资源简介

浙江省杭州闻涛中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．（2024八上·杭州期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·杭州期中）下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2024八上·杭州期中）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，3 D．4，6，9
4．（2024八上·杭州期中）如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024八上·杭州期中）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°∠2＝40°
6．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（　　）
A． B．8 C． D．
7．（2024八上·杭州期中）如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　)
A． B． C． D．
8．（2024八上·杭州期中）如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（　　）
A．25 B．16 C．50 D．41
9．（2024八上·杭州期中）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
11．（2024八上·杭州期中）命题“若，则”的逆命题是　 　．
12．（2024八上·杭州期中）如图，，，则∠B=　 　°
13．（2024八上·杭州期中）如果，那么　 　（填“>”或“<”或“=”）．
14．（2024八上·杭州期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　 　．
15．（2024八上·杭州期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为　 　．
16．（2024八上·杭州期中）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则　 　．
17．（2024八上·杭州期中）解不等式（组）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
18．（2024八上·杭州期中）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，．求证：．
19．（2024八上·杭州期中）已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点、点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）的面积等于______个平方单位；
（2）画出关于直线的对称图形；
（3）在直线上找一点，使的长最短．
20．（2024八上·杭州期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
21．（2024八上·杭州期中）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）.经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元.
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
22．（2024八上·杭州期中）在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
23．（2024八上·杭州期中）（1）如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是_______，________．
（2）如图2，在中，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由的度数．
①的度数；
②线段，，之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，请直接写出的值．
24．（2024八上·杭州期中）如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接．
（1）求________，________；
（2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有，，，共4个．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的定义逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
不能组成三角形；
，不能组成三角形；
，不能组成三角形；
能组成三角形.
故答案为：D.
【分析】根据两条较小的边的和大于最大的边判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴ （ASA），故A不符合题意；
B、∵
∴ （AAS），故B不符合题意；
C、边边角不能证明两三角形全等，故C符合题意；
D、∵
∴ （SAS），故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】图形中隐含了公共边AC=AC，利用ASA可对A作出判断，利用AAS可对B作出判断；边边角不能证明两三角形全等，可对C作出判断；利用SAS可对D作出判断.
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、满足条件∠1+∠2=90°，不满足结论∠1≠∠2，故A符合题意；
B、不满足条件，故B不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故C不符合题意；
D、不满足条件，故D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项进行判断，即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，利用“SSS”可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图
由勾股定理得，
阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理解得、，再利用正方形边长相等及正方形的面积公式可求出 阴影部分的面积 .
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解仅有5个，
不等式组的整数解有、、、、，
，
，
故答案为：B．
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据题意可得到不等式组的解集；再根据不等式组的整数解仅有5个，可得到关于m的不等式组，然后解不等式组求出m的取值范围.
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
11．【答案】若，则
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵命题是：“若，则”，
∴逆命题是：若，则．
故答案为：若，则．
【分析】根据逆命题的定义，直接解答即可得到答案；
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，，
．
故答案为：.
【分析】根据三角形外角的性质解题即可．
13．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则，
即，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：
∵和分别垂直平分和，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得，利用等边对等角可推出，即可求出∠PAQ的度数.
15．【答案】70°或20°
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
分两种情况：
当△ABC是等腰锐角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠A=90°-∠ABD=40°，
∵AB=AC，
当△ABC是等腰钝角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠DAB=90°-∠ABD =40°，
∴∠BAC = 180°-∠DAB =140°，
∵AB=AC，
综上所述：底角的度数为70°或20°；
故答案为： 70°或20°.
【分析】分两种情况：当△ABC是等腰锐角三角形时； 当△ABC是等腰钝角三角形时； 然后分别进行计算即可解答.
