此等式是( )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
5.如图,将三角形纸片ABC沿BD折叠,若∠2=90°,∠A=50°,则∠1的度数为( )
A.30° B.25° C.20° D.35°
6.若m+n=7,mn=11,则m2-mn+n2的值是( )
A.9 B.11 C.13 D.16
7.周末几名同学计划去聚餐,订了一桌价值270元的晚餐,出发前3名同学临时有事情不能参加,结果每个同学比原计划多出了15元的餐费,设最先打算参加聚餐的同学共x人,则所列方程为( )
A.-=15 B.-=15
C.-=15 D.-=15
8.若a=2 0220,b=2 021×2 023-2 0222,c=(-)2 022×()2 023,则a,b,c的大小关系是( )
A.aC.c9.在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB边上任意一点(点D不和A,B两点重合),过点D作AB的垂线,与直线AC交于点E,若∠AED=50°,则∠B的度数为( )
A.60° B.70° C.70°或20° D.60°或30°
10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是BC边上的高,若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是( )
A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.已知4x2-2kx+1是完全平方式,则常数k的值为 .
12.已知3m=a,81n=b,m,n为正整数,则33m+12n的值为 .
13.若关于x的分式方程+=4的解为正数,则a的取值范围为 .
14.如图,等边三角形ABC的边长为12,D为AC边上一动点,E为AB延长线上一动点,DE交CB于点P,点P为DE中点.若DE⊥AC,则AE= .
15.如图,△ABD与△ACE都是等边三角形,且AB≠AC,下列结论:
①BE=CD;②∠BOD=60°;③∠BDO=∠CEO;④若∠BAC=90°,DA∥BC,则BC⊥EC.其中正确的是 (填序号).
三、解答题(本大题共8小题,共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)完成下列各题:
(1)分解因式:9x2(a-b)+16y2(b-a);
(2)解方程:1-=.
17.(8分)如图,△ADB和△ACE是等腰直角三角形,连接DC,BE,相交于M.
(1)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
(2)连接AM,求证:MA平分∠DME.
18.(8分)先化简,再求值:(+)÷,其中a=4.
19.(8分·2025·大连金普新区期末)【类比学习】
在数学的奇妙世界里,分式与分数有着紧密的联系.就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样,分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中,当分子和分母都大于0时,有:
①当分子相同时,分母越小,分数的值越大,如<;
②当分母相同时,分子越大,分数的值越大,如<;
③当分子、分母都不相同时,一般来说,分子越大且分母越小,分数的值越大.
例如:从3,5,7中选两个数组成分数,是最大的,它的分子是所选数字中的最大数,分母是所选数字中的最小数.
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏,他们各自有三张牌,如图所示,小明的牌分别是x+1,x+3,x+5,小强的牌分别是x-1,x-3,x-5.他们各自选两张牌组成分式,并且约定x是大于5的正整数,然后比较他们组成的分式值的大小,值大者胜.
(1)小明组成的分式中值最大的分式是,小强组成的分式中值最大的分式是.
(2)小强思考了一下说:“虽然我是三张带减号的牌,但最终我一定是胜者”,小强说得对吗 请你通过计算加以证明.
20.(8分)乙巳蛇年春节期间,《哪吒》大火.某商店用3 000元购进一批哪吒手办,很快售完,第二次购进时,每个手办的进价提高了20%,同样用3 000元购进的数量比第一次少了10个.
(1)求第一次购进的每个手办的进价为多少元.
(2)若两次购进的手办售价均为96元,且全部售出,则该商店的总利润为多少元
21.(8分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
a.分组分解法:
例如:x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2).
b.拆项法:
例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3).
(1)仿照以上方法分解因式:
①4x2+4x-y2+1;　②x2+2xy-3y2;
(2)解决问题:已知a,b,c为△ABC的三边长,a2+5b2-4ab-2b+1=0,且△ABC为等腰三角形,求△ABC的周长.
22.(12分)已知,在△ABC中,∠BAC=α,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上(D不与B,C重合),∠BAD=∠CDE.
