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专题课:单摆的应用
例1　C　[解析] 由甲地到乙地,摆动加快,说明周期变小,因T=2π,则重力加速度变大,要使周期不变,应增加摆长,即将螺母适当向下移动,故C正确.
例2　D　[解析] 根据周期公式T=2π知,两单摆的周期相同,与质量无关,所以相撞后两球分别经过T后回到各自的平衡位置,下一次一定是在平衡位置相遇,所以不管A、B的质量如何,下一次碰撞都在平衡位置,故A、B、C错误,D正确.
例3　D　[解析] 根据周期公式T=2π,可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关,与摆长和重力加速度有关.题图甲中沿斜面的加速度为a1=gsin θ,所以周期T1=2π,题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向,回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,故摆球的等效重力加速度为a2=g,所以周期T2=2π,题图丙中的周期T3=2π,题图丁中的等效重力加速度为a4=g+a,所以周期T4=2π,故T1>T2=T3>T4,故A、B、C错误,D正确.
例4　C　[解析] 小球的运动可视为单摆模型,由单摆的周期公式T=2π可知,其周期取决于摆长和g,与质量和振幅无关.因此想要减小小球运动的周期,可以减小摆长l,即换一个半径R小一点的弧形槽,故A、B、D错误,C正确.
例5　D　[解析] 小球摆动的等效摆长为DE,而AB==h,AC=hcot 37°=h,AD=ABcos 37°=h,如图所示,AF=ADcos 74°=h,EF=AFtan 37°=h,DF=ADsin 74°=h,DE=DF-EF=h.故周期T=2π,故选项D正确.
例6　3　3
[解析] 全振动次数n=×(21-1)=10,所以周期T==3 s.由于周期T=+=×,解得h=3 m.
随堂巩固
1.B　[解析] 摆钟从山脚移至山顶,在其他条件不变的情况下,等效重力加速度减小,根据T=2π可知,周期增大,相同时间内,摆钟振动次数减少,该摆钟示数与标准时间相比变慢,故B正确.
2.A　[解析] 由题意可知摆长为L,等效的重力加速度g'=gsin θ,根据单摆周期公式可得T=2π,故A正确.
3.C　[解析] 摆球从M到P的时间为=4t0,从P到N的时间为=2t0,而T1=2π,T2=2π,联立解得x=,选项C正确.
4.A　[解析] 谷爱凌从山坡上B处由静止开始自由下滑至最低点A,可以看成单摆模型,由单摆的周期公式T=2π,又由题意可知,摆长L=r,从B处运动到最低点A的时间为单摆的周期的,则×2π=30 s,解得r=3600 m,故A正确.专题课:单摆的应用
1.D　[解析] 用一个装满沙的轻漏斗做成单摆,在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出,摆长先变大后变小,由T=2π可知,周期也先变大后变小,选项A错误;单摆周期与振幅无关,选项B错误;将摆由高山移到地面上,重力加速度变大,则周期变小,选项C错误;将摆由北极移到赤道,重力加速度变小,则周期变大,选项D正确.
2.CD　[解析] 为了使摆钟摆动时计时准确,摆锤摆动的摆角不能大于5°,可知摆锤摆动的振幅不能太大,故A错误;缩短它的摆长,则周期变小,摆钟走得更快,故B错误;若把摆钟置于正在运行的“天宫”空间站,因为处于完全失重状态,摆锤不会正常摆动,故C正确;在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时,因为赤道重力加速度小,则周期长,所以赤道的摆钟走得慢些,故D正确.
3.C　[解析] 由题意知T甲=2π,单摆乙处在加速下降的电梯中,有T乙=2π,单摆丙处在电场中,等效重力加速度g'=,所以T丙=2π,综上所述有T乙>T甲>T丙, 故选C.
4.C　[解析] 小球运动的周期T=2π,周期由凹镜曲率半径决定,与质量、振幅无关,选项C正确.
5.B　[解析] 由机械能守恒定律可知,小球在运动的过程中在左、右两侧上升的最大高度一样,在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长不相等,且l(1-cos α)=,故B正确,C、D错误;小球在平衡位置左侧来回的时间为t1=T1=π,在右侧来回的时间为t2=T2=π=,在故小球摆动的周期为T=t1+t2=π,无钉子时的周期T0=2π,故A错误.
6.B　[解析] 小球先后从曲面的A和B到O的时间均为,与振幅无关,即t1=t2;由机械能守恒定律得mgh=mv2,h越大,则到最低点的速度越大,选项B正确.