16．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，
，
，
，
△△，
，
过点作于点，
，
，
△就是等腰三角形，
，，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
在△中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：8．
【分析】在上取一点，使，利用等边对等角可证得，再利用SAS可证得△BDC≌△CGB，利用全等三角形的性质可证得，过点作于点，可推出△就是等腰三角形，由此可得到KG的长，然后根据AK=AB-BG，可求出AK的长，再利用勾股定理分别求出CK、CE的长，即可得到BD的长.
17．【答案】（1）解：，
，
解得：
（2）解：，
，
解得：
（3）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
（4）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1即可；
（2）先去分母，两边同时乘以6，再移项、合并同类项，最后把x的系数化为1.
（3）（4）先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（1）解：，
，
解得：；
（2）解：，
，
解得：；
（3）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是；
（4）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
18．【答案】证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用已知可证得，再利用可证得结论.
19．【答案】（1）3
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：如图，连接BD，交直线l于点P，点P即为所作；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）．
故答案为：3；
【分析】（1）利用割补法求出的面积；
（2）分别作出A，B，C关于直线的对称点，然后依次连接得到三角形即可解题；
（3）根据两点间线段最短连接BD交直线l于点P，则点P即为所作．
（1）．
故答案为：3；
（2）如图，即为所作；
（3）如图，连接BD，交直线l于点P，点P即为所作；
20．【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理可证得△BCD是直角三角形，然后利用三角形的面积公式可求出四边形ABCD的面积.
21．【答案】（1）设每个气排球和每个篮球价格分别为x元，y元
则
∴
答：每个气排球和每个篮球价格分别为50元和80元.
（2）设气排球个数为m个
则
∴26≤m＜30
∵n为整数
∴m=27或28或29
则有以下3种方案：
①气排球27个、篮球23个
②气排球28个、篮球22个
③气排球29个、篮球21个
22．【答案】（1）10
（2）解：由作图可知，平分，过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用勾股定理进行计算可求出AB的长.
（2）利用尺规作图可知，平分，因此过点作于点，利用角平分线的性质可证得，再利用的面积求解即可．
（1）解：，，，
，
故答案为：10；
（2）解：由作图可知，平分，
过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得．
23．【答案】（1）；120
（2）①，理由如下：
∵都是等腰直角三角形，
，，
∵，，
，，
即，
在和中，
，
∴，
，，
；
②，理由如下：
由①可知，，，
在中，由勾股定理得：，
；
（3）同（2）得：，
，，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
即的值为68
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵和是等边三角形，，，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
，，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°.
故答案为：，120；
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得，，，，可推出，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，再根据∠DCE=∠ACB+∠ACE，代入计算可求出∠DCE的度数.
（2）①由等腰直角三角形的性质得，，，，可推出；利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，由此可求出∠DCE的度数；②由①可知，，，再由勾股定理得，即可得出结论；
（3）同（2）得，则，，再证，则，然后由勾股定理即可得出结论．
24．【答案】（1）5，
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
【分析】（1）根据可求出AB的长，利用勾股定理分别求出、的长.
（2）①分两种情况：当时，可证，利用直角三角形锐角互余及余角的性质可推出，利用等角对等边可知可得到PD的长；当时，利用ASA可证得，利用全等三角形的性质可得到CP的长，即可求出PD的长；综上所述可得到的长.
②连接，易证是等腰三角形，可得到AP的长，再求出PD的长，利用勾股定理求出BP的长.
（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为．
1 / 1浙江省杭州闻涛中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷
1．（2024八上·杭州期中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，再对各选项逐一判断即可.
2．（2024八上·杭州期中）下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有，，，共4个．
故答案为：B．
【分析】根据不等式的定义逐项判断即可。
3．（2024八上·杭州期中）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（　　）
A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，3 D．4，6，9
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
不能组成三角形；
，不能组成三角形；
，不能组成三角形；
能组成三角形.
故答案为：D.
【分析】根据两条较小的边的和大于最大的边判断即可.