(1)如图1,若α=40°,且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为 °.
(2)如图2,若α=70°,且点D是BC边上的任意一点,小亮发现∠ADE的度数为定值,
①求∠ADE的度数;
②当DC=AB时,求∠DAE的度数.
(3)如图3,在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,若α=100°,请直接写出当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.
23.(13分)等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E.
(1)如图(1),已知点C的横坐标为-1,直接写出点A的坐标;
(2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB=∠CDE;
(3)如图(3),若点A在x轴上,且A(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB,AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连接CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化 若变化,请说明理由;若不变化,请求出BP的长度.辽宁期末备考卷(一)(第十三至第十八章)
120分钟　120分
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法正确的是(B)
A.全等形是指形状相同的两个图形
B.全等形的周长和面积一定相等
C.两个等边三角形一定全等
D.面积相等的两个三角形一定全等
2.若分式的值为零,那么x的值为(C)
A.-1或1 B.0 C.1 D.-1
3.若点(-3,4)与点(a2,b2)关于y轴对称,则(a+b)(a-b)=(A)
A.-1 B.1 C.7 D.-12
4.小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式,此等式是(B)
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b) B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
5.如图,将三角形纸片ABC沿BD折叠,若∠2=90°,∠A=50°,则∠1的度数为(C)
A.30° B.25° C.20° D.35°
6.若m+n=7,mn=11,则m2-mn+n2的值是(D)
A.9 B.11 C.13 D.16
7.周末几名同学计划去聚餐,订了一桌价值270元的晚餐,出发前3名同学临时有事情不能参加,结果每个同学比原计划多出了15元的餐费,设最先打算参加聚餐的同学共x人,则所列方程为(C)
A.-=15 B.-=15
C.-=15 D.-=15
8.若a=2 0220,b=2 021×2 023-2 0222,c=(-)2 022×()2 023,则a,b,c的大小关系是(B)
A.aC.c9.在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB边上任意一点(点D不和A,B两点重合),过点D作AB的垂线,与直线AC交于点E,若∠AED=50°,则∠B的度数为(C)
A.60° B.70° C.70°或20° D.60°或30°
10.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD是BC边上的高,若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是(D)
A.2.4 B.4.8 C.7.2 D.9.6
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11.已知4x2-2kx+1是完全平方式,则常数k的值为　±2　.
12.已知3m=a,81n=b,m,n为正整数,则33m+12n的值为　a3b3　.
13.若关于x的分式方程+=4的解为正数,则a的取值范围为　a<6且a≠2　.
14.如图,等边三角形ABC的边长为12,D为AC边上一动点,E为AB延长线上一动点,DE交CB于点P,点P为DE中点.若DE⊥AC,则AE=　16　.
15.如图,△ABD与△ACE都是等边三角形,且AB≠AC,下列结论:
①BE=CD;②∠BOD=60°;③∠BDO=∠CEO;④若∠BAC=90°,DA∥BC,则BC⊥EC.其中正确的是　①②④　(填序号).
三、解答题(本大题共8小题,共75分,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(10分)完成下列各题:
(1)分解因式:9x2(a-b)+16y2(b-a);
【解析】(1)原式=9x2(a-b)-16y2(a-b)
=(a-b)(9x2-16y2)
=(a-b)(3x+4y)(3x-4y);
(2)解方程:1-=.
【解析】(2)1-=,
去分母,得x2-1-x(x-1)=-2x,
去括号,得x2-1-x2+x=-2x,
移项,得x2-x2+x+2x=1,
合并同类项,得3x=1,系数化为1,得x=,
检验:当x=时,x2-1≠0,
∴该分式方程的解为x=.
17.(8分)如图,△ADB和△ACE是等腰直角三角形,连接DC,BE,相交于M.
