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2025年下期东安天成学校高三开学考试
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1，已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) 　 B．(－∞，－2]
C．(－4，＋∞) 　 D．(－∞，－4]
2，命题“ x>0，x2－<0”的否定为(　　)
A． x>0，x2－≥0　　　 B． x≤0，x2－≥0
C． x>0，x2－≥0 　 D． x≤0，x2－≥0
3，下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－|x|　　　 B．y＝x2－2x
C．y＝sin x 　 D．y＝x－
4．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] 　 B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] 　 D．(－5，－4)
5．函数y＝x cos x－sin x在下列区间上单调递增的是(　　)
A．　　　　　 B．(π，2π)
C． 　 D．(2π，3π)
6，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A＝，则cos C＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
7，若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A．(5，8) 　 B．(5，8]
C．(5，11] 　 D．[5，11)
8，已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为(　　)
A．π 　 B．π
C．π 　 D．π
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则(　　)
A．P(7<ξ<9)＝0.8 　 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) 　 D．P(X≥1)>0.9
10，为了得到函数y＝cos 的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点(　　)
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
11，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点．下列叙述正确的是(　　)
A．若＝，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为
B．若＝λ(λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．若＝λ(λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P
D．若＝λ(λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的取值范围是
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12，若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
13，记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值的n的值为________．
14，球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．
16，如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
17，已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求：
(1)直线l的方程；
(2)△F1AB的面积．,
18，为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi－)2＝1 690.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)．
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
19，已知函数f (x)＝ln x＋sin x.
(1)求函数f (x)在区间[1，e]上的最小值；
(2)判断函数f (x)的零点个数，并证明．
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1，已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) 　 B．(－∞，－2]
C．(－4，＋∞) 　 D．(－∞，－4]
D　[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4．]
2，命题“ x>0，x2－<0”的否定为(　　)
A． x>0，x2－≥0　　　 B． x≤0，x2－≥0
C． x>0，x2－≥0 　 D． x≤0，x2－≥0
C　[命题“ x>0，x2－<0”的否定为“ x>0，x2－≥0”．故选C.]
3，下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝－|x|　　　 B．y＝x2－2x
C．y＝sin x 　 D．y＝x－
D　[当x＞0时，
y＝－|x|＝－x单调递减，A不符合题意；
y＝x2－2x不具有单调性，B不符合题意；
y＝sin x不具有单调性，C不符合题意；
y＝x－单调递增，D符合题意．
故选D.]
4．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] 　 B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] 　 D．(－5，－4)
C　[令f (x)＝x2＋mx＋4，∵当x∈(1，2)时，f (x)<0恒成立，
∴即解得m≤－5．]
5．函数y＝x cos x－sin x在下列区间上单调递增的是(　　)
A．　　　　　 B．(π，2π)
C． 　 D．(2π，3π)
B　[由y′＝－xsin x>0，且x＞0，得sin x<0，只有B选项符合，故选B.]
6，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，A＝，则cos C＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
B　[如图，AB边上的高为CD，
因为A＝，所以AD＝2c，2c＝b sin ，
所以BD＝c，b＝2c，
由勾股定理可得BC＝＝c，
由余弦定理的推论可得cos ∠ACB＝＝.故选B.]
7，若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A．(5，8) 　 B．(5，8]
C．(5，11] 　 D．[5，11)
B　[由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8].]
8，已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为(　　)
A．π 　 B．π
C．π 　 D．π
A　[在三棱锥P-ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，
而AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，因此PA⊥平面ABC，
在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos ∠ABC＝＝，
sin ∠ABC＝＝，
令△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝＝，
有OO1∥PA，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又O1A 平面ABC，即O1A⊥PA，
从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，
因此球O的半径R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋12＝，
所以球O的表面积S＝4πR2＝π.
故选A.]
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则(　　)
A．P(7<ξ<9)＝0.8 　 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) 　 D．P(X≥1)>0.9
BD　[由正态分布的对称性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；
X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；
E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确．故选BD.]
10，为了得到函数y＝cos 的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有的点(　　)
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
BC　[函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos ；
函数y＝cos x的图象将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x，
再向右平移个单位长度，得y＝cos ，即y＝cos .故选BC.]
11，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点．下列叙述正确的是(　　)
A．若＝，则异面直线BP与C1D所成角的余弦值为
B．若＝λ(λ∈[0，1])，三棱锥P-A1BC的体积为定值
C．若＝λ(λ∈[0，1])，有且仅有一个点P，使得A1C⊥平面AB1P
D．若＝λ(λ∈[0，1])，则异面直线BP和C1D所成角的取值范围是
ABD如图1，P为AD1中点，取B1D1的中点O，连接PO，BO，则PO∥C1D，所以∠BPO或其补角即为异面直线BP与C1D所成的角，易得BP＝，PO＝，BO＝，所以cos ∠BPO＝，A正确．
由条件＝λ(λ∈[0，1])，可知点P的轨迹为线段B1C1，因为B1C1∥BC，故P到平面A1BC的距离为定值，且△A1BC面积为定值，故三棱锥P-A1BC体积为定值，B正确．
由＝λ(λ∈[0，1])可知点P在线段EF上(E，F分别为BB1，CC1中点)，如图2，因为A1C⊥平面AB1D1，所以平面AB1P即为平面AB1D1，点P即为平面AB1D1与直线EF交点，此交点在FE延长线上，C错误．
由＝λ(λ∈[0，1])可知点P的轨迹为线段AD1，以A1为坐标原点建立空间直角坐标系，如图3，C1(2，2，0)，D(0，2，2)，B(2，0，2)，设P(0，a，2－a)，a∈[0，2]，得＝(－2，0，2)，＝(－2，a，－a)，所以cos 〈〉＝＝，令2－a＝x∈[0，2]，
当a＝2，即x＝0时，cos〈〉＝0，此时直线BP和C1D所成角是；
当a≠2，即x∈(0，2]时，则cos 〈〉＝，令＝t∈，cos〈〉＝，所以当＝t＝，即a＝0时，cos〈〉取得最大值，为，直线BP和C1D所成角的最小值为，D正确．故选ABD.]
