【精品解析】人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1-3章)

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【精品解析】人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1-3章)

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人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1-3章)
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
得分
1.(2025八上·余姚期末)以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标,其中属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图,在△ABC 中,D 在AC 上,E 在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,则∠A的度数为(  ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
3.(2019八上·重庆期末)如图,已知每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上,请在图中找一个顶点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的顶点C有(  )
A.8个 B.7个 C.6个 D.5个
4.如图,在中,,线段的垂直平分线交于点E,交于点D,则的周长为(  )
A.21 B.14 C.13 D.9
5.(2025八上·滨江期末)如图,在中,,分别平分和,,相交于点P,则下列结论不一定成立的是(  )
A.
B.与的面积比等于边与之比
C.
D.若,则
6.(2024八上·德阳月考)如图,若的面积为a,且点A,B,C分别是的中点,则求阴影部分的面积(用含a的式子表示),(  )
A. B. C. D.
7.(2024八上·绍兴月考)如图,在四边形中,平分于点,有下列结论:①;②;③;④.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2024八上·宁波开学考)如图, 在 中, 是 上一点, , 点 是 的中点, 设 的面积分别是 , 且 , 则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(2022八上·赣州期中)如图,为的中线,平分,平分,,下列结论正确的有(  )
①;②;③;④
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.(2024八上·汉阳期末)如图,的面积为6,,平分.若E,F分别是,上的动点,则的最小值(  )
A. B. C. D.3
阅卷人 二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
得分
11.已知是的中线,若与的周长分别为,,则   .
12.(2025八上·荔湾期中)如图,在中,,高,交于点H.若,,则   .
13.(2024八上·象山期中)如图,,和分别是和的中点,连结,并延长,分别交于,,若四边形的面积为,那么   .
14.(2023八上·慈溪期中)小丽从一张等腰三角形纸片ABC(AB=AC)中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形,其中BC=BD,EC=EF=FG=DG=DA,则∠B=   °.
15.(2024八上·宝安期中)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B为x轴上一动点,以为边在直线的右侧作等边三角形.若点P为的中点,连接,则的长的最小值为   .
阅卷人 三、解答题:本大题共9小题,共75分.
得分
16.(2024八上·长沙期中)如图,在平面直角坐标系中;的三个顶点坐标分别为,,.
(1)请画出将向右平移7个单位得到的;
(2)请画出与关于轴对称的,并写出的坐标;
(3)在轴上找一点使得的面积为3,直接写出点的坐标.
17.(2025八上·宁波期末)如图,△ABC是等边三角形,延长BA至点D,延长CB至点E,使AD=BE,连结AE,CD,EA的延长线交CD于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠CFE的度数,
18.(2024八上·婺源期末)如图①,,,,相交于点M,连接.
(1)求证:;
(2)用含的式子表示的度数;
(3)当时,的中点分别为点P,Q,连接,如图②,判断的形状,并证明.
19.(2023八上·越秀月考)如图,在中,、分别在、上且,平分,于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
20.(2024八上·高密月考)已知:如图,在、中,,,,点C、D、E三点在同一直线上,连接.
(1)求证:;
(2)试猜想、有何特殊位置关系,并证明.
21.(2024八上·南宁期中)【实际情境】
手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的花折伞.
【问题初探】
(1)如图1,从花折伞中抽象出“牵形图”,,.求证:.
【方法迁移】
(2)如图2,中,的平分线交于点.请你从以下两个条件:
①;②中选择一个作为已知条件,另一个作为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答.)
【问题拓展】
(3)如图3,在中,,是的外角的平分线,交的延长线于点.请你直接写出线段之间的数量关系.
22.(2023八上·河东期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧.
(1)【阅读理解】如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8.求AC边上的中线BD的取值范围.小聪同学是这样思考的;延长BD至E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是:   ;中线BD的取值范围是   .
(2)【理解与应用】如图2,在△ABC中,∠B=90°,点D是AC的中点,点M在AB边上,点N在BC边上,若DM⊥DN.试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)【问题解决】如图3,在△ABC中,点D是AC的中点,AB=MB,BC=BN,其中∠ABM=∠NBC=90°,连接MN,探索BD与MN的关系,并说明理由.
23.(2024八上·南宁期中)已知,在等边三角形中,点在直线上,点在的延长线上,且.
(1)如图①,当点为边的中点时,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:   (填“”、“”或“”).
(2)如图②,当点为边上任意一点时,确定线段与的大小关系是:______(填“”、“”或“”);
证明:过点作,交于点.