(1)试判断线段BE与线段CD的数量关系和位置关系,并证明你的结论;
【解析】(1)数量关系:BE=CD;位置关系:BE⊥CD.证明如下:
设AB与CD相交于点N,如图,
∵△ADB和△ACE是等腰直角三角形,
∴∠DAB=∠CAE=90°,AD=AB,AC=AE,
则∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,
在△ADC与△ABE中,,
∴△ADC≌△ABE(SAS),∴BE=CD,∠ADC=∠ABE,∵∠DAB=90°,
∴∠AND+∠ADC=90°,又∵∠AND=∠BNM,
∴∠BNM+∠ABE=90°,
∴∠BMN=180°-(∠BNM+∠ABE)=90°,
∴BE⊥CD.
(2)连接AM,求证:MA平分∠DME.
【解析】(2)如图,作AP⊥DC于P,AQ⊥BE于Q,
∵△ADC≌△ABE,
∴S△ADC=S△ABE,即DC·AP=BE·AQ,
又∵DC=BE,
∴AP=AQ,∴MA平分∠DME.
18.(8分)先化简,再求值:(+)÷,其中a=4.
【解析】原式=[+]·
=·=,当a=4时,原式==2.
19.(8分·2025·大连金普新区期末)【类比学习】
在数学的奇妙世界里,分式与分数有着紧密的联系.就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一样,分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中,当分子和分母都大于0时,有:
①当分子相同时,分母越小,分数的值越大,如<;
②当分母相同时,分子越大,分数的值越大,如<;
③当分子、分母都不相同时,一般来说,分子越大且分母越小,分数的值越大.
例如:从3,5,7中选两个数组成分数,是最大的,它的分子是所选数字中的最大数,分母是所选数字中的最小数.
【问题呈现】
小明和小强一起做分式的游戏,他们各自有三张牌,如图所示,小明的牌分别是x+1,x+3,x+5,小强的牌分别是x-1,x-3,x-5.他们各自选两张牌组成分式,并且约定x是大于5的正整数,然后比较他们组成的分式值的大小,值大者胜.
(1)小明组成的分式中值最大的分式是,小强组成的分式中值最大的分式是.
(2)小强思考了一下说:“虽然我是三张带减号的牌,但最终我一定是胜者”,小强说得对吗 请你通过计算加以证明.
【解析】(2)小强说得对.
证明如下:
-=-
=
=
=,
∵x是大于5的正整数,
∴(x-5)(x+1)>0,
∴->0,即>,
故小强说得对.
20.(8分)乙巳蛇年春节期间,《哪吒》大火.某商店用3 000元购进一批哪吒手办,很快售完,第二次购进时,每个手办的进价提高了20%,同样用3 000元购进的数量比第一次少了10个.
(1)求第一次购进的每个手办的进价为多少元.
【解析】(1)设第一次购进的每个手办的进价为x元,则第二次进价为(1+20%)x,
根据题意得:-=10,
解得:x=50,
经检验:x=50是方程的解,且符合题意,
答:第一次购进的每个手办的进价为50元;
(2)若两次购进的手办售价均为96元,且全部售出,则该商店的总利润为多少元
【解析】(2)96×(+)-3 000×2=4 560(元),
答:该商店的总利润为4 560元.
21.(8分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等.
a.分组分解法:
例如:x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-22=(x-y-2)(x-y+2).
b.拆项法:
例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3).
(1)仿照以上方法分解因式:
①4x2+4x-y2+1;　②x2+2xy-3y2;
【解析】(1)①4x2+4x-y2+1
=4x2+4x+1-y2=(2x+1)2-y2
=(2x+1+y)(2x+1-y);
②x2+2xy-3y2
=x2+2xy+y2-4y2=(x+y)2-4y2
=(x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y);
(2)解决问题:已知a,b,c为△ABC的三边长,a2+5b2-4ab-2b+1=0,且△ABC为等腰三角形,求△ABC的周长.
【解析】(2)∵a2+5b2-4ab-2b+1=0,
∴a2-4ab+4b2+b2-2b+1=0,
∴(a-2b)2+(b-1)2=0,∴a-2b=0,b-1=0,
∴a=2,b=1,∵△ABC是等腰三角形,
∴c=2或c=1(不符合三角形三边关系,舍去),
∴△ABC的周长为2+2+1=5.
