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(共22张PPT)
3.1.1 课时2 区间与同一函数
1.理解区间的概念，能用区间表示集合.
2.会求一些简单函数的定义域与函数值.
3.求抽象函数定义域.
4.会判断两个函数是否为同一个函数.
5.求函数的值域.
问题1 函数的概念是什么？我们该如何判断函数？
设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A.
概念 自变量 函数值 定义域 值域
含义 x f(x)
性质 存在性
唯一性
一对一/多对一
值域是集合B的子集
使函数有意义的自变量的取值集合
函数值的取值集合
任意性
非空数集A
非空数集{f(x)|x∈A}
区间的概念
设a,b是两个实数，而且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a,b]
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x这里的实数a，b叫做相应区间的端点.
集合表示
区间表示
数轴表示
{x|a＜x＜b}
(a , b)
{x|a≤x≤b}
[a , b]
{x|a≤x＜b}
[a , b)
{x|a＜x≤b}
(a , b]
在数轴上表示时，应注意闭区间端点用实心点，开区间端点用空心点.
。
。
.
.
.
。
.
。
问题3 我们该如何用区间表示的实数的集合
问题2 我们该如何用区间表示实数集的集合
实数集可以用区间表示为“”读作“无穷大”
“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
集合表示
区间表示
数轴表示
{x| x＜a}
(－∞, a)
{x|x≤a}
(－∞, a]
{x x＞b}
(b , +∞)
{x x≥b}
[b , +∞)
{x|x∈R}
(－∞,+∞)
。
.
。
.
3. 定义域、值域、不等式解集等经常用区间表示；
2. 区间只能表示连续的数集；
4. 实心点表示包括区间内的端点，空心点表示不包括端点；
1. 区间(a,b),必须有b>a；
5. 以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
要点归纳
试用区间表示下列实数集合：
（1）{x|5 ≤ x<6}
（2）{x|x ≥9}
（3）{x|x ≤ -5}∪{x| -1≤ x<2}
(4) {x|x≤3,且x≠-1}
练一练
例1 已知函数f(x)=
(1)求函数的定义域；(2)求f(-3),f()的值；
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值.
f (a)：当x=a时函数f(x)的取值
f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数.
-3,且x≠-2
+ =-1,
+=
+,
+=
R
(-∞,-2]∪[2,+∞)
{x|x≠2}
{x|x≠±2}
{x|x≠0且x≠-2}
多个区间用“∪”连接
不能先约分
若a≠0，则a0=1
{x|x≤-2或x≥2}
(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞)
求下列函数的定义域
练一练
(3)如果y=f (x)是偶次根式，则定义域是
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是
(5)如果是实际问题，是
实数集R
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
使实际问题有意义的实数的集合
使分母不等于0的实数的集合
求函数定义域的常用方法：
定义域→使解析式有意义的自变量的取值集合
方法归纳
说一说：正方形的周长 l 与边长 x 之间的关系为 l=4x，它与正比例函数y=4x相同吗？它们的定义域和值域分别是什么？
思考：构成一个函数的要素为：定义域、对应关系、值域，如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
两个函数定义域相同，对应关系完全一致
两个函数是同一个函数.
对于以下三个函数，虽然它们的字母不同，但是它们的定义域和对应关系都相同，它们是同一个函数.
(与字母无关)
注 意
例2 下列函数中哪个函数与函数是同一个函数？
解：
定义域不同，对应关系相同，故不是同一函数；
函数 y=x（x∈R）
是同一函数
定义域相同，对应关系不同，即值域不同，故不是同一函数；
定义域不同，对应关系相同，故不是同一函数；
函数相等的判断：
（1）求定义域；
（2）判断定义域是否相等；
（3）判断对应关系是否相等;
（4）若两个函数定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同.
要点归纳
例3 求下列函数的值域.
（1） ， ，2，3，4， ；
解： ，2，3，4， ，分别代入求值，
可得函数的值域为 ，5，7，9， .
观察法: 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
（2） ， ；
（3） ；
（2） ， ；
解 ， ，
该函数的图象如图所示，
所以函数的值域为 .
配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，即把函数解析式通过配方转化为能直接看出值域的形式.
图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域.
解: 设 ，则 ，且 ，
所以 ， ，
该函数的大致图象如图所示.
则函数的值域为 .
（3） ；
换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原
函数的值域.对于 （其中 ， ， ， 为常数，且 ，
型的函数常用换元法.
例4 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域是( )
C
A. B. C. D.
解: 因为 的定义域为 ，
所以在 中， ，则 ，
所以 的定义域为 ，
则在 中，由 解得 ，
所以 的定义域是 .
本节课你学到了哪些知识？
1.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.
2.会求简单函数的定义域
3.会判断相等的函数
4.了解一些求函数值域的常用方法
5.了解抽象函数定义域的求法
1.下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0)
D.y＝(x＋1)2与y＝x2
B
2.已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A.{x|－1≤x≤9} B.{x|－3≤x≤7}
C.{x|－2≤x≤1} D.
D
(1)f(2)= ，g(2)= ；
(2)f(g(3))= .(共20张PPT)