7.A　[解析] A做自由落体运动,下落到C所用的时间tA=,其中R为圆弧轨道的半径;因为圆弧轨道的半径R很大,B球离最低点C又很近,所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆),则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的,即tB==,因为tB>tA,所以A球先到达C点.
8.B　[解析] 在斜面上单摆的等效重力加速度为g'==gsin θ,单摆在光滑斜面上做简谐运动的周期T=2π,若要使其做简谐运动的周期变大,可以让摆长变大或斜面倾角变小,故A、C、D错误,B正确.
9.C　[解析] 据题意,两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于5°,把两球在圆弧上的运动看作等效单摆,等效摆长等于圆弧的半径,则A、B两球的运动周期分别为TA=2π,TB=2π,两球第一次到达O点的时间分别为tA=TA=,tB=TB=,由于R110.A　[解析] 让小球在纸面内振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为l,周期T=2π;让小球垂直于纸面振动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为,周期T'=2π,A正确,B、C、D错误.
11.D　[解析] 由图像可知,单摆在钉子右边振动的周期为T1=8 s;在钉子左边振动的周期为T2=4 s;根据T=2π,可得T1=2π,T2=2π,解得l=L,故D正确.
12.(1)gt　(2)
[解析] (1)小球乙上抛再落回C点的时间为t=
解得v0=gt
(2)设小球甲做简谐运动的周期为T,则T=2π
又2T=t
解得R=专题课:单摆的应用
学习任务一　单摆周期公式的应用
[科学思维]
(1)单摆模型周期公式的成立条件:①圆弧运动;②小角度摆动;③回复力F=-kx.
(2)应用单摆模型周期公式的步骤:首先确认符合单摆模型的条件,然后寻找等效摆长l及等效重力加速度g,最后利用公式T=2π 或简谐运动规律分析、解答.
例1 [2024·山东临淄中学高二期中] 惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟.如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟,图乙为摆的结构示意图,圆盘固定在摆杆上,螺母可以沿摆杆上下移动.在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了,下列说法正确的是 (　)
A.甲地的重力加速度较大,若要调准,可将螺母适当向下移动
B.甲地的重力加速度较大,若要调准,可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大,若要调准,可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大,若要调准,可将螺母适当向上移动
[反思感悟] 　

例2 [2025·山东泰山国际学校高二月考] 如图所示,两单摆摆长相同,静止时两球刚好接触.将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放,碰撞中动能有损失,碰后两球分开,分别做简谐运动.用mA、mB分别表示A、B两球的质量.下列说法中正确的是 (　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.若mA>mB,则下一次碰撞一定发生在平衡位置右侧
B.若mAC.只要两摆球的质量不相同,下一次碰撞就不可能发生在平衡位置
D.无论两摆球的质量之比是多少,下一次碰撞一定发生在平衡位置
[反思感悟] 　


学习任务二　单摆模型的变形拓展
[模型建构]
模型 图示 摆长l 等效重力加 速度g效 周期 T
双线摆 不变, lsin α 不变,g T= 2π
圆弧摆 不变, R-r 不变,g T= 2π
斜面摆 不变, l 不变,gsin α T= 2π
折线摆 不变, R-r 不变,g T= π+ π
例3 [2025·山东济宁一中高二月考] 如图所示,几个摆长相同的单摆,它们在不同条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4,关于周期大小关系的判断,正确的是 (　)
A.T1>T2>T3>T4　　　
B.T1C.T1D.T1>T2=T3>T4
[反思感悟] 　

例4 如图所示,BOC是半径为R的光滑弧形槽,O点是弧形槽的最低点.半径R远大于BOC弧长.一小球从B点由静止开始释放,小球在槽内做周期性运动.欲使小球运动的周期减小,可采用的方法是　　 (　)
A.让小球释放处更靠近O点
B.让小球释放时有个初速度
C.换一个半径R小一些的弧形槽
D.换一个半径R大一些的弧形槽
[反思感悟] 　

例5 如图所示,两段不可伸长的细绳的一端分别系于两竖直杆上的A、B两点,另一端与质量为m的小球D相连.已知A、B两点高度相差h,∠CAB=∠BAD=37°,∠ADB=90°,重力加速度为g.现使小球发生垂直纸面方向的微小摆动,则小球摆动的周期为 (　)
A.π
B.