(请把证明过程补充完整)
(3)在等边三角形中,当点在线段的延长线上,点在线段的延长线上时,如图③,线段与的大小关系是:______(填“”、“”或“”),并说明理由.
24.(2024八上·东莞期中)如图,是等边三角形.,是边上的高,点E在边上,连接,以为边在其下方作等边,连接.
(1)当是等腰三角形时, ;
(2)求证:;
(3)当是等腰三角形时,求的大小;
(4)直接写出的最小值.
25.(2024八上·西塘期中)【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题:如图①,与分别为的两个外角,则.
【推理证明】∵与分别为的两个外角,
∴______,______,
∴______.
∵,
∴.
【初步应用】
(1)如图②,在纸片中剪去,得到四边形,若,则的大小为______度.
(2)如图③,在中,、分别为外角、的平分线,则与的数量关系,并说明理由.
【拓展提升】
(3)如图④,在四边形中,、分别为外角、的平分线,若,求的度数.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:选项A,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,错误;
选项C和选项D,是中心对称图形,不是轴对称图形,错误;
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形,正确。
故答案为:B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180,如果它能够和另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,该图形称为中心对称图形;把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合,因此是中心对称图形,而选项B有四条对称轴,并且围绕中心点进行旋转即可重合,因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2.【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解: ∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x,
∴∠AED=∠A=2x,
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x,
在△ABC中,3x+3x+2x=180°,
解得x=22.5°.
∴∠A=2x=22.5°×2=45°.
故选B.
【分析】 本题考查了等腰三角形的性质,注意掌握,①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
3.【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:如图,
当AB为底时,作AB的垂直平分线,可找出格点C的个数有5个,
当AB为腰时,分别以A、B点为顶点,以AB为半径作弧,可找出格点C的个数有3个;
∴这样的顶点C有8个.
故答案为:A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法,分:①以AB为底,②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点,③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点,三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C,从而得出答案。
4.【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:∵线段的垂直平分线交于点E,交于点D,
∴,
∴的周长,
故答案为:C.
【分析】由线段的垂直平分线交于点E,交于点D,得,等量转换的周长.
5.【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:过点P作于点M,作于点N,作于点H,
∵平分,,,
∴,
∵平分,,,
∴,
∴,
∵,,
∴平分,
∴.故选项A的结论一定成立;
.故选项B的结论一定成立;
∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∴.故选项D的结论一定成立.
根据题意无法证明选项C的结论一定成立.
故答案为:C.
【分析】过点P作于点M,作于点N,作于点H,利用角平分线的性质及判定判断A选项;利用三角形的面积公式判断B选项,利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可.
6.【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解:连接,
A,B,C分别是的中点,
,,

,,
同理可得:,,

故选:A.
【分析】由题意得,,结合已知,得,因此,同理可得:,,进而即可求出阴影部分的面积.
7.【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:选项①:如图,在上截取,连接,
∵,

∴,

∴,
∵平分,即,
在和中,
∵,
∴,

∴,故①正确;
选项②:

∴,
,故②正确;
选项③:∵

根据已知条件无法证明,故③错误;
选项④:∵,
∴,
∴,
即,故④正确.
综上可知正确的选项为:①②④,
故选∶C
【分析】选项①:在上截取,连接,根据平分,,证明出,故选项①正确;
选项②:由①可知,,再根据线段间的和差关系可得:,故选项②正确;
选项③:由可得∠ACD=∠ACF,无法证明∠ACD=∠BCE,故选项③错误;
选项④;由三角形面积公式及等量代换可得,故选项④正确.
8.【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解:∵点D是AC的中点,
∴BD是AC边上的中线,
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12,
∵EC=2BE,
∴BE=BC,
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8,
∴S△ABD-S△ABE=(S△ADF+S△ABF)-(S△ABF+S△BEF)=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为:C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线,由此可求出△ABD的面积,即可得到S△ADF+S△ABF的值;由EC=2BE,可推出BE=BC,由此可求出S△ABF+S△BEF的值,据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
9.【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质;平移的性质;三角形全等的判定-AAS;三角形的中线;三角形的角平分线
【解析】【解答】解:∵DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
∴,,
∴,故①符合题意;
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD,而∠BAD,∠CAD不一定相等,故②不符合题意;
∵BE⊥DE,CF⊥DF,
∴∠BED=∠DFC=90°,
∴∠EBD+∠EDB=90°,
∵∠EDF=90°,
∴∠BDE+∠CDF=90°,
∴∠EBD=∠CDF,
∵BD=CD,
∴△BDE≌△DCF,故③符合题意;
∴∠EDB=∠FCD,ED=FC,BE=DF,
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到,
∴EF∥BC,故④符合题意.
综上:符合题意的有:①③④.
故选:B.
【分析】根据一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线得出,,求得,故①符合题意;根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线得出BD=CD,而∠BAD,∠CAD不一定相等,故②不符合题意;根据等角的余角相等得出∠EBD=∠CDF,根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BDE≌△DCF,故③符合题意;△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到,可判断④符合题意.
10.【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;三角形全等的判定-SAS;角平分线的概念
【解析】【解答】解:过C作CM⊥AB,交AB于点M,交AD于点F,作M关于AD的对称点E,连接EF,
∵E是M关于AD的对称点,
∴AM=AE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠MAF=∠EAF,
∵AM=AE,∠MAF=∠EAF,AF=AF,
∴△AMF≌△AEF(SAS),
∴MF=EF,
即FE+FC=MF+FC,
MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM,
∵△ABC的面积为6,AB=5,
∴,
∴ ,
即FE+FC的最小值为;
故答案为:B.
【分析】过C作CM⊥AB,交AB于点M,交AD于点F,作M关于AD的对称点E,连接EF,根据对称的性质可得AM=AE,根据从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线可得∠MAF=∠EAF,根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形,全等三角形的对应边相等可得MF=EF,推得FE+FC=MF+FC,故根据三角形的面积公式求MF+FC的最小值CM,即可.
11.【答案】9
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解:如图:
是的中线,

∵与的周长分别为,,
①,
②,
得:,
故答案为:9.
【分析】由于BD是△ABC的一条中线,由此可以得到AD=CD,而△ABD与△BCD的周长分别为21,12,并且BD公共,利用三角形的周长公式即可求出AB BC的长.
12.【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA;线段的和、差、倍、分的简单计算;三角形的高
【解析】【解答】解:,,

