资源简介

3.3 函数的应用(一)
第三章
1.能够建立确定的函数模型解决实际问题.
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
要解决这个问题需要用数学模型来刻画，那么我们学过哪些常见的数学模型呢？如何建立函数模型呢？
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型
f(x)=????1(????),????∈????1,????2(????),????∈????2,…,????????(????),????∈????????
对勾函数模型
f(x)=ax+????????(a,b为常数,且ab>0)
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
分段函数模型
对勾函数模型
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.
解：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，每月所获利润是y元，
则每月售出报纸共(20x＋10×250)份，每月退回报社报纸共10×(x－250)份.
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250).
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.
因为此一次函数的k＝1.6>0，所以y是一个在定义域内单调递增的函数，
再由250≤x≤400知，当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元).
所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元.
归纳总结
解函数应用题的方法和步骤：
1．审题:（1）设出未知量;
（2）找出量与量的关系.
2．建模:建立函数关系式.
3．求解:用数学方法解出未知量.
4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答.
例2 某商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
解：设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为f(x)元，
则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，
∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)，
例2 某商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
∴f(x)＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300]).
∵k<0，∴x＝200时，f(x)max＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
例2 某商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
(2)由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
即x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
∴商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.
利用二次函数求最值的方法及注意点：
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
归纳总结
例3 某科技企业为抓住机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元).当年产量不足
80台时，C(x)=12x2+40x，当年产量不小于80台时，C(x)=101x+8?100????-2 180，若每
台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式;
?
解：(1)当0当x≥80时，y=100x-101????+8?100?????2?180-500=1 680-????+8?100????，
所以y=?12????2+60?????500，0?
y=?12????2+60?????500，0(2)当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?并求出这个最大利润.
?
(2)由(1)可知，当0当x=60时，y取得最大值1 300，
当x≥80时，y=1 680-????+8?100????≤1 680-2????·8?100????=1 500，
当且仅当x=8?100????，即x=90时，y取最大值1 500，
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1 500万元.
?
实际问题
建立函数模型
问题结果
数学源于生活，用于生活
1.为了引导居民节约用电,某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”,按月用电量计算,将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯,电价按阶梯递增.第一阶梯:月用电量不超过240千瓦时的部分,电价为0.5元/千瓦时;第二阶梯:月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分,电价为0.6元/千瓦时;第三阶梯:月用电量超过400千瓦时的部分,电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元,则此户居民10月份的用电量为　　　　　千瓦时.?
580
2.你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h＝－3.6t2＋28.8t，则烟花在冲击后爆裂的时刻是( )
A.第4秒 B.第5秒 C.第3.5秒 D.第3秒
A
3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A.120.25万元 B.120万元
C.90.25万元 D.132万元
B

展开更多......

收起↑