C.π
D.2π
[反思感悟] 　

例6 [2024·西安交大附中高二期中] 正在修建的房顶上固定一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下,某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度.他先将线的下端系上一个小球,发现当小球静止时,细线恰好与窗上沿接触且保持竖直,他打开窗,让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动,如图所示,从小球第1次通过图中的B点开始计时,第21次通过B点用时30 s;球在最低点B时,球心到窗上沿的距离为1 m,当地重力加速度g取π2 m/s2.根据以上数据可知,小球运动的周期T=　　　　s,房顶到窗上沿的高度h=　　　　m.
[反思感悟] 　

【要点总结】
对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆动物体重心的长度.图甲中,摆球半径为r,a、b两摆在垂直于纸面方向摆起来效果是相同的,所以a摆的摆长为lsin α+r;图乙中,b摆在垂直于纸面方向摆动时,与a摆等效,b摆在纸面内小角度摆动时,与c摆等效;图丙中,摆球半径为r,等效单摆的摆长为R-r.
1.(单摆周期公式的应用)[2024·重庆南开中学月考] 一顾客在位于某山脚的商家购买计时准确的摆钟(利用钟摆的周期性摆动计时),将该摆钟运回位于山顶的家中后,在其他条件不变的情况下,一段时间后,该摆钟示数与标准时间相比 (　)
A.变快
B.变慢
C.不变
D.条件不足,无法判断
2.(单摆模型的变形拓展)[2025·江苏金陵中学高二月考] 如图甲,双线摆也是一种单摆,它的优点是可以把摆球的运动轨迹约束在一个确定的平面上.现把双线摆的其中一根悬线,换成一根很轻的硬杆,组成一个“杆线摆”,如图乙所示.杆线摆可以绕着悬挂轴OO'来回摆动,杆与悬挂轴OO'垂直,其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内,图乙中α、θ、L均为已知,重力加速度为g,则在摆角很小时“杆线摆”的周期为 (　)
A.2π　　　　
B.2π
C.2π
D.2π
3.(单摆模型的变形拓展)[2024·四川天府中学高二期中] 有一摆长为L的单摆,悬点正下方某处有一小钉,当摆球经过平衡位置向左摆动时,摆线的上部将被小钉挡住,使摆长发生变化.现使摆球做小幅度摆动,摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片如图所示(悬点和小钉未被摄入),P为摆动中的最低点.已知每相邻两次闪光的时间间隔相等.由此可知,小钉与悬点的距离为 (　)
A.
B.
C.
D.无法确定
4.(单摆模型的变形拓展)[2024·山东济宁期末] 如图所示,在一次滑雪训练中,滑雪名将谷爱凌从山坡上B处由静止开始自由下滑至最低点A,用时30 s,坡面AB可视为圆心角小于5°的圆弧. 已知重力加速度大小g取10 m/s2,π2≈10,不计一切阻力.可估算出圆弧AB的半径约为 (　)
A.3600 m B.2250 m
C.900 m D.225 m　　　　　　　　　　　　　　　　　　
◆ 知识点一　单摆周期公式的应用
1.下列情况下,单摆的周期会变大的是 (　)
A.用一个装满沙的轻漏斗做成单摆,在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出
B.单摆振幅减为原来的一半
C.将摆由高山移到地面上
D.将摆由北极移到赤道
2.(多选)[2024·湖南汉寿一中月考] 摆钟正常工作时其摆锤的运动可看作简谐运动,摆锤每摆动半个周期,表盘上的分针就会向前微小跃动一次,分针每次向前跃动的距离不变.以下说法正确的是 (　)
A.摆锤摆动的振幅越大,摆钟计时越准
B.要使摆钟走得慢些,可通过缩短它的摆长来实现
C.若把摆钟置于正在运行的“天宫”空间站,其摆锤不会正常摆动
D.在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时,在赤道的摆钟走得慢些
3.[2024·山东泰安二中高二月考] 如图所示,甲、乙、丙三个单摆的摆长均为l,三个小球质量均为m,单摆甲放在空气中,周期为T甲;单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中,周期为T乙;单摆丙带正电,放在电场强度为E的匀强电场中,周期为T丙,则 (　)
A.T甲>T乙>T丙 B.T甲=T丙>T乙
C.T乙>T甲>T丙 D.T乙>T甲=T丙
◆ 知识点二　单摆模型的变形拓展
4.有一个打磨得很精细的小凹镜,其曲率很小可视为面.将镜面水平放置,如图所示.一个小球从镜边缘开始释放,小球在镜面上将会往复运动,忽略小球的半径.以下说法中正确的是 (　)
A.小球质量越大,往复运动的周期越长
B.释放点离最低点距离越大,周期越短
C.凹镜曲率半径越大,周期越长
D.周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离以及曲率半径共同决定
5.细长轻绳下端拴一小球构成单摆,在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子A,如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度,然后无初速度地释放,对于以后的运动,下列说法中正确的是 (　)
A.摆球往返运动一次的周期和无钉子时的单摆周期相同