,,,

在和中,






故答案为:5.
【分析】先利用角的运算和等量代换可得,再利用“ASA”证出,利用全等三角形的性质可得,最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可.
13.【答案】24
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵和分别是和的中点,
∴,
∵,
∴,
同理可得,
∴,
∴,
∴;
故答案为:24.
【分析】利用平行线的性质可证得,利用线段中点的定义可证得,再利用AAS可推出,然后可得的面积,进而问题可求解.
14.【答案】67.5
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设∠ECF=x,
∵EC=EF,
∴∠EFC=∠ECF=x,
∴∠GEF=2x,
∵EF=GF,
∴∠FGE=∠GEF=2x,
∴∠DFG=∠FGE+∠ECF=3x,
∵DG=GF,
∴∠GDF=∠DFG=3x,
∴∠AGD=∠GDF+∠ECF=4x,
∵DG=DA,
∴∠A=4x,
∴∠BDC=∠A+∠ECF=5x,
∵BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD=5x,
∴∠ACB=∠BCD+∠ECF=6x,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD=6x,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴4x+6x+6x=180°,解得:x=,
∴∠B==67.5°.
故答案为:67.5.
【分析】设∠ECF=x,根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质,可得出∠A=4x,∠BDC=∠BCD=5x,进而得出∠B=∠ACD=6x,再根据三角形内角和定理可得出4x+6x+6x=180°,解得:x=,进一步得出∠B==67.5°.
15.【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质;轴对称的应用-最短距离问题;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图,以为边作等边三角形,连接,过点作于,
点的坐标为,
点为的中点,
是等边三角形,,



在和中,

当有最小值时,有最小值,即轴时,有最小值,
的最小值为,
∴的最小值为,
故答案为:.
【分析】本题考查轴对称―最短路线问题,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质.以为边作等边三角形,连接,过点作于,根据点A的坐标可求出OA=8,再根据中点的性质可得AP=4,利用等边三角形的性质可得,利用角的运算可得,利用全等三角形的判定定理“”可证明,利用全等三角形的性质可得,则当有最小值时,有最小值,利用线段的运算可得:的最小值为,再代入数据进行计算可求出答案.
16.【答案】(1)解:如图,即为所求.
(2)解:如图,即为所求..
(3)或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称;作图﹣轴对称;作图﹣平移
【解析】【解答】
(3)
解:设点P坐标为,
的面积为3,


或,
解得:或,
或.
【分析】
(1)先分别作出A、B、C三点平移后的对称点A1、B1、C1,再顺次连接即可;
(2)先分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A2、B2、C2,再顺次连接即可;
(3)设点P坐标为,由的面积为3,可得,再求解即可.
(1)解:如图,即为所求.
(2)解:如图,即为所求.,
(3)解:设点P坐标为,
的面积为3,


或,
解得:或,
或,
17.【答案】(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠CAB,
∴∠ABE=∠CAD,
∵AD=BE,
∴△ABE≌△CAD(SAS)
(2)解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴△ABE≌△CAD,
∵∠E=∠D,
∴∠CFE=∠CDAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°.
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,利用SAS证明三角形全等即可;
(2)先得到∠ABC=60°,然后根据全等得到E=∠D,然后根据三角形的外角解题即可.
18.【答案】(1)证明:如图1,,

在和中,



(2)解:如图1,∵,,
在中,,
=

在中,

(3)解:为等腰直角三角形.证明:如图2,由(1)得,
的中点分别为点P、Q,

∵,

在与中,



又,


∴为等腰直角三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据题意,得到,利用,证得,即可证得;
(2)根据,得出,在中,利用三角形内角和定理,结合,求得的度数,再在中,结合,即可求解;
(3)先证明,得到,利用SAS,证得,得到,再由,得出,即可求解.
(1)证明:如图1,,

在和中,



(2)解:如图1,∵,

在中,,
=

在中,

(3)解:为等腰直角三角形.
证明:如图2,由(1)得,
的中点分别为点P、Q,

∵,

在与中,



又,


∴为等腰直角三角形.
19.【答案】(1)证明:过点作,垂足为,
平分,,,
,,
在与中

≌,
,,


(2)解:,
在与中

≌,

设,
则,,

解得,,

【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质,得到CM=CH,再根据直角三角形全等的判定(HL),可证明,可得DM=BH,∠1=∠B,等量代换即可证明.
(2)首先利用直角三角形全等的判定(HL),可证明即可得AM=AH,设BH=BM=x结合题目给出的条件列出关于x的方程,解出x得到答案.
20.【答案】(1)证明:,
,即,
在和中,


(2)解:,理由如下:

如图,设与交于点G,


,,


【知识点】三角形内角和定理;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE,从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE;
(2)根据全等三角形的对应角相等即可得到,由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°,从而可得结论.
(1)证明:,
,即,
在和中,


(2)解:,理由如下:

如图,设与交于点G,


,,


21.【答案】解:(1)证明:在和中,,
∴,
∴;
(2)解:(Ⅰ)选择②为条件,①为结论,
如图2,在取点N,使,连接,
∵平分,
∴,
∵,,,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴;
(Ⅱ)选择①为条件,②为结论,
如图3,在取点N,使,连接,
同理得:,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:,理由如下:
如图4,在上截取,连接,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∵,,

∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)利用证明,再根据全等三角形对应角相等即可得出;
(2)(Ⅰ)选择②为条件,①为结论:在取点N,使,连接,根据SAS可证明,得出,,再由,可得,从而得到,再根据三角形外角的性质,可得出=2∠C,即可解答;
(Ⅱ)选择①为条件,②为结论:在取点N,使,连接,证明,可得,,再由,可得,从而得到即可解答;
(3)如图4,在上截取,连接,先证明,再证明,则,从而可以解答.
22.【答案】(1)SAS;1(2)解:AM+CN>MN,证明如下:
延长ND至点F,使FD=ND,连接AF、MF,如图2所示:
同(1)可证:△AFD≌△CND(SAS),
∴AF=CN,
∵DM⊥DN,FD=ND,
∴MD是线段NF的垂直平分线,
∴MF=MN,
在△AFM中,由三角形的三边关系得:AM+AF>MF,
∴AM+CN>MN;
(3)解:2BD=MN,理由如下:
延长BD至E,使DE=BD,连接CE,如图3所示:
同(1)得:△ABD≌△CED,
∴∠ABD=∠E,AB=CE,
∵∠ABM=∠NBC=90°,
∴∠ABC+∠MBN=180°,即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°,
∵∠E+∠CBD+∠BCE=180°,
∴∠BCE=∠MBN,
∵AB=MB,
∴CE=MB,
在△BCE和△NBM中,

