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-2026年湖南省邵阳市高一年级上学数学必修一
第一单元集合与常用逻辑用语检测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共48分）
1．[6分]如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．[6分]已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．[6分]已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．[6分]设命题，函数为奇函数，则：
A．，函数为偶函数
B．，函数为偶函数
C．，函数不为奇函数
D．，函数不为奇函数
5．[6分]已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．[6分]集合，则（ ）
A． B．
C． D．
7．[6分]若集合，，且，则实数的值可以是（ ）．
A．2 B．2，
C．2，，0 D．2，，0，1
8．[6分]设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．[6分]若集合，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
10．[6分]下列命题正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．的充要条件是
C．
D．是的充分条件
11．[6分]已知U为全集,集合A,B,C,D满足:A,B,C为U的非空子集,且A∪B∪C=U, UD=C, (A∪B)(A∩B)=D．对所有满足上述条件的情形,下列说法一定错误的有 (　　)
A．C∩D≠
B．B∪C=U
C．(A∪B)∩C=
D． U(A∪B)不包含于C
三、填空题（本大题共3小题，共18分）
12．[6分]已知集合满足 ，则集合的个数为 ．
13．[6分]定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*,k≥2),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称无序子集组A1,A2,…,Ak构成集合U的一个k划分.已知集合I=,则集合I的所有划分的个数为　　　　.
14．[6分]2024年是中华人民共和国建国75周年，一家商场推出了75本针对建国每一年的纪念版挂历，上海中学的三位同学不约而同地选择收藏，由于销售过于火爆他们每个人都没有买齐完整的75本，但是购买后他们发现，任意两个人手中的挂历放到一起都能凑出一套完整的挂历，则这三位同学购买挂历的不同情况有 种．（列出算式即可）
四、解答题（本大题共5小题，共66分）
15．[12分]给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这个古董的价值从高到低依次进行重新排序为，其中为该专家给真实价值排第位古董的位次编号，记，那么与的差异量可以有效反映一个专家的水平，该差异量越小说明专家的鉴宝能力越强．
（1）当时，求的所有可能取值；
（2）当时，求满足的的个数；
（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值的差异量为，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值的差异量是否可能为？请说明理由．
（注：实数满足：，当且仅当时取“”号）
16．[12分]设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.
(1)当时，已知集合，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；
(3)已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
17．[12分]设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．
（I）若，，写出，的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
18．[14分]已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
19．[16分]已知集合 其中 由S 中的元素构成两个相应的集合： ，其中是有序实数对，集合M和N中的元素个数分别为m和n.若对于任意的，总有，则称集合S具有性质 P.
（1）检验集合与是否具有性质 P并对其中具有性质 P的集合，写出相应的集合M和N；
（2）对任意具有性质 P 的集合S，证明：
（3）判断m和n的大小关系，并证明你的结论.
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，
即.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，则，
所以．
故选A．
3．【答案】A
【详解】因为，
所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】若命题，函数为奇函数，
则为，函数不为奇函数，故D正确.
故选D
5．【答案】B
【详解】由条件可得，
所以,
故选B
6．【答案】B
【详解】由题设，且，则.
故选B
7．【答案】C
【详解】因为，所以．
当时，集合不满足集合元素的互异性；
当时，或（舍去），即，
此时，，满足；
当时，或，
当时，，，满足，
当时，，，满足．
所以或或．
故选C．
8．【答案】C
【分析】令或分类讨论即可．
【详解】因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或.
当时，集合，
，有，得，
所以；
当时，集合，，
有，又，所以，解得，不满足题意.
综上，.
故选C.
9．【答案】AC
【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解.
【详解】因为，，
所以，所以，，
因为，，
所以，所以，所以，
故选项A、C正确，B、D错误.
故选AC.
10．【答案】AD
【详解】命题“”的否定是“”，A对；
当时，但不存在，所以不是的充分条件，B错；
当时，，C错；
由可得，所以是的充分条件，D对.
故选：AD.
11．【答案】AD　
【详解】由 UD=C,知C∩D= ,故A错误;当B=U,A B时,D= (A∪B)(A∩B)= BA,C= UD= B( BA)=A,满足条件,且B∪C=U,故B不一定错误;当A∩B= 时,D= (A∪B)(A∩B)=A∪B,又C∩D= ,所以此时(A∪B)∩C= ,故C不一定错误;因为 (A∪B)(A∩B)=D,所以D (A∪B),所以 U(A∪B) UD=C(提示:若A B,则 UA UB),故D错误.故选AD.