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C.摆球在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长相等
D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
6.[2024·云南宣威六中高二月考] 如图所示,曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面,圆弧与水平面相切于O点,AO弧长为10 cm.现将小球先后从曲面的顶端A和AO的中点B由静止释放,到达底端O的速度分别为v1和v2,经历的时间分别为t 1和t2,则 (　)
A.v1>v2,t 1>t2 B.v1>v2,t 1=t2
C.v1=v2,t 1=t2 D.v1>v2,t 17.如图所示,MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球A放在MN的圆心处,再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的位置.现将两球同时由静止释放,不计空气阻力,小球半径可不计,则　　 (　)
A.A球先到达C点
B.B球先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪一个球先到达C点
8.[2025·江苏南通高二期末] 如图所示,单摆在光滑斜面上做简谐运动,若要使其做简谐运动的周期变大,可以 (　)
A.使斜面倾角变大
B.使单摆摆长变长
C.使摆球质量变大
D.使单摆振幅变大
9.[2025·上海奉贤中学高二月考] 如图所示,两段光滑圆弧轨道半径分别为R1和R2,圆心分别为O1和O2,在最低点O平滑连接.M点和N点分别位于O点左、右两侧,M、O的距离小于N、O的距离,所对应的圆心角均小于5°.现分别将位于M点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放.关于两小球第一次相遇点的位置,下列判断正确的是 (　)
A.恰好在O点
B.一定在O点的左侧
C.一定在O点的右侧
D.条件不足,无法确定
10.如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使△AOB成直角三角形,∠BAO=30°,已知OC线长也是l,下端C点系着一个小球.下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动,重力加速度为g) (　)
A.让小球在纸面内振动,周期T=2π
B.让小球垂直于纸面振动,周期T=2π
C.让小球在纸面内振动,周期T=2π
D.让小球垂直于纸面振动,周期T=2π
11.如图所示,摆长为L的单摆上端固定在天花板上的O点,在O点正下方相距l处的P点有一固定的细铁钉.将小球向右拉开一个约2°的小角度后由静止释放,使小球来回摆动.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x,规定向右为正方向,则小球在开始的一个周期内的x t关系图线如图所示.以下关于l与L的关系正确的是 (　)
A.l=L B.l=L
C.l=L D.l=L
12.(11分)如图所示,半径很大的光滑球面固定在水平桌面上,小球甲从球面上的A点由静止释放,在球面上A、B之间来回运动,已知远小于球面的半径,当甲从A点释放时,同时在球面上的最低点C以某一初速度竖直上抛小球乙,经过时间t小球乙恰好第一次下落至C点且与甲球相碰,此时小球甲第5次通过C点.已知重力加速度为g,不计空气阻力,两小球均可视为质点.求:
(1)(5分)小球乙的初速度v0;
(2)(6分)光滑球面的半径R.(保留π)
第4节　科学测量:用单摆测量重力加速度 (时间:40分钟　总分:42分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(共63张PPT)
专题课:单摆的应用
学习任务一 单摆周期公式的应用
学习任务二 单摆模型的变形拓展
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
练习册
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 单摆周期公式的应用
［科学思维］
(1)单摆模型周期公式的成立条件:①圆弧运动；②小角度摆动；③回复力 .
(2)应用单摆模型周期公式的步骤：首先确认符合单摆模型的条件,然后寻找等效
摆长及等效重力加速度,最后利用公式 或简谐运动规律分析、解答.
例1 ［2024·山东临淄中学高二期中］惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座
摆钟.如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙为摆的结构示意图，
圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动.在甲地走时准确的摆钟移到乙地
未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是( )
A.甲地的重力加速度较大，若要调准，可将螺母适当向下移动
B.甲地的重力加速度较大，若要调准，可将螺母适当向上移动
C.乙地的重力加速度较大，若要调准，可将螺母适当向下移动
D.乙地的重力加速度较大，若要调准，可将螺母适当向上移动
√
[解析] 由甲地到乙地，摆动加快，说明周期变小，因 ，则重力加速度
变大，要使周期不变，应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确.