∴△BCE≌△NBM(SAS),
∴BE=MN,
∴2BD=MN.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形三边关系;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解:(1)∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),
∴AB=CE=10,
在△CBE中,CE-BC∴10-8∴2∴1故答案为:SAS;1【分析】(1)利用“SAS”证出△ABD≌△CED,可得AB=CE=10,再利用三角形三边的关系可得2(2)延长ND至点F,使FD=ND,连接AF、MF,利用“SAS”证出△AFD≌△CND,可得AF=CN,利用线段垂直平分线的性质可得MF=MN,最后利用三角形三边的关系及等量代换求出AM+CN>MN即可;
(3)延长BD至E,使DE=BD,连接CE,先利用“SAS”证出△BCE≌△NBM,可得BE=MN,再利用等量代换可得2BD=MN.
23.【答案】(1)=
(2)(2);
理由如下:
证明:过点作,交于点.



∵是等边三角形且,
∴,,,,
∴是等边三角形,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴,
即,
故答案为:=;
(3)解:(3)AEDB;
理由如下:
过点作,交的延长线于点,如图所示:
∵是等边三角形,
∴,,
∴, ,
即,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,

【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:(1),理由如下:
∵是等边三角形,点是的中点,
∴平分,,,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
【分析】(1)由E为等边三角形AB边的中点,利用三线合一得到,且CE为角平分线,又ED=EC,利用等腰三角形的性质即可求解;
(2)AE-DB.理由如下,过点E作EF//BC,交AC于点F.证明△AEF为等边三角形,利用SAS得到DBE≌EFC,利用全等三角形的性质即可得证;
(3)分点E在AB延长线上、点E在B4延长线上两种情况讨论,同理,根据全等角形的判定和性质,求出 CD 的长即可。
(1)解:,理由如下:
∵是等边三角形,点是的中点,
∴平分,,,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
故答案为:
(2)证明:过点作,交于点.



∵是等边三角形且,
∴,,,,
∴是等边三角形,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴,
即,
(3)解:过点作,交的延长线于点,如图所示:
∵是等边三角形,
∴,,
∴, ,
即,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,

24.【答案】(1)
(2)证明:∵是等边三角形,
∴,.
∵是等边三角形,
∴,.
∴.
在和,,
∴.
(3)解:当是等腰三角形时,
若,
∵,
∴.
∴.
若,
则.
∴.
若,
则.
∴.
故的大小为或或.
(4)
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】(1)解:∵和都是等边三角形,
∴.
∵,
∴.
∵是等腰三角形,
∴.
∴.
∴.
(4)解:∵是等边三角形,
∴,.
∵,
∴,.
∵,
∴.
∴当时,最小.
最小值为.
【分析】(1)根据等边三角形性质得到,根据,是等腰三角形,得,得.
(2)根据等边三角形性质得,,,得.
(3)根据是等腰三角形,其中,若, 则,得; 若,则,得;若,则,得;
(4)根据等边三角形性质得到,,根据,得,,根据全等三角形性质得,得当时,最小.
(1)解:∵和都是等边三角形,
∴.
∵,
∴.
∵是等腰三角形,
∴.
∴.
∴.
(2)证明:∵是等边三角形,
∴,.
∵是等边三角形,
∴,.
∴.
在和,,
∴.
(3)解:当是等腰三角形时,
若,
∵,
∴.
∴.
若,
则.
∴.
若,
则.
∴.
故的大小为或或.
(4)解:∵是等边三角形,
∴,.
∵,
∴,.
∵,
∴.
∴当时,最小.
最小值为.
25.【答案】解:【推理证明】答案为:;
【初步应用】
(1);
(2)∵、分别为外角、的平分线,
∴,,
∴,
∵,
∴;
【拓展提升】
(3)如图所示,延长、交于点,
∵,,
∴,
∴.
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;角平分线的概念
【解析】【解答】证明:【推理证明】∵与分别为的两个外角,
∴,
∴.
∵,(三角形内角和定理)
∴.
故答案为:;
【初步应用】(1)∵,
∴,
故答案为:;
【分析】
【推理证明】
根据三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和,即可得出答案;
【初步应用】
(1)根据三角形外角的性质可得出,进而根据邻补角定义,得出答案;
()由角平分线的定义得,,再由三角形内角和定理得出,然后把代入即可求解;
【拓展提升】
(3)首先根据, 可求得∠M=50°,再根据(2)的结论,即可求得∠P=90°-=65°。
1 / 1人教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二(范围:1-3章)
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
得分
1.(2025八上·余姚期末)以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标,其中属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解:选项A,既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,错误;
选项C和选项D,是中心对称图形,不是轴对称图形,错误;
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形,正确。
故答案为:B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180,如果它能够和另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,该图形称为中心对称图形;把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合,因此是中心对称图形,而选项B有四条对称轴,并且围绕中心点进行旋转即可重合,因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2. 如图,在△ABC 中,D 在AC 上,E 在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,则∠A的度数为(  ).
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解: ∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x,
∴∠AED=∠A=2x,
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x,
在△ABC中,3x+3x+2x=180°,
解得x=22.5°.
∴∠A=2x=22.5°×2=45°.
故选B.
【分析】 本题考查了等腰三角形的性质,注意掌握,①求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件;②三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
3.(2019八上·重庆期末)如图,已知每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上,请在图中找一个顶点C,使△ABC为等腰三角形,则这样的顶点C有(  )
A.8个 B.7个 C.6个 D.5个
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解:如图,
当AB为底时,作AB的垂直平分线,可找出格点C的个数有5个,
当AB为腰时,分别以A、B点为顶点,以AB为半径作弧,可找出格点C的个数有3个;
∴这样的顶点C有8个.
故答案为:A.
【分析】利用方格纸的特点及等腰三角形的判定方法,分:①以AB为底,②以AB为腰且A为等腰三角形顶角的顶点,③以AB为腰且B为等腰三角形顶角的顶点,三种情况分类讨论即可得出符合条件的点C,从而得出答案。
4.如图,在中,,线段的垂直平分线交于点E,交于点D,则的周长为(  )
A.21 B.14 C.13 D.9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解:∵线段的垂直平分线交于点E,交于点D,
∴,
∴的周长,
故答案为:C.
【分析】由线段的垂直平分线交于点E,交于点D,得,等量转换的周长.
5.(2025八上·滨江期末)如图,在中,,分别平分和,,相交于点P,则下列结论不一定成立的是(  )
A.
B.与的面积比等于边与之比
C.
D.若,则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理;角平分线的性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:过点P作于点M,作于点N,作于点H,
∵平分,,,
∴,
∵平分,,,
∴,
∴,
∵,,
∴平分,
∴.故选项A的结论一定成立;
.故选项B的结论一定成立;
∵,
∴,
∵平分,平分,
∴,,
∴,
∴.故选项D的结论一定成立.
根据题意无法证明选项C的结论一定成立.
故答案为:C.
【分析】过点P作于点M,作于点N,作于点H,利用角平分线的性质及判定判断A选项;利用三角形的面积公式判断B选项,利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可.
6.(2024八上·德阳月考)如图,若的面积为a,且点A,B,C分别是的中点,则求阴影部分的面积(用含a的式子表示),(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解:连接,
A,B,C分别是的中点,
,,