4．（2024八上·杭州期中）如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴ （ASA），故A不符合题意；
B、∵
∴ （AAS），故B不符合题意；
C、边边角不能证明两三角形全等，故C符合题意；
D、∵
∴ （SAS），故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】图形中隐含了公共边AC=AC，利用ASA可对A作出判断，利用AAS可对B作出判断；边边角不能证明两三角形全等，可对C作出判断；利用SAS可对D作出判断.
5．（2024八上·杭州期中）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°∠2＝40°
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、满足条件∠1+∠2=90°，不满足结论∠1≠∠2，故A符合题意；
B、不满足条件，故B不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故C不符合题意；
D、不满足条件，故D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项进行判断，即可得出答案．
6．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（　　）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
7．（2024八上·杭州期中）如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故答案为：A．
【分析】根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，利用“SSS”可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
8．（2024八上·杭州期中）如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（　　）
A．25 B．16 C．50 D．41
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图
由勾股定理得，
阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】由勾股定理解得、，再利用正方形边长相等及正方形的面积公式可求出 阴影部分的面积 .
9．（2024八上·杭州期中）关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解仅有5个，
不等式组的整数解有、、、、，
，
，
故答案为：B．
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据题意可得到不等式组的解集；再根据不等式组的整数解仅有5个，可得到关于m的不等式组，然后解不等式组求出m的取值范围.
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（　　）
①；
②若，则；
③连结，若，则；
④若平分，则
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
点是的中垂线上，
，
点在的中垂线上，
垂直平分，
，故①正确；
若，则，
∵，
，
，
又，
，故②正确；
如图，连接，
若，则，
∵，
，
，
又，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
若平分，
，
，，
，
点是角平分线的交点，
点到三边的距离为的长，
，，，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：D．
【分析】利用“”可证，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，可对①作出判断；由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，可对②作出判断；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由，可得，可对③作出判断；由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，可对④作出判断；即可求解．
11．（2024八上·杭州期中）命题“若，则”的逆命题是　 　．
【答案】若，则
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵命题是：“若，则”，
∴逆命题是：若，则．
故答案为：若，则．
【分析】根据逆命题的定义，直接解答即可得到答案；
12．（2024八上·杭州期中）如图，，，则∠B=　 　°
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：，，，
．
故答案为：.
【分析】根据三角形外角的性质解题即可．
13．（2024八上·杭州期中）如果，那么　 　（填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则，
即，
故答案为：．
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答．
14．（2024八上·杭州期中）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图：
∵和分别垂直平分和，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可证得，利用等边对等角可推出，即可求出∠PAQ的度数.
15．（2024八上·杭州期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为　 　．
【答案】70°或20°
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：
分两种情况：
当△ABC是等腰锐角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠A=90°-∠ABD=40°，
∵AB=AC，
当△ABC是等腰钝角三角形时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=50°，
∴∠DAB=90°-∠ABD =40°，
∴∠BAC = 180°-∠DAB =140°，
∵AB=AC，
综上所述：底角的度数为70°或20°；
故答案为： 70°或20°.
【分析】分两种情况：当△ABC是等腰锐角三角形时； 当△ABC是等腰钝角三角形时； 然后分别进行计算即可解答.
16．（2024八上·杭州期中）如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在上取一点，使，
，
，
，
△△，
，
过点作于点，
，
，
△就是等腰三角形，
，，
，
，
在△中，由勾股定理可得，
在△中，由勾股定理可得，，
，
故答案为：8．
【分析】在上取一点，使，利用等边对等角可证得，再利用SAS可证得△BDC≌△CGB，利用全等三角形的性质可证得，过点作于点，可推出△就是等腰三角形，由此可得到KG的长，然后根据AK=AB-BG，可求出AK的长，再利用勾股定理分别求出CK、CE的长，即可得到BD的长.
17．（2024八上·杭州期中）解不等式（组）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：，
，
解得：
（2）解：，
，
解得：
（3）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
（4）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数化为1即可；
（2）先去分母，两边同时乘以6，再移项、合并同类项，最后把x的系数化为1.