22.(12分)已知,在△ABC中,∠BAC=α,∠B=∠C,点D,E分别在BC,AC边上(D不与B,C重合),∠BAD=∠CDE.
(1)如图1,若α=40°,且AD恰好平分∠BAC,则∠ADE的度数为70°.
【解析】(1)∵∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC为等腰三角形,
∵∠BAC=α=40°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC=20°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵∠BAD=∠CDE=20°,
∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=90°-20°=70°.
(2)如图2,若α=70°,且点D是BC边上的任意一点,小亮发现∠ADE的度数为定值,
①求∠ADE的度数;
②当DC=AB时,求∠DAE的度数.
【解析】(2)①∵∠BAC=α=70°,∠B=∠C,
∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=×(180°-70°)=55°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠BAD=∠CDE,
∴∠ADE=∠B=55°;
②当DC=AB时,
∵∠B=∠C,
∴AB=AC,∴AC=DC,
∴∠DAE=∠ADC=×(180°-∠C)=×(180°-55°)=62.5°.
(3)如图3,在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,若α=100°,请直接写出当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.
【解析】(3)∵∠BAC=α=100°,
∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=×(180°-100°)=40°,
∴∠ADE=∠B=40°.
①当AD=AE时,∠ADE=∠AED=40°,
∵∠AED>∠C,
∴此时不符合题意;
②当DA=DE时,∠DAE=∠DEA=(180°-∠ADE)=×(180°-40°)=70°,
∵∠BAC=100°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°,
∴∠BDA=180°-∠BAD-∠B=180°-30°-40°=110°;
③当EA=ED时,∠ADE=∠DAE=40°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°,
∴∠BDA=180°-∠BAD-∠B=180°-60°-40°=80°.
综上所述,当∠BDA=110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
23.(13分)等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点,直角边AC交x轴于点D,斜边BC交y轴于点E.
(1)如图(1),已知点C的横坐标为-1,直接写出点A的坐标;
【解析】(1)如图,过点C作CF⊥y轴于点F,
∴∠CFA=90°,∠ACF+∠CAF=90°,
∵∠CAB=90°,∴∠CAF+∠BAO=90°,
∴∠ACF=∠BAO,
在△ACF和△BAO中,,
∴△ACF≌△BAO(AAS),
∴CF=AO=1,∴A(0,1);
(2)如图(2),当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时,连接DE,求证:∠ADB=∠CDE;
【解析】(2)如图,过点C作CG⊥AC交y轴于点G,
∵CG⊥AC,
∴∠ACG=90°,∠CAG+∠AGC=90°,
∵∠AOD=90°,∴∠ADO+∠DAO=90°,
∴∠AGC=∠ADO,
在△ACG和△BAD中,,
∴△ACG≌△BAD(AAS),∴CG=AD=CD,∠ADB=∠CGE,
∵∠ACB=45°,∠ACG=90°,∴∠DCE=∠GCE=45°,
在△DCE和△GCE中,,
∴△DCE≌△GCE(SAS),∴∠CDE=∠CGE,∴∠ADB=∠CDE;
(3)如图(3),若点A在x轴上,且A(-4,0),点B在y轴的正半轴上运动时,分别以OB,AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC,连接CD交y轴于点P,问当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否变化 若变化,请说明理由;若不变化,请求出BP的长度.
【解析】(3)BP的长度不变,BP=2.
如图,过点C作CE⊥y轴于点E.
∵∠ABC=90°,∴∠CBE+∠ABO=90°.
∵∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠CBE=∠BAO.
∵∠CEB=∠BOA=90°,AB=BC,
∴△CBE≌△BAO(AAS),
∴CE=BO,BE=AO=4.
∵BD=BO,∴CE=BD.
∵∠CEP=∠DBP=90°,∠CPE=∠DPB,
∴△CPE≌△DPB(AAS),∴BP=EP=2.

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