,,
同理可得:,,

故选:A.
【分析】由题意得,,结合已知,得,因此,同理可得:,,进而即可求出阴影部分的面积.
7.(2024八上·绍兴月考)如图,在四边形中,平分于点,有下列结论:①;②;③;④.其中正确的个数是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:选项①:如图,在上截取,连接,
∵,

∴,

∴,
∵平分,即,
在和中,
∵,
∴,

∴,故①正确;
选项②:

∴,
,故②正确;
选项③:∵

根据已知条件无法证明,故③错误;
选项④:∵,
∴,
∴,
即,故④正确.
综上可知正确的选项为:①②④,
故选∶C
【分析】选项①:在上截取,连接,根据平分,,证明出,故选项①正确;
选项②:由①可知,,再根据线段间的和差关系可得:,故选项②正确;
选项③:由可得∠ACD=∠ACF,无法证明∠ACD=∠BCE,故选项③错误;
选项④;由三角形面积公式及等量代换可得,故选项④正确.
8.(2024八上·宁波开学考)如图, 在 中, 是 上一点, , 点 是 的中点, 设 的面积分别是 , 且 , 则 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解:∵点D是AC的中点,
∴BD是AC边上的中线,
∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S△ABC=×24=12,
∵EC=2BE,
∴BE=BC,
∴S△ABE=S△ABF+S△BEF=S△ABC=×24=8,
∴S△ABD-S△ABE=(S△ADF+S△ABF)-(S△ABF+S△BEF)=12-8=4
∴S△ADF-S△BEF=4.
故答案为:C.
【分析】利用已知可证得BD是AC边上的中线,由此可求出△ABD的面积,即可得到S△ADF+S△ABF的值;由EC=2BE,可推出BE=BC,由此可求出S△ABF+S△BEF的值,据此可求出S△ABD-S△ABE的值.
9.(2022八上·赣州期中)如图,为的中线,平分,平分,,下列结论正确的有(  )
①;②;③;④
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质;平移的性质;三角形全等的判定-AAS;三角形的中线;三角形的角平分线
【解析】【解答】解:∵DE平分∠ADB,DF平分∠ADC,
∴,,
∴,故①符合题意;
∵AD为△ABC的中线,
∴BD=CD,而∠BAD,∠CAD不一定相等,故②不符合题意;
∵BE⊥DE,CF⊥DF,
∴∠BED=∠DFC=90°,
∴∠EBD+∠EDB=90°,
∵∠EDF=90°,
∴∠BDE+∠CDF=90°,
∴∠EBD=∠CDF,
∵BD=CD,
∴△BDE≌△DCF,故③符合题意;
∴∠EDB=∠FCD,ED=FC,BE=DF,
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到,
∴EF∥BC,故④符合题意.
综上:符合题意的有:①③④.
故选:B.
【分析】根据一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线得出,,求得,故①符合题意;根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线得出BD=CD,而∠BAD,∠CAD不一定相等,故②不符合题意;根据等角的余角相等得出∠EBD=∠CDF,根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△BDE≌△DCF,故③符合题意;△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到,可判断④符合题意.
10.(2024八上·汉阳期末)如图,的面积为6,,平分.若E,F分别是,上的动点,则的最小值(  )
A. B. C. D.3
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;三角形全等的判定-SAS;角平分线的概念
【解析】【解答】解:过C作CM⊥AB,交AB于点M,交AD于点F,作M关于AD的对称点E,连接EF,
∵E是M关于AD的对称点,
∴AM=AE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠MAF=∠EAF,
∵AM=AE,∠MAF=∠EAF,AF=AF,
∴△AMF≌△AEF(SAS),
∴MF=EF,
即FE+FC=MF+FC,
MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM,
∵△ABC的面积为6,AB=5,
∴,
∴ ,
即FE+FC的最小值为;
故答案为:B.
【分析】过C作CM⊥AB,交AB于点M,交AD于点F,作M关于AD的对称点E,连接EF,根据对称的性质可得AM=AE,根据从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线可得∠MAF=∠EAF,根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形,全等三角形的对应边相等可得MF=EF,推得FE+FC=MF+FC,故根据三角形的面积公式求MF+FC的最小值CM,即可.
阅卷人 二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
得分
11.已知是的中线,若与的周长分别为,,则   .
【答案】9
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解:如图:
是的中线,