12．【答案】3
【详解】设集合的真子集为，由题意可得，
集合的真子集个数为，集合的个数为.
故答案为：.
13．【答案】51
【详解】由≤0,解得1≤x<6,所以I={x∈N|1≤x<6}={1,2,3,4,5},共有5个元素.则2划分有+=15个, 3划分有=25个,4划分有=10个,5划分有1个,所以集合I的所有划分的个数为51.
14．【答案】
【详解】不妨设本挂历组成的集合为，位同学手中挂历组成的集合分别为,,，
则因为,所以，至少属于,,中两个集合，
即将放入,,中有种放法，这样将放入,,有种放法，
设这种放法中，，的放法组成的集合分别为，，，
下面分析这三个集合及其交集的元素个数.
时，因为，所以，至少属于,其中一个集合，即将放入,中有种放法，
所以，当时，可以为的任意子集，故有种可能，
即.
则由容斥原理得所求情况数为
.
15．【答案】（1）0，2，4
（2）12
（3）不可能，理由见详解
【详解】（1）若时，则，且，
可得，
所以的所有可能取值为0，2，4.
（2）若对调两个位置的序号之差大于2，则，
可知只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，
若调整两次两个连续序号：则有，共有3种可能；
若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：，共3组，
由（1）可知：每组均有3种可能满足，可得共有种可能；
所以的个数为.
（3）不可能，理由如下：
设专家甲的排序为，记；
专家乙的排序为，记；
由题意可得：，，
因为，
结合的任意性可得，
所以专家乙的鉴定结果与真实价值I的差异量不可能为.
16．【答案】(1)是完美子集，不是完美子集，理由见详解
(2)
(3)是，理由见详解
【详解】（1）对于集合，设，可得，
解得，所以是完美子集；
对于集合，设，可得，
解得，，（）所以不是完美子集；
（2）因为集合不是的完美子集，
所以存在，使得，
即，
由集合的互异性，可得且且，所以且，
所以，可得，，
所以，即，
所以，所以或，
当时，，解得，（），
当时，将代入方程组，得到，
因为，所以，所以，不符合题意，
综上，；
（3）若一定是的完美子集，
假设存在不全为0的实数，，满足，
不妨设，则，否则与假设矛盾，
由，可得，
所以，与，
即矛盾，所以假设不成立，
所以，所以，
所以一定是的完美子集.
【关键点拨】理解得到的方程组有什么样的解，从而根据定义得到相关结论即可.
17．【答案】（1），；（2）4；（3），或.
【详解】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；
（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，
排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；
（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.
【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，
SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.
（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；
（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，
故，所以，
设，则是的因数，
所以是的因数，且是的因数，因为，
所以，因为是的因数，所以，
因为是的因数，所以是的因数，
因为，所以，所以或，
故，或，
所以当取到最大值4时，故，或.
18．【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析
【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；
（2）可构造恰当的映射，以证明结论；
（3）第三问可通过分类讨论求解问题.
【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.
从而，，，.
（2）如果是一个“好数阵”，则，.
从而，.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数，故，从而.
这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下：
对，规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.
而
，
这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应.
对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故.
同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当.
最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或.
由于，故无论是还是，都有.
这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.
（3）若是“好数阵”，则有
，
所以，这表明一定是偶数.
若，设是“好数阵”，则，从而，
故.
由于，故，同理.
若，设，则，故，从而.
进一步有，而，故.
假设，设，则，故，则，.
由于，，故，.
此时，从而，，但此时，矛盾；
所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，；
若，则，从而.
若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，.
若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以.
对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，.
综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，，
其中，满足的有，，，.
综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，.
若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”.
19．【答案】（1）集合不具有性质 P， 具有性质 P，，.
（2）见详解
（3），见详解
【详解】（1）因为时，且，所以集合不具有性质.
因为时，，总有，
所以集合具有性质，其相应的集合和是
，.
（2）首先，由中元素构成的有序数对共有个.
因为，所以；
又因为当时，，
所以当时，.
从而，集合中元素的个数最多为，
即.
（3），证明如下：
当时，根据定义，
，，且，从而.
如果与是的不同元素，
那么与中至少有一个不成立，
从而与中也至少有一个不成立.
故与也是的不同元素.
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
当时，根据定义，，，
且，从而.
如果与是的不同元素，
那么与中至少有一个不成立，
从而与中也至少有一个不成立，
故与也是的不同元素.
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
综上可知，.
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