3.1.1 课时1 函数的概念
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域和值域.
(1)若正方形的边长为1，则其周长l= ；
(2)若正方形的边长为2，则其周长l= ；
(3)若正方形的边长为x，则其周长l= .
4
8
4x
填一填：
问题1：现在你能回忆起初中学习的函数概念吗？说一说.
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则称x是自变量，y是x的函数.
问题2：正方形的周长 l 与边长 x 之间的关系为 l=4x.
(1) l=4x与正比例函数y=4x相同吗？
(2)y=x与y=相同吗？
问题1 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t.
不正确
思考1：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？
对应关系应为S=350t，其中，
问题2：某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位:元）是他工作天数d的函数吗？
是函数，对应关系为w=350d,其中，
思考2：两个问题中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗？为什么？
一
不是，自变量取值范围不同
问题1：对应关系应为S=350t，其中，
问题2：对应关系为w=350d,其中，
问题3：如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。
如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I ？你认为这里的I是t的函数吗？试找12时的AQI值.
是函数
I
问题4：国际上常用恩格尔系数 r()反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？
是函数
问题情景 自变量的集合 对应 关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1 ={t|0≤t≤0.5} S=350t ={S|0≤S≤175}
问题2 ={1,2,3,4,5,6} w=350d ={350,700,1050,1400,1750,2100}
问题3 ={t|0≤t≤24} 图3.1-1 ={I|0＜I＜150}
问题4 ={2006,2007,...,2015} 表3.1-1 ={r|0合作交流：问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
共同特征：
对应关系一般用 来表示，其形式有解析式，图象，表格，甚至文字等等
(1)都包含两个非空数集；
(2)都有一个对应关系；
(3)对于数集Ａ中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有
唯一确定的数y和它对应。
函数的概念
（1）x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}
叫做函数的值域。
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某个确定的对应关系f，使在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）
记作：
y=f(x)，x∈A
函数三要素：定义域、值域、对应关系.
新知归纳
思考3：函数的值域与集合B有什么关系？请说出这四个问题的值域.
问题情景 自变量的集合 对应 关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1 ={t|0≤t≤0.5} S=350t ={S|0≤S≤175}
问题2 ={1,2,3,4,5,6} w=350d ={350,700,1050,1400,1750,2100}
问题3 ={t|0≤t≤24} 图 ={I|0＜I＜150}
问题4 ={2006,2007,...,2015} 表 ={r|0函数的值域是集合B的子集.
C4 B4

对应关系
数字工厂



















直观理解：
思考4: 符号“ (x)”是否是表示 与x的乘积？如何理解符号“y= (x)”？

特点：
非空数集A
非空数集B.
Ａ、B间的对应关系:
1.试确定一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域.
函 数 一次函数 二次函数 反比例函数
a＞0 a＜0 对应关系
定义域
值 域
x→ax＋b
x→ ax2＋bx＋c
y＝ax＋b(a≠0)
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
R
R
R
{x|x≠0}
R
{y|y≠0}
(k≠0)
练一练
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。
解：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).
其中，x的取值范围是A={x|0对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).
2.函数的三要素
定义域A
值域B
对应法则f
定义域
对应法则
值域
设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合 B的函数.
1.函数的概念：
1.对于函数y=f (x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同
③ f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量
④ f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
2.集合A,B与对应关系f如下图所示， 判断f : A→B 是否为从集合A到集合B的一个函数并说明理由。
“对于集合A中的 任意一个数x”
“集合B中都有唯一确定的数”
A
A
A
B
B
B
AB
3.下列对应表示集合A到B的函数的是（ ）
4.若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为 .
分析：由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，
解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，
根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}.
{0，1}

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