∵与的周长分别为,,
①,
②,
得:,
故答案为:9.
【分析】由于BD是△ABC的一条中线,由此可以得到AD=CD,而△ABD与△BCD的周长分别为21,12,并且BD公共,利用三角形的周长公式即可求出AB BC的长.
12.(2025八上·荔湾期中)如图,在中,,高,交于点H.若,,则   .
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA;线段的和、差、倍、分的简单计算;三角形的高
【解析】【解答】解:,,

,,,

在和中,






故答案为:5.
【分析】先利用角的运算和等量代换可得,再利用“ASA”证出,利用全等三角形的性质可得,最后利用线段的和差及等量代换求出CH的长即可.
13.(2024八上·象山期中)如图,,和分别是和的中点,连结,并延长,分别交于,,若四边形的面积为,那么   .
【答案】24
【知识点】三角形全等及其性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵和分别是和的中点,
∴,
∵,
∴,
同理可得,
∴,
∴,
∴;
故答案为:24.
【分析】利用平行线的性质可证得,利用线段中点的定义可证得,再利用AAS可推出,然后可得的面积,进而问题可求解.
14.(2023八上·慈溪期中)小丽从一张等腰三角形纸片ABC(AB=AC)中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形,其中BC=BD,EC=EF=FG=DG=DA,则∠B=   °.
【答案】67.5
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;等腰三角形的性质
【解析】【解答】解:设∠ECF=x,
∵EC=EF,
∴∠EFC=∠ECF=x,
∴∠GEF=2x,
∵EF=GF,
∴∠FGE=∠GEF=2x,
∴∠DFG=∠FGE+∠ECF=3x,
∵DG=GF,
∴∠GDF=∠DFG=3x,
∴∠AGD=∠GDF+∠ECF=4x,
∵DG=DA,
∴∠A=4x,
∴∠BDC=∠A+∠ECF=5x,
∵BC=BD,
∴∠BDC=∠BCD=5x,
∴∠ACB=∠BCD+∠ECF=6x,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD=6x,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴4x+6x+6x=180°,解得:x=,
∴∠B==67.5°.
故答案为:67.5.
【分析】设∠ECF=x,根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质,可得出∠A=4x,∠BDC=∠BCD=5x,进而得出∠B=∠ACD=6x,再根据三角形内角和定理可得出4x+6x+6x=180°,解得:x=,进一步得出∠B==67.5°.
15.(2024八上·宝安期中)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为,点B为x轴上一动点,以为边在直线的右侧作等边三角形.若点P为的中点,连接,则的长的最小值为   .
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质;轴对称的性质;轴对称的应用-最短距离问题;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图,以为边作等边三角形,连接,过点作于,
点的坐标为,
点为的中点,
是等边三角形,,



在和中,

当有最小值时,有最小值,即轴时,有最小值,
的最小值为,
∴的最小值为,
故答案为:.
【分析】本题考查轴对称―最短路线问题,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质.以为边作等边三角形,连接,过点作于,根据点A的坐标可求出OA=8,再根据中点的性质可得AP=4,利用等边三角形的性质可得,利用角的运算可得,利用全等三角形的判定定理“”可证明,利用全等三角形的性质可得,则当有最小值时,有最小值,利用线段的运算可得:的最小值为,再代入数据进行计算可求出答案.
阅卷人 三、解答题:本大题共9小题,共75分.
得分
16.(2024八上·长沙期中)如图,在平面直角坐标系中;的三个顶点坐标分别为,,.
(1)请画出将向右平移7个单位得到的;
(2)请画出与关于轴对称的,并写出的坐标;
(3)在轴上找一点使得的面积为3,直接写出点的坐标.
【答案】(1)解:如图,即为所求.
(2)解:如图,即为所求..
(3)或
【知识点】坐标与图形变化﹣对称;作图﹣轴对称;作图﹣平移
【解析】【解答】
(3)
解:设点P坐标为,
的面积为3,


或,
解得:或,
或.
【分析】
(1)先分别作出A、B、C三点平移后的对称点A1、B1、C1,再顺次连接即可;
(2)先分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点A2、B2、C2,再顺次连接即可;
(3)设点P坐标为,由的面积为3,可得,再求解即可.
(1)解:如图,即为所求.
(2)解:如图,即为所求.,
(3)解:设点P坐标为,
的面积为3,


或,
解得:或,
或,
17.(2025八上·宁波期末)如图,△ABC是等边三角形,延长BA至点D,延长CB至点E,使AD=BE,连结AE,CD,EA的延长线交CD于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠CFE的度数,
【答案】(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠CAB,
∴∠ABE=∠CAD,
∵AD=BE,
∴△ABE≌△CAD(SAS)
(2)解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴△ABE≌△CAD,
∵∠E=∠D,
∴∠CFE=∠CDAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°.
【知识点】等边三角形的性质;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,利用SAS证明三角形全等即可;
(2)先得到∠ABC=60°,然后根据全等得到E=∠D,然后根据三角形的外角解题即可.
18.(2024八上·婺源期末)如图①,,,,相交于点M,连接.
(1)求证:;
(2)用含的式子表示的度数;
(3)当时,的中点分别为点P,Q,连接,如图②,判断的形状,并证明.
【答案】(1)证明:如图1,,