例2 ［2025·山东泰山国际学校高二月考］如图所示，两单摆摆长相同，静止时
两球刚好接触.将摆球 在两摆线所在平面内向左拉开一个小角度后释放，碰撞
中动能有损失，碰后两球分开，分别做简谐运动.用、分别表示、 两球
的质量.下列说法中正确的是( )
A.若 ，则下一次碰撞一定发生在平衡位置右侧
B.若 ，则下一次碰撞一定发生在平衡位置左侧
C.只要两摆球的质量不相同，下一次碰撞就不可能发生在平衡位置
D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞一定发生在平衡位置
√
[解析] 根据周期公式 知，两单摆的周期相同，与质量无关，所以相撞
后两球分别经过 后回到各自的平衡位置，下一次一定是在平衡位置相遇，所
以不管、 的质量如何，下一次碰撞都在平衡位置，故A、B、C错误，D正确.
学习任务二 单摆模型的变形拓展
［模型建构］
模型 图示
双线 摆 _________________________________________________
模型 图示
圆弧 摆 ________________________________________________
续表
模型 图示
斜面 摆 __________________________________________________
续表
模型 图示
折线 摆 __________________________________________
续表
例3 ［2025·山东济宁一中高二月考］如图所示,几个摆长相同的单摆,它们在不
同条件下的周期分别为、、、 ,关于周期大小关系的判断,正确的是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据周期公式 ,可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关,与摆长
和重力加速度有关.题图甲中沿斜面的加速度为 ,所以周期
,题图乙中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向,回复力由重力沿圆
弧切线方向的分力提供, 故摆球的等效重力加速度为,所以周期 ,
题图丙中的周期,题图丁中的等效重力加速度为,所以周期
,故 ,故A、B、C错误,D正确.
例4 如图所示，是半径为的光滑弧形槽， 点是弧形槽的最
低点.半径远大于弧长.一小球从 点由静止开始释放，小球在
A.让小球释放处更靠近 点 B.让小球释放时有个初速度
C.换一个半径小一些的弧形槽 D.换一个半径 大一些的弧形槽
[解析] 小球的运动可视为单摆模型，由单摆的周期公式 可知，其周期
取决于摆长和 ，与质量和振幅无关.因此想要减小小球运动的周期，可以减小
摆长，即换一个半径 小一点的弧形槽，故A、B、D错误，C正确.
槽内做周期性运动.欲使小球运动的周期减小，可采用的方法是 ( )
√
例5 如图所示，两段不可伸长的细绳的一端分别系于两竖直
杆上的、两点，另一端与质量为的小球相连.已知 、
两点高度相差， ， ，
重力加速度为 .现使小球发生垂直纸面方向的微小摆动，则
小球摆动的周期为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 小球摆动的等效摆长为，而， ，
，如图所示， ，
，， .故周期
，故选项D正确.
例6 ［2024·西安交大附中高二期中］正在修建的房顶上固定一根不可伸长的细
线垂到三楼窗沿下,某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度.他先将线的
下端系上一个小球,发现当小球静止时,细线恰好与窗上沿接触且保持竖直,他打
开窗,让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动,如图所示,从小球第1次通过图中的
3
3
点开始计时,第21次通过点用时;球在最低点 时,球心到窗上沿
的距离为, 当地重力加速度取 .根据以上数据可知,小球
运动的周期___,房顶到窗上沿的高度___ .
[解析] 全振动次数,所以周期 .由于周期
,解得 .
【要点总结】
对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆动物体重
心的长度.图甲中,摆球半径为,、 两摆在垂直于纸面方向摆起来效果是相同的,
所以摆的摆长为；图乙中,摆在垂直于纸面方向摆动时,与 摆等效，
摆在纸面内小角度摆动时,与摆等效；图丙中,摆球半径为 ,等效单摆的摆长为
.
1.如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据周期公式 知，单摆的周期与振动幅度和摆球质量无关，只
与摆长和重力加速度有关，甲图中沿斜面的加速度 ，所以周期
;乙图中加速度，所以周期 ；丙图中的周期
；丁图中的加速度为，所以周期 ，选项
C正确.