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12，若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________．
　　
因为2a－3b与c的夹角为钝角，
所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0，
所以4k－6－6＜0，所以k＜3．若2a－3b与c反向共线，则＝－6，解得k＝－，此时夹角不是钝角，综上所述，k的取值范围是∪.]
13，记数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则使得Sn取得最小值的n的值为________．
16 由an＝得an＝，当n≤16时，单调递减，且<0，当n＝1时，a1<0，故当n≤16时，an<0，当n≥17时，>0，且an>0，所以当n＝16时，Sn最小．
14，球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________，体积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】因为，所以，设圆的半径为，
又，解得（负值舍去），
过点作交于点，过点作交于点，
则，，
所以，同理可得，，
将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，
其中球缺的高，圆锥的高，底面半径，
则其中一个球冠的表面积，球的表面积，
圆锥的侧面积，
所以几何体的表面积，
又其中一个球缺的体积，
圆锥的体积，球的体积，
所以几何体的体积.
故答案为：；
四，解答题：本题共5个小题，共77分。
15，已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求B；
(2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac，
又由余弦定理的推论得cos B＝＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)．
又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6，
联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0，
解得ac＝2或ac＝－1(舍去)，
所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝.
16，如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值．
[解]　(1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝，即AC1的长为.
(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，
∴＝(a＋b＋c)·(b－a)
＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c
＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.
∴⊥，∴AC1⊥BD.
(3)＝b＋c－a，＝a＋b，∴||＝，||＝＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos 〈〉＝＝.
∴AC与BD1夹角的余弦值为.
17，已知椭圆C：＝1，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆交于A，B两点，弦AB被点平分．求：
(1)直线l的方程；
(2)△F1AB的面积．,
[解]　(1)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB被点平分，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝，
所以直线l的斜率k＝＝－＝－，
故直线l的方程为x＋2y－2＝0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得x2－2x－2＝0，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－2，
所以|AB|＝＝＝5，
由椭圆的方程可得，c2＝a2－b2＝16－4＝12，
所以c＝2，所以F1(－2，0)，
所以点F1(－2，0)到直线l：x＋2y－2＝0的距离d＝＝，
所以S△F1AB＝|AB|d＝×5×＝2.
18，为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2，经计算(xi－)2＝1 690.
(1)求；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)．
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
[解]　(1)＝×(38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80)＝56.
(2)因为体质测试不合格的学生有3名，
所以X的可能取值为0，1，2，3.
因为P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(3)因为＝56，s2＝2＝×1 690＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P(30≤ξ≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.954 5，故Y～B(100，0.954 5)，
所以E(Y)＝100×0.954 5＝95.45.
19，已知函数f (x)＝ln x＋sin x.
(1)求函数f (x)在区间[1，e]上的最小值；
(2)判断函数f (x)的零点个数，并证明．
[解]　(1)f (x)＝ln x＋sin x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋cos x，
令g(x)＝f ′(x)＝＋cos x，g′(x)＝－－sin x，
当x∈[1，e]时，g′(x)＝－－sin x＜0，
所以g(x)在[1，e]上单调递减，且g(1)＝1＋cos 1＞0，
g(e)＝＋cos e＜＋cos ＝＜0，
所以由零点存在定理可知，在区间[1，e]存在唯一的a，使g(a)＝f ′(a)＝0.
又当x∈(1，a)时，g(x)＝f ′(x)＞0；当x∈(a，e)时，g(x)＝f ′(x)＜0，
所以f (x)在x∈(1，a)上单调递增，在x∈(a，e)上单调递减，又因为f (1)＝ln 1＋sin 1＝sin 1，
f (e)＝ln e＋sin e＝1＋sin e＞f (1)，
所以函数f (x)在区间[1，e]上的最小值为f (1)＝sin 1.
(2)函数f (x)有一个零点，证明如下：
因为f (x)＝ln x＋sin x，x∈(0，＋∞)，
若0＜x≤1，f ′(x)＝＋cos x＞0，
所以f (x)在区间(0，1]上单调递增，又f (1)＝sin 1＞0，f ＝－1＋sin ＜0，
结合零点存在定理可知，f (x)在区间(0，1]上有且仅有一个零点．
若1＜x≤π，则ln x＞0，sin x≥0，则f (x)＞0，
若x＞π，因为ln x＞ln π＞1≥－sin x，所以f (x)＞0，所以f (x)在区间(1，＋∞)上没有零点．
综上，函数f (x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点．

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