（3）（4）先求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（1）解：，
，
解得：；
（2）解：，
，
解得：；
（3）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是；
（4）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是
18．（2024八上·杭州期中）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用已知可证得，再利用可证得结论.
19．（2024八上·杭州期中）已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点、点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）的面积等于______个平方单位；
（2）画出关于直线的对称图形；
（3）在直线上找一点，使的长最短．
【答案】（1）3
（2）解：如图，即为所作；
（3）解：如图，连接BD，交直线l于点P，点P即为所作；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（1）．
故答案为：3；
【分析】（1）利用割补法求出的面积；
（2）分别作出A，B，C关于直线的对称点，然后依次连接得到三角形即可解题；
（3）根据两点间线段最短连接BD交直线l于点P，则点P即为所作．
（1）．
故答案为：3；
（2）如图，即为所作；
（3）如图，连接BD，交直线l于点P，点P即为所作；
20．（2024八上·杭州期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理的逆定理可证得△BCD是直角三角形，然后利用三角形的面积公式可求出四边形ABCD的面积.
21．（2024八上·杭州期中）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）.经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元.
（1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？
（2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？
【答案】（1）设每个气排球和每个篮球价格分别为x元，y元
则
∴
答：每个气排球和每个篮球价格分别为50元和80元.
（2）设气排球个数为m个
则
∴26≤m＜30
∵n为整数
∴m=27或28或29
则有以下3种方案：
①气排球27个、篮球23个
②气排球28个、篮球22个
③气排球29个、篮球21个
22．（2024八上·杭州期中）在中，．回答下列问题：
（1）由勾股定理，易知______；
（2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长．
【答案】（1）10
（2）解：由作图可知，平分，过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
故答案为：10.
【分析】（1）利用勾股定理进行计算可求出AB的长.
（2）利用尺规作图可知，平分，因此过点作于点，利用角平分线的性质可证得，再利用的面积求解即可．
（1）解：，，，
，
故答案为：10；
（2）解：由作图可知，平分，
过点作于点，
，
∵，
∴，
∴，
解得．
23．（2024八上·杭州期中）（1）如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是_______，________．
（2）如图2，在中，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由的度数．
①的度数；
②线段，，之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，请直接写出的值．
【答案】（1）；120
（2）①，理由如下：
∵都是等腰直角三角形，
，，
∵，，
，，
即，
在和中，
，
∴，
，，
；
②，理由如下：
由①可知，，，
在中，由勾股定理得：，
；
（3）同（2）得：，
，，
，
∵，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
即的值为68
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵和是等边三角形，，，，，
，
即，
在和中，
，
∴，
，，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°.
故答案为：，120；
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证得，，，，可推出，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，再根据∠DCE=∠ACB+∠ACE，代入计算可求出∠DCE的度数.
（2）①由等腰直角三角形的性质得，，，，可推出；利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得，，由此可求出∠DCE的度数；②由①可知，，，再由勾股定理得，即可得出结论；
（3）同（2）得，则，，再证，则，然后由勾股定理即可得出结论．
24．（2024八上·杭州期中）如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接．
（1）求________，________；
（2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长．
【答案】（1）5，
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
【分析】（1）根据可求出AB的长，利用勾股定理分别求出、的长.
（2）①分两种情况：当时，可证，利用直角三角形锐角互余及余角的性质可推出，利用等角对等边可知可得到PD的长；当时，利用ASA可证得，利用全等三角形的性质可得到CP的长，即可求出PD的长；综上所述可得到的长.
②连接，易证是等腰三角形，可得到AP的长，再求出PD的长，利用勾股定理求出BP的长.
（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
，
，
故答案为：5，；
（2）解：①当时，则，
，
，
∵，
，
，
当时，，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②连接，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
∴，
；
综上，的长为．
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