2.(多选)如图为一有效摆长为的单摆，现将质量为的摆球 向左拉高一个很小的
角度，使得球升高了，然后由静止释放.球摆至平衡位置时，恰与静止在
处，质量为的球发生正碰，碰后继续向右摆动，球以速度 沿光滑水平
面向右运动，与距离为的墙壁碰撞后以原速率返回，当球重新回到位置 时，
球恰好碰后第一次回到点，重力加速度为 .则下列说法正确的是 ( )
A.单摆的周期为
B.当地的重力加速度为
C.球释放到达经历的时间，大于 球碰后再次到达最高点的时
间
D.球碰后的速度大小为
√
√
[解析] 球来回运动的时间，单摆的周期为 ，故A正确；单摆
的周期为，联立解得重力加速度为 ，故B错误；单摆的
周期为，碰撞前后周期不变，故 球释放到
达经历的时间等于 球碰后再次到达最高点的时间，
故C错误；根据动能定理有 ，碰撞后有
，解得 ，故D正确.
3.如图所示,在两根等长的细线下悬挂一个小球组成了双线摆,已
知摆线长为,两线与天花板的夹角均为 ,小球半径可不计,重力
加速度为 .当小球垂直于纸面做简谐运动时,周期为( )
A. B. C. D.
[解析] 这是一个变形的单摆,可以用单摆的周期公式 计算周期,因为小
球半径不计,该单摆的等效摆长为 ,所以 ,选项D正确.
√
4.［2024·晋江一中月考］用长为 的细线把一个小球悬挂在
倾角为 的光滑斜面上，然后将小球偏离自然悬挂的位置
拉到点，偏角 ，如图所示，重力加速度为 .当小
A. B. C. D.
[解析] 小球在斜面所在的平面内做小摆角振动时，重力在斜面上的分力可看作
等效重力，所以 相当于，对照，有 ，选项C正
确，A、B、D错误.
球从 点无初速度释放后，小球在斜面上往返振动的周期为( )
√
5.［2024·永定一中月考］如图所示，为光滑弧形槽，弧形槽半径为， 为
弧形槽最低点，，甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从 点由静止
释放.(空气阻力不计)
(1) 求甲、乙两球第1次到达 点的时间之比；
[答案]
[解析] 甲球做自由落体运动，由，所以 ；乙球沿圆弧做简
谐运动(由于，可认为摆角 )，此运动与一个摆长为的单摆运动
模型相同，故此等效摆长为 ，因此乙球第1次到达处的时间为
，所以
5.［2024·永定一中月考］如图所示，为光滑弧形槽，弧形槽半径为， 为
弧形槽最低点，，甲球从弧形槽的圆心处自由下落，乙球从 点由静止
释放.(空气阻力不计)
(2) 若在弧形槽的最低点的正上方 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同
时将乙球从由静止释放，欲使甲、乙两球在弧形槽最低点处相遇，则 是多少？
[答案]
[解析] 甲球从离弧形槽最低点高处自由下落，到达点的时间为 ，由
于乙球运动存在周期性，所以乙球到达 点的时间为
；由于甲、乙在 点相遇，故
，联立解得
1.(单摆周期公式的应用)［2024·重庆南开中学月考］ 一顾客在位于某山脚的商
家购买计时准确的摆钟(利用钟摆的周期性摆动计时)，将该摆钟运回位于山顶
的家中后，在其他条件不变的情况下，一段时间后，该摆钟示数与标准时间相
比( )
A.变快 B.变慢
C.不变 D.条件不足，无法判断
[解析] 摆钟从山脚移至山顶，在其他条件不变的情况下，等效重力加速度减小，
根据 可知，周期增大，相同时间内，摆钟振动次数减少，该摆钟示数
与标准时间相比变慢，故B正确.
√
2.(单摆模型的变形拓展)［2025·江苏金陵中学高二月考］ 如图甲，双线摆也是
一种单摆,它的优点是可以把摆球的运动轨迹约束在一个确定的平面上.现把双线
摆的其中一根悬线,换成一根很轻的硬杆,组成一个“杆线摆”,如图乙所示.杆线摆
可以绕着悬挂轴来回摆动,杆与悬挂轴 垂直,其摆球的运动轨迹被约束在
一个倾斜的平面内,图乙中 、 、均为已知,重力加速度为 ,则在摆角很小时
“杆线摆”的周期为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知摆长为,等效的重力加速度 ,根据单摆周期公式
可得 ,故A正确.
3.(单摆模型的变形拓展)［2024·四川天府中学高二期中］ 有
一摆长为 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平
衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生
A. B. C. D.无法确定
[解析] 摆球从到的时间为，从到的时间为 ，而
，，联立解得 ，选项C正确.