在和中,



(2)解:如图1,∵,,
在中,,
=

在中,

(3)解:为等腰直角三角形.证明:如图2,由(1)得,
的中点分别为点P、Q,

∵,

在与中,



又,


∴为等腰直角三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据题意,得到,利用,证得,即可证得;
(2)根据,得出,在中,利用三角形内角和定理,结合,求得的度数,再在中,结合,即可求解;
(3)先证明,得到,利用SAS,证得,得到,再由,得出,即可求解.
(1)证明:如图1,,

在和中,



(2)解:如图1,∵,

在中,,
=

在中,

(3)解:为等腰直角三角形.
证明:如图2,由(1)得,
的中点分别为点P、Q,

∵,

在与中,



又,


∴为等腰直角三角形.
19.(2023八上·越秀月考)如图,在中,、分别在、上且,平分,于点.
(1)求证:;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)证明:过点作,垂足为,
平分,,,
,,
在与中

≌,
,,


(2)解:,
在与中

≌,

设,
则,,

解得,,

【知识点】直角三角形全等的判定-HL;角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质,得到CM=CH,再根据直角三角形全等的判定(HL),可证明,可得DM=BH,∠1=∠B,等量代换即可证明.
(2)首先利用直角三角形全等的判定(HL),可证明即可得AM=AH,设BH=BM=x结合题目给出的条件列出关于x的方程,解出x得到答案.
20.(2024八上·高密月考)已知:如图,在、中,,,,点C、D、E三点在同一直线上,连接.
(1)求证:;
(2)试猜想、有何特殊位置关系,并证明.
【答案】(1)证明:,
,即,
在和中,


(2)解:,理由如下:

如图,设与交于点G,


,,


【知识点】三角形内角和定理;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等量加等量和相等得∠BAD=∠CAE,从而利用“SAS”判断出△BAD≌△CAE;
(2)根据全等三角形的对应角相等即可得到,由“8”字形图可得∠CDG=∠BAC=90°,从而可得结论.
(1)证明:,
,即,
在和中,


(2)解:,理由如下:

如图,设与交于点G,


,,


21.(2024八上·南宁期中)【实际情境】
手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的花折伞.
【问题初探】
(1)如图1,从花折伞中抽象出“牵形图”,,.求证:.
【方法迁移】
(2)如图2,中,的平分线交于点.请你从以下两个条件:
①;②中选择一个作为已知条件,另一个作为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答.)
【问题拓展】
(3)如图3,在中,,是的外角的平分线,交的延长线于点.请你直接写出线段之间的数量关系.
【答案】解:(1)证明:在和中,,
∴,
∴;
(2)解:(Ⅰ)选择②为条件,①为结论,
如图2,在取点N,使,连接,
∵平分,
∴,
∵,,,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴;
(Ⅱ)选择①为条件,②为结论,
如图3,在取点N,使,连接,
同理得:,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴;
(3)解:,理由如下:
如图4,在上截取,连接,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∵,,

∴,
∴,
∴,
∵,
∴.
【知识点】三角形外角的概念及性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的判定与性质;三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)利用证明,再根据全等三角形对应角相等即可得出;
(2)(Ⅰ)选择②为条件,①为结论:在取点N,使,连接,根据SAS可证明,得出,,再由,可得,从而得到,再根据三角形外角的性质,可得出=2∠C,即可解答;
(Ⅱ)选择①为条件,②为结论:在取点N,使,连接,证明,可得,,再由,可得,从而得到即可解答;
(3)如图4,在上截取,连接,先证明,再证明,则,从而可以解答.
22.(2023八上·河东期中)八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你和他们一起活动吧.
(1)【阅读理解】如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8.求AC边上的中线BD的取值范围.小聪同学是这样思考的;延长BD至E,使DE=BD,连接CE.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是:   ;中线BD的取值范围是   .
(2)【理解与应用】如图2,在△ABC中,∠B=90°,点D是AC的中点,点M在AB边上,点N在BC边上,若DM⊥DN.试猜想线段AM、CN、MN三者之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)【问题解决】如图3,在△ABC中,点D是AC的中点,AB=MB,BC=BN,其中∠ABM=∠NBC=90°,连接MN,探索BD与MN的关系,并说明理由.
【答案】(1)SAS;1(2)解:AM+CN>MN,证明如下:
延长ND至点F,使FD=ND,连接AF、MF,如图2所示:
同(1)可证:△AFD≌△CND(SAS),
∴AF=CN,
∵DM⊥DN,FD=ND,
∴MD是线段NF的垂直平分线,
∴MF=MN,
在△AFM中,由三角形的三边关系得:AM+AF>MF,
∴AM+CN>MN;
(3)解:2BD=MN,理由如下:
延长BD至E,使DE=BD,连接CE,如图3所示:
同(1)得:△ABD≌△CED,
∴∠ABD=∠E,AB=CE,
∵∠ABM=∠NBC=90°,
∴∠ABC+∠MBN=180°,即∠ABD+∠CBD+∠MBN=180°,
∵∠E+∠CBD+∠BCE=180°,
∴∠BCE=∠MBN,
∵AB=MB,
∴CE=MB,
在△BCE和△NBM中,

∴△BCE≌△NBM(SAS),
∴BE=MN,
∴2BD=MN.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高;三角形三边关系;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解:(1)∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),
∴AB=CE=10,
在△CBE中,CE-BC∴10-8∴2∴1故答案为:SAS;1【分析】(1)利用“SAS”证出△ABD≌△CED,可得AB=CE=10,再利用三角形三边的关系可得2(2)延长ND至点F,使FD=ND,连接AF、MF,利用“SAS”证出△AFD≌△CND,可得AF=CN,利用线段垂直平分线的性质可得MF=MN,最后利用三角形三边的关系及等量代换求出AM+CN>MN即可;
(3)延长BD至E,使DE=BD,连接CE,先利用“SAS”证出△BCE≌△NBM,可得BE=MN,再利用等量代换可得2BD=MN.
23.(2024八上·南宁期中)已知,在等边三角形中,点在直线上,点在的延长线上,且.
(1)如图①,当点为边的中点时,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:   (填“”、“”或“”).
(2)如图②,当点为边上任意一点时,确定线段与的大小关系是:______(填“”、“”或“”);
证明:过点作,交于点.

