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-2026湖南省邵阳市高一年级上学数学必修一
第一、二单元检测试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共8小题，共48分）
1．[6分]已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．[6分]已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．[6分]设命题：，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．[6分]设，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．[6分]已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．[6分]已知a,b∈R,则“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．[6分]某市一个经济开发区的公路路线图如图所示，七个公司分布在大公路两侧，有一些小公路与大公路相连.现要在大公路上设一快递中转站，中转站到各公司（沿公路走）的距离总和越小越好，则这个中转站最好设在（ ）
A．路口 B．路口 C．路口 D．路口
8．[6分]若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分）
9．[6分]已知正数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最小值是1
C．的最小值是4 D．的最大值是
10．[6分]已知x>1,y>1,且不等式+≥3m-1恒成立,则m的值可以是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
11．[6分]已知，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题（本大题共3小题，共18分）
12．[6分]若集合中只有一个元素，则 .
13．[6分]已知集合，,,，则集合中的元素个数为____.
14．[6分]已知，且，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共66分）
15．[10分]已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最大值；
(3)若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值．
16．[10分]已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.
（I）若，，，求；
（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.
17．[14分]已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
（1）若，请直接给出和；
（2）若均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求证：．
18．[14分]若互不相交的非空集合满足：，且对任意，，则称是“集合对”.
(1)写出一个集合对；
(2)若，，证明：不存在集合对，使得，，；
(3)若数列满足，，证明：当时，不存在集合对.
19．[18分]已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.
（1）若，写出的所有子集；
（2）若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
（3）若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选A.
2．【答案】A
【详解】根据条件可得，然后可得答案.
【详解】因为，，所以
所以
故选A
3．【答案】B
【详解】本题根据题意直接写出命题的否定即可.
【详解】解：因为命题：，
所以的否定：，
故选B
4．【答案】D
【详解】当时，选项A错误；
当时，选项B错误；
当时，选项C错误；
∵函数在上单调递增，
∴当时，．
本题选择D选项.
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
5．【答案】C
【详解】，选C.
6．【答案】B
【详解】依题意可知,若a2=b2,则a=b或a=-b.当a=b时,a2+b2=2ab;当a=-b时,a2+b2≠2ab.若a2+b2=2ab,即 ,则a=b,所以a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.
7．【答案】B
【详解】观察图形知，七个公司要到中转站，先都必须沿小公路走到小公路与大公路的连接点，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距离总和为，
，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
路口为中转站时，距离总和，
显然，所以这个中转站最好设在路口.
故选B
8．【答案】C
【详解】至少存在一组使得成立，即，
又由两个正实数满足，可得
，
当且仅当，即时，等号成立，，
故有，解得，故，所以实数的取值范围是
故选C.
9．【答案】AD
【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式.
【详解】对于A：，当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B：，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C：，当且仅当时等号成立，故C错误；
对于D：因为，所以，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选AD.
10．【答案】AB　
【详解】令a=y-1,b=x-1,因为x>1,y>1,所以a>0,b>0,则y=a+1≥2(当且仅当a=1时取等号),
x=b+1≥2(当且仅当b=1时取等号),则+=+≥+≥2=8,当且仅当a=b=1时取等号,即x=y=2时取等号,因为不等式+≥3m-1恒成立,所以3m-1≤8,则m≤3.故选AB.
11．【答案】AC
【详解】若，则，当且仅当时等号成立，所以成立，故A正确；
若，则，又因为，
所以，当且仅当即时等号成立.故B错误；
若，则,
因为，
令，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
，则，
即，显然，所以，又
，所以，
若
所以，
当且仅当时等号成立，故D错误；
故选：AC
12．【答案】0或1
【详解】因集合中只有一个元素，
则当时，方程为，解得，即集合，则，
当时，由，解得，集合，则，
所以或.
13．【答案】2
【解析】①当时，若，2，4，则分别为0,,,均不能满足.
②当时，若，则满足；若，则，不满足；若,则，不满足.
③当时，若,则，不满足；若，则满足；若,则，不满足.
所以，，故集合中的元素有2个.
考向2 集合间的基本关系
14．【答案】4
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
15．【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，，
当时，即，
函数在单调递减，所以；
当时，函数在单调递增，所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小，
所以；
当时，即，函数在单调递减，在单调递增，
根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等，
所以；
综上所述：.
（3）因为函数有两个不相等的不动点，，且，，
所以，即方程有两个不相等的正实根，，
所以，解得，所以，
，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以.
故的最小值为.
16．【答案】（I），或，或；（II）不一定存在，见详解；（III）11.
【详解】（I）若，则，其中，否则，
又，，，则相差2，
所以，或，或；
（II）不一定存在，
当时，，则相差不可能1，2，3，4，5，6，
这与矛盾，故不都存在T.
（III）因为，故集合A中的元素的差的绝对值至多有10种，
当时，结论都成立；
当时，不存在，，使得A中任意两个元素差不同，所以当时，结论成立；
当时，若，则不存在T，所以的最小值为11.
17．【答案】（1），；
（2）24
（3）见详解
【详解】（1），；
（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得：，
故的最小值为24；
（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，
即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，
于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，，
满足，
故．
18．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）为符合题意的一个集合对，
因为，
因为，
则对任意，，
故上述集合对满足题意.
（2）记为时对应的不同的，
由题意得，，
易证，（若，则，
而，矛盾，故，
而，故，
同理记为时对应的不同的，
则，，
不妨，假设存在集合对使得，
，，
则，，而，故，
而，同上知，故，
而，故，
则假设不成立，则不存在集合对，
使得，，.
（3）当时，，假设存在集合对，
由抽屉原理知其中一个集合至少有3个元素，不妨记（元素个数），
若中有3个元素，记，
则且不属于，
即，，
而，
而，，故，
故假设不成立，时不存在集合对，
假设当时不存在集合对，
当时，不妨记元素个数，
由抽屉原理知元素个数，
记，（其中），
则，，
故这个元素需分给，
而元素个数，故个数，
个数，可记，个数，可记，
易得，，
同理
，
故，而，
故时，不存在集合对，
综上所述时，不存在集合对.
19．【答案】（1）；
（2）2；
（3）13.
【详解】（1）当时，，的所有子集为.
（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时；
若，设且，
根据题意，，其中；
因为，所以，所以；
又因为，所以；
因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，与矛盾.
综上所述，.
（3）设
，
设的元素个数为，
若不是的子集，
则最多能包含中的一个元素以及中的元素；
令，易验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集，
所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则；
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
所以是的子集；
所以，的最小值为.
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