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南康中学高三数学训练试卷（一）
命题人、审题人
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C．2 D．1
3．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知角的终边经过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．若函数存在两个极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数，且的图象所过定点恰好在曲线上，则的最小值为（ ）
A．18 B．16 C．12 D．6
7．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量是
10．如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线
B．平面
C．直线与直线所成角是
D．在直线上存在点，使平面
11．已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称
B．4是函数的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．记三角形ABC面积为，，，则 .
13．已知函数是偶函数，则 .
14．已知直线是曲线与的公切线，则 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的成绩统计如下表.
分数段
人数 1 2 2 8 3 3 1
规定60分以下为不及格，60分及以上至70分以下为及格，70分及以上至80分以下为良好，80分及以上为优秀.
(1)从这20名学生中随机抽取2名学生，2名学生的成绩恰好都是优秀的概率是多少？
(2)将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2名学生，用X表示这2名学生中成绩为优秀的人数，求X的分布列、期望与方差.
17．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，求平面与平面的夹角．
18．已知椭圆：经过点，且离心率为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同两点、.求证：直线和的斜率之和为定值.
19．已知函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若且恒成立，求的最小值．
答案第2页，共7页
南康中学高三数学训练试卷（一）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D C B B C A BCD BD ABD
6．由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
7．因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，所以的取值范围为.
8.因为左焦点，，所以直线过点，
由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为，
则，，，
所以，设，则，解得.
又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为，
因为直线过点，设圆心到直线的距离为，则，解得，
又，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
9．对于A：，故A错误.
对于B：，因为，所以，故B正确；
对于C：，则，故C正确；
对于D：在上的投影向量是，故D正确.
故选：BCD.
10．对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误；
对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，由正方体性质知，
所以直线与直线所成角为直线与直线所成角，
因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ；
对于D，连接，，，取的中点，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确．故选：BD
11．【详解】对于A：因为是偶函数，所以，即
所以关于对称，故A正确.
对于B：因为，所以，
所以，即周期，故B正确
对于C：
所以，故C错误；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如右图所示：
所以与有4个交点，故D正确.故选： ABD
12．【详解】由题意，，所以，
所以，解得（负值舍去）.
13．1【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，故，
14．【详解】设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即
同理，设曲线上切点，，
切线斜率，切线方程，即，
所以，解得，所以，，.
故答案为：.
15．（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，
所以
.
16．（1）记2名学生的成绩恰好都是优秀为事件A，则.
（2）抽到1名成绩为优秀的学生的概率为，X的可能取值为0，1，2.
，，
.
X的分布列如下.
X 0 1 2
P
所以.
所以，
或.
17．（1）因为，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）因为为正三角形，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
又为的中点，所以，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又平面的一个法向量可取，
设平面与平面夹角为，
则，
又，所以，即平面与平面夹角为．.
18．【详解】解：（1）由椭圆经过点得，.
设半焦距为，由离心率为得，
又因为，所以，解得
故椭圆的方程为.
（2）因为直线过点且与轨迹有两个不同交点
所以直线的斜率一定存在且大于零.
于是可设直线的方程为.
代入并整理得.
设，，则，.
设直线和的斜率分别为和，则
为定值，此题得证.
19．【详解】（1）（），
当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；
当时，，；，，
从而在上递增，在递减；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，要使恒成立，
只要使恒成立，也只要使.
，
由于，，所以恒成立，
当时，，当时，，
所以，解得：，所以的最小值为.

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