(请把证明过程补充完整)
(3)在等边三角形中,当点在线段的延长线上,点在线段的延长线上时,如图③,线段与的大小关系是:______(填“”、“”或“”),并说明理由.
【答案】(1)=
(2)(2);
理由如下:
证明:过点作,交于点.



∵是等边三角形且,
∴,,,,
∴是等边三角形,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴,
即,
故答案为:=;
(3)解:(3)AEDB;
理由如下:
过点作,交的延长线于点,如图所示:
∵是等边三角形,
∴,,
∴, ,
即,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,

【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;等边三角形的判定与性质;三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解:(1),理由如下:
∵是等边三角形,点是的中点,
∴平分,,,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
【分析】(1)由E为等边三角形AB边的中点,利用三线合一得到,且CE为角平分线,又ED=EC,利用等腰三角形的性质即可求解;
(2)AE-DB.理由如下,过点E作EF//BC,交AC于点F.证明△AEF为等边三角形,利用SAS得到DBE≌EFC,利用全等三角形的性质即可得证;
(3)分点E在AB延长线上、点E在B4延长线上两种情况讨论,同理,根据全等角形的判定和性质,求出 CD 的长即可。
(1)解:,理由如下:
∵是等边三角形,点是的中点,
∴平分,,,,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
即,
故答案为:
(2)证明:过点作,交于点.



∵是等边三角形且,
∴,,,,
∴是等边三角形,,,
∴,,
在和中,

∴,
∴,
即,
(3)解:过点作,交的延长线于点,如图所示:
∵是等边三角形,
∴,,
∴, ,
即,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
在和中,

∴,
∴,

24.(2024八上·东莞期中)如图,是等边三角形.,是边上的高,点E在边上,连接,以为边在其下方作等边,连接.
(1)当是等腰三角形时, ;
(2)求证:;
(3)当是等腰三角形时,求的大小;
(4)直接写出的最小值.
【答案】(1)
(2)证明:∵是等边三角形,
∴,.
∵是等边三角形,
∴,.
∴.
在和,,
∴.
(3)解:当是等腰三角形时,
若,
∵,
∴.
∴.
若,
则.
∴.
若,
则.
∴.
故的大小为或或.
(4)
【知识点】等腰三角形的判定与性质;等边三角形的性质;含30°角的直角三角形;三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】(1)解:∵和都是等边三角形,
∴.
∵,
∴.
∵是等腰三角形,
∴.
∴.
∴.
(4)解:∵是等边三角形,
∴,.
∵,
∴,.
∵,
∴.
∴当时,最小.
最小值为.
【分析】(1)根据等边三角形性质得到,根据,是等腰三角形,得,得.
(2)根据等边三角形性质得,,,得.
(3)根据是等腰三角形,其中,若, 则,得; 若,则,得;若,则,得;
(4)根据等边三角形性质得到,,根据,得,,根据全等三角形性质得,得当时,最小.
(1)解:∵和都是等边三角形,
∴.
∵,
∴.
∵是等腰三角形,
∴.
∴.
∴.
(2)证明:∵是等边三角形,
∴,.
∵是等边三角形,
∴,.
∴.
在和,,
∴.
(3)解:当是等腰三角形时,
若,
∵,
∴.
∴.
若,
则.
∴.
若,
则.
∴.
故的大小为或或.
(4)解:∵是等边三角形,
∴,.
∵,
∴,.
∵,
∴.
∴当时,最小.
最小值为.
25.(2024八上·西塘期中)【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题:如图①,与分别为的两个外角,则.
【推理证明】∵与分别为的两个外角,
∴______,______,
∴______.
∵,
∴.
【初步应用】
(1)如图②,在纸片中剪去,得到四边形,若,则的大小为______度.
(2)如图③,在中,、分别为外角、的平分线,则与的数量关系,并说明理由.
【拓展提升】
(3)如图④,在四边形中,、分别为外角、的平分线,若,求的度数.
【答案】解:【推理证明】答案为:;
【初步应用】
(1);
(2)∵、分别为外角、的平分线,
∴,,
∴,
∵,
∴;
【拓展提升】
(3)如图所示,延长、交于点,
∵,,
∴,
∴.
【知识点】三角形内角和定理;三角形外角的概念及性质;角平分线的概念
【解析】【解答】证明:【推理证明】∵与分别为的两个外角,
∴,
∴.
∵,(三角形内角和定理)
∴.
故答案为:;
【初步应用】(1)∵,
∴,
故答案为:;
【分析】
【推理证明】
根据三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和,即可得出答案;
【初步应用】
(1)根据三角形外角的性质可得出,进而根据邻补角定义,得出答案;
()由角平分线的定义得,,再由三角形内角和定理得出,然后把代入即可求解;
【拓展提升】
(3)首先根据, 可求得∠M=50°,再根据(2)的结论,即可求得∠P=90°-=65°。
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