变化.现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点至左边最高点 运动过程的
闪光照片如图所示(悬点和小钉未被摄入)， 为摆动中的最低点.已知每相邻两次
闪光的时间间隔相等.由此可知，小钉与悬点的距离为( )
√
4.(单摆模型的变形拓展)［2024·山东济宁期末］ 如图所示，在一次滑雪训练中，
滑雪名将谷爱凌从山坡上处由静止开始自由下滑至最低点，用时 ，坡面
可视为圆心角小于 的圆弧.已知重力加速度大小取， ，
不计一切阻力.可估算出圆弧 的半径约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 谷爱凌从山坡上处由静止开始自由下滑至最低点 ，可以看成单摆模型，
由单摆的周期公式，又由题意可知，摆长，从 处运动到最低点
的时间为单摆的周期的，则 ，解得
，故A正确.
练习册
(时间：40分钟 总分：57分)
(单选题每小题4分，多选题每小题6分)
知识点一 单摆周期公式的应用
1.下列情况下，单摆的周期会变大的是( )
A.用一个装满沙的轻漏斗做成单摆，在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出
B.单摆振幅减为原来的一半
C.将摆由高山移到地面上
D.将摆由北极移到赤道
√
[解析] 用一个装满沙的轻漏斗做成单摆，在摆动时沙从漏斗中慢慢漏出，摆长
先变大后变小，由 可知，周期也先变大后变小，选项A错误；单摆周
期与振幅无关，选项B错误；将摆由高山移到地面上，重力加速度变大，则周
期变小，选项C错误；将摆由北极移到赤道，重力加速度变小，则周期变大，
选项D正确.
2.(多选)［2024·湖南汉寿一中月考］ 摆钟正常工作时其摆锤的运动可看作简谐
运动，摆锤每摆动半个周期，表盘上的分针就会向前微小跃动一次，分针每次
向前跃动的距离不变.以下说法正确的是( )
A.摆锤摆动的振幅越大，摆钟计时越准
B.要使摆钟走得慢些，可通过缩短它的摆长来实现
C.若把摆钟置于正在运行的“天宫”空间站，其摆锤不会正常摆动
D.在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时，在赤道的摆钟走得慢些
√
√
[解析] 为了使摆钟摆动时计时准确，摆锤摆动的摆角不能大于 ，可知摆锤摆
动的振幅不能太大，故A错误；缩短它的摆长，则周期变小，摆钟走得更快，
故B错误；若把摆钟置于正在运行的“天宫”空间站，因为处于完全失重状态，摆
锤不会正常摆动，故C正确；在南极和赤道分别用完全相同的摆钟计时，因为
赤道重力加速度小，则周期长，所以赤道的摆钟走得慢些，故D正确.
3.［2024·山东泰安二中高二月考］如图所示,甲、乙、丙三个单摆的摆长均为 ,
三个小球质量均为,单摆甲放在空气中,周期为;单摆乙放在以加速度 向下加
速运动的电梯中,周期为;单摆丙带正电,放在电场强度为 的匀强电场中,周期
为 ,则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意知,单摆乙处在加速下降的电梯中,有 ,单
摆丙处在电场中,等效重力加速度,所以 ,综上所述有
,故选C.
知识点二 单摆模型的变形拓展
4.有一个打磨得很精细的小凹镜，其曲率很小可视为面.将镜面水平放置，
如图所示.一个小球从镜边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，忽略小球
的半径.以下说法中正确的是( )
A.小球质量越大，往复运动的周期越长
B.释放点离最低点距离越大，周期越短
C.凹镜曲率半径越大，周期越长
D.周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离以及曲
率半径共同决定
√
[解析] 小球运动的周期 ，周期由凹镜曲率半径决定，与质量、振幅无
关，选项C正确.
5.细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方 摆长处有一个能挡住摆线
的钉子 ，如图所示.现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，
对于以后的运动，下列说法中正确的是( )
A.摆球往返运动一次的周期和无钉子时的单摆周期相同
B.摆球在左、右两侧上升的最大高度一样
C.摆球在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长相等
D.摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
√
[解析] 由机械能守恒定律可知，小球在运动的过程中在左、右两侧上升的最大
高度一样，在平衡位置左、右两侧走过的最大弧长不相等，且
，故B正确，C、D错误;小球在平衡位置左侧来回的
时间为，在右侧来回的时间为 ，
在故小球摆动的周期为 ，无钉子时的周期
，故A错误.
6.［2024·云南宣威六中高二月考］如图所示，曲面 是一段
半径为的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于点， 弧长
为.现将小球先后从曲面的顶端和的中点 由静止释
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 小球先后从曲面的和到的时间均为，与振幅无关，即 ；由机
械能守恒定律得， 越大，则到最低点的速度越大，选项B正确.
