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浙江省宁波市宁海县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·宁海期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
2．（2025八上·宁海期中）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】 【解答】解：∵一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
∴这根小木棒的长度范围是2＜第三边＜8；
A、9不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
B、7在2＜第三边＜8范围内，此选项符合题意；
C、2不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
A、1不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理“两边之差＜三角形的第三边＜两边之和”可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
3．（2025八上·宁海期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CAD的度数即可．
4．（2025八上·宁海期中）已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示的方法可得答案.
5．（2025八上·宁海期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，是斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可证得，利用等边对等角可求出∠DCA的的数，然后根据三角形的外角性质求出∠BDC的度数.
6．（2025八上·宁海期中） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
7．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
8．（2025八上·宁海期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】利用尺规作图可知，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
9．（2025八上·宁海期中）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式①得：2x＜6，
则x＜3，
由不等式②得：
x＜m+1，
而不等式的解集为x＜3，
∴m+1≥3，
解得：m≥2.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出不等式①的解集，根据已知的不等式组的解集可得关于m的不等式，解之可求解.
10．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八上·宁海期中）如果，那么　 　（用“>”或“<”填空）
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，即可求解.
12．（2025八上·宁海期中）在中，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
，，
，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形等边对等角即可得出。
13．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，点D在的延长线上，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵点D在的延长线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平角的定义可求出的度数，再利用三角形的内角和定理即可求出的度数.
14．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】过F作于G，利用作图可知平分，利用角平分线的性质可求出FG的长，利用勾股定理求出AG的长，再利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BG=BC，设，可表示出AB、AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
15．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
16．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
三、简答题
17．（2025八上·宁海期中）解下列不等式（组）
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得
（2）解：，解①，得，
解②，得，，
∴，
∴不等式级解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数系数化为1.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
解①，得，
解②，得，，
∴，
∴不等式级解集为．
18．（2025八上·宁海期中）如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画关于直线的轴对称图形（不写画法）；
（2）在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：连接，交轴于点，点即为所求，
∵点与点对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先找出点、点、点关于直线的对称点，然后画出.
（2）连接，交轴于点，点即为所求，由于，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出A'B的长.
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：连接，交轴于点，点即为所求，
∵点与点对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为．
19．（2025八上·宁海期中）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
在中，，
，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，然后根据“”可得到结论解题；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据勾股定理求出长，再根据线段的核查解题即可．
20．（2025八上·宁海期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：在中，
∵
∴
∵是角平分线，
∴
∴

（2）解：在中，
∵，
∴
∵是角平分线，
∴
∵是高，
在中，
∵
∴
∴

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，由是高，在中，根据，可得，即可求出答案.
21．（2025八上·宁海期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1）．
理由如下：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等角对等边可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，根据AB=AE+BC，代入可证得结论.
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
22．（2025八上·宁海期中）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，然后利用证明，利用全等三角形的性质可推出，利用等边对等角可证得结论.
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式可求出△AED的面积.
23．（2025八上·宁海期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
24．（2025八上·宁海期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
1 / 1浙江省宁波市宁海县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·宁海期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·宁海期中）用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
3．（2025八上·宁海期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．（2025八上·宁海期中）已知不等式x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·宁海期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·宁海期中） 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
7．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
8．（2025八上·宁海期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
9．（2025八上·宁海期中）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025八上·宁海期中）如果，那么　 　（用“>”或“<”填空）
12．（2025八上·宁海期中）在中，，则　 　．
13．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，点D在的延长线上，，则　 　．
14．（2025八上·宁海期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为　 　．
15．（2025八上·宁海期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是　 　．
16．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发　 　s时，△BCP为等腰三角形.
三、简答题
17．（2025八上·宁海期中）解下列不等式（组）
（1）
（2）
18．（2025八上·宁海期中）如图，在正方形网格上有一个，每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画关于直线的轴对称图形（不写画法）；
（2）在直线上求作一点P，使最小，并求出最小值．
19．（2025八上·宁海期中）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（2025八上·宁海期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，．
（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
21．（2025八上·宁海期中）如图，四边形中，度，E是上一点，且，
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求证：．
22．（2025八上·宁海期中）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
23．（2025八上·宁海期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24．（2025八上·宁海期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐项分析，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】 【解答】解：∵一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
∴这根小木棒的长度范围是2＜第三边＜8；
A、9不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
B、7在2＜第三边＜8范围内，此选项符合题意；
C、2不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意；
A、1不在2＜第三边＜8范围内，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理“两边之差＜三角形的第三边＜两边之和”可得第三边的范围，然后结合各选项即可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=67°，∠C=33°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故答案为：A．
【分析】利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的概念求得∠CAD的度数即可．
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：C．
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示的方法可得答案.
5．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，是斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可证得，利用等边对等角可求出∠DCA的的数，然后根据三角形的外角性质求出∠BDC的度数.
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：直尺和圆规作一个角等于已知角可得，
，
，
，
故答案为：A ．
【分析】利用尺规作图可知，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可证得结论.
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由不等式①得：2x＜6，
则x＜3，
由不等式②得：
x＜m+1，
而不等式的解集为x＜3，
∴m+1≥3，
解得：m≥2.
故答案为：B.
【分析】由题意先求出不等式①的解集，根据已知的不等式组的解集可得关于m的不等式，解之可求解.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
11．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>
【分析】利用不等式的性质：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，即可求解.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
，，
，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形等边对等角即可得出。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵点D在的延长线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平角的定义可求出的度数，再利用三角形的内角和定理即可求出的度数.
14．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】过F作于G，利用作图可知平分，利用角平分线的性质可求出FG的长，利用勾股定理求出AG的长，再利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BG=BC，设，可表示出AB、AC的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BC的长.
15．【答案】47
【知识点】勾股数；勾股树模型
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
16．【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
17．【答案】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得
（2）解：，解①，得，
解②，得，，
∴，
∴不等式级解集为
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先移项，再合并同类项，然后将x的系数系数化为1.
（2）分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
解①，得，
解②，得，，
∴，
∴不等式级解集为．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：连接，交轴于点，点即为所求，
∵点与点对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）先找出点、点、点关于直线的对称点，然后画出.
（2）连接，交轴于点，点即为所求，由于，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出A'B的长.
（1）解：如图，即为所求：
（2）解：连接，交轴于点，点即为所求，
∵点与点对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴，
∴的最小值为．
19．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
（2）解：，
，
在中，，
，
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，然后根据“”可得到结论解题；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，然后根据勾股定理求出长，再根据线段的核查解题即可．
20．【答案】（1）解：在中，
∵
∴
∵是角平分线，
∴
∴

（2）解：在中，
∵，
∴
∵是角平分线，
∴
∵是高，
在中，
∵
∴
∴

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）在中，根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线性质可得，由是高，在中，根据，可得，即可求出答案.
21．【答案】（1）．
理由如下：∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）证明：∵，∴，
∵，
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等角对等边可证得，再利用可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得，根据AB=AE+BC，代入可证得结论.
（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵，∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用已知可证得，然后利用证明，利用全等三角形的性质可推出，利用等边对等角可证得结论.
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式可求出△AED的面积.
23．【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
24．【答案】（1）90；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β
【知识点】三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
【分析】（1）利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，据此可求出∠BCE的度数.
（2）①利用已知可证得∠BAD=∠CAE，利用SAS可证得△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可推出∠B＝∠ACE，由此可得到∠B+∠ACB=β，然后利用三角形的内角和定理可求出α和β的额数量关系.
②分情况讨论：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，分别证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质可证得∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质和三角形的内角和定理可得到α和β的额数量关系.
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