放，到达底端的速度分别为和，经历的时间分别为和 ，则( )
√
7.如图所示,为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球放在 的圆心处,
再把另一小球放在上离最低点 很近的位置.现将两球同时由静止释放,不计
空气阻力,小球半径可不计,则 ( )
A.球先到达点 B.球先到达 点
C.两球同时到达点 D.无法确定哪一个球先到达 点
√
[解析] 做自由落体运动,下落到所用的时间,其中 为圆弧轨道的半径；
因为圆弧轨道的半径很大,球离最低点又很近,所以 球在轨道给它的支持力
和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为的单摆),则运动到最低点 所
用的时间是单摆振动周期的,即，因为,所以球先到达 点.
8.［2025·江苏南通高二期末］如图所示，单摆在光滑斜面上做简谐运动，若要
使其做简谐运动的周期变大，可以( )
A.使斜面倾角变大 B.使单摆摆长变长
C.使摆球质量变大 D.使单摆振幅变大
[解析] 在斜面上单摆的等效重力加速度为 ，单摆在光滑
斜面上做简谐运动的周期 ，若要使其做简谐运动的周期变大，可
以让摆长变大或斜面倾角变小，故A、C、D错误，B正确.
√
9.［2025·上海奉贤中学高二月考］如图所示，两段光滑圆弧轨
道半径分别为和，圆心分别为和，在最低点 平滑连
接.点和点分别位于点左、右两侧，、的距离小于 、
的距离，所对应的圆心角均小于 .现分别将位于点和 点
的两个小球和 (均可视为质点)同时由静止释放.关于两小球第
一次相遇点的位置，下列判断正确的是( )
A.恰好在点 B.一定在 点的左侧
C.一定在 点的右侧 D.条件不足，无法确定
√
[解析] 据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于 ，把两球在圆弧上的运
动看作等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则、 两球的运动周期分别为
，，两球第一次到达 点的时间分别为
，，由于，则 ，
故两小球第一次相遇点的位置一定在 点的右侧，选项C正确.
10.如图所示，三根细线在点处打结，、端固定在同一水平面上相距为 的两
点上，使成直角三角形， ，已知线长也是，下端 点系
着一个小球.下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为 )( )
A.让小球在纸面内振动，周期
B.让小球垂直于纸面振动，周期
C.让小球在纸面内振动，周期
D.让小球垂直于纸面振动，周期
√
[解析] 让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 ，周期
；让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为
，周期 ，A正确，B、C、D错误.
11.如图所示，摆长为的单摆上端固定在天花板上的点，在点正下方相距 处
的点有一固定的细铁钉.将小球向右拉开一个约 的小角度后由静止释放，使
小球来回摆动.设小球相对于其平衡位置的水平位移为 ，规定向右为正方向，
则小球在开始的一个周期内的关系图线如图所示.以下关于与 的关系正确
的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由图像可知，单摆在钉子右边振动的周期为 ；在钉子左边振动的
周期为；根据，可得，，解得 ，
故D正确.
12.(11分)如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲从球面上
的点由静止释放，在球面上、之间来回运动，已知 远小于球面的半径，
当甲从点释放时，同时在球面上的最低点 以某一初速度竖直上抛小球乙，经
过时间小球乙恰好第一次下落至 点且与甲球相碰，此时
小球甲第5次通过点. 已知重力加速度为 ，不计空气阻
力，两小球均可视为质点.求：
(1) (5分)小球乙的初速度 ；
[答案]
[解析] 小球乙上抛再落回点的时间为
解得
12.(11分)如图所示，半径很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲从球面上
的点由静止释放，在球面上、之间来回运动，已知 远小于球面的半径，
当甲从点释放时，同时在球面上的最低点 以某一初速度竖直上抛小球乙，经
(2) (6分)光滑球面的半径.(保留 )
[答案]
过时间小球乙恰好第一次下落至 点且与甲球相碰，此时
小球甲第5次通过点. 已知重力加速度为 ，不计空气阻
力，两小球均可视为质点.求：
[解析] 设小球甲做简谐运动的周期为，则
又
解得
例1.C 例2.D 例3.D 例4.C 例5.D 例6.3,3
随堂巩固
1.B 2.A 3.C 4.A
基础巩固练
1.D 2.CD 3.C 4.C 5.B 6.B 7.A
综合提升练
8.B 9.C 10.A 11.D 12.（1） （2）

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