资源简介

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时
学案设计
学习目标
1.能够描述直线的方向向量和平面的法向量的概念.
2.理解直线的方向向量与平面的法向量,会求一个平面的法向量.
自主预习
1.点的位置向量
如图,在空间中,我们取一定点O作为　　　　　,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示,向量称为点P的　　　　　　.
2.空间中直线的向量表示式
如图,a是直线l的方向向量,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=　　　　　,①
取=a,代入①式,得
=　　　　　.②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
3.平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=　　　　　　　　　.
把上式称为空间平面ABC的向量表示式.
4.平面的法向量
如图,直线l⊥平面α,取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的　　　　　　.
给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
课堂探究
探究一:通过前几节课的学习,同学们已经初步体会了运用空间向量解决立体几何问题.那利用空间向量解决立体几何问题的关键是什么
探究二:如何用向量表示空间中的一个点P
探究三:如何用向量表示空间中的直线l
探究四:如何用向量表示空间中的平面α
探究五:一个定点和一个定方向能否确定一个平面 如果能确定,如何用向量表示这个平面
【迁移应用】
例题　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求直线CD的方向向量;
(2)求平面BCC1B1的法向量;
(3)求平面MCA1的法向量.
核心素养专练
1.(多选题)已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.-1 C.3 D.-3
2.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　)
A.1,1,
B.(1,,1)
C.(1,1,1)
D.(2,-2,1)
3.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是(　　)
A.(1,-4,2) B.,-1,
C.-,1,- D.(0,-1,1)
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　.
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABCD,且PD=AD,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PAB的一个法向量.
参考答案
自主预习
1.基点　位置向量
2.+ta　+t
3.+x+y
4.法向量
课堂探究
探究一:
答案 把点、直线、平面用向量表示出来.
探究二:
用向量表示点P
探究三:
=ta(t∈R)
探究四:
=xa+yb
+x+y
探究五:
经过定点A且垂直于l的平面是唯一确定的.直线l⊥α,直线l的方向向量a叫做α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|·a=0}.
例题　解 (1)依题意可知,D(0,0,0),C(0,4,0),所以直线CD的方向向量是=(0,4,0).可以看出,以C为起点,D为终点的向量也是直线CD的方向向量.
而(0,1,0)是与(0,4,0)共线的向量,所以也是直线CD的方向向量.实际上,与(0,4,0)共线的非零向量(0,a,0)都是直线CD的方向向量.
(2)因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有DC⊥平面BCC1B1,所以直线DC的方向向量就是平面BCC1B1的法向量,即=(0,4,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
由于D1C1⊥平面BCC1B1,所以直线D1C1的方向向量就是平面BCC1B1的法向量,即=(0,4,0)是平面BCC1B1的一个法向量.所有与(0,4,0)共线的向量都是平面BCC1B1的法向量.
(3)因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,所以M(3,2,0),C(0,4,0),A1(3,0,2).因此=(-3,2,0),=(0,-2,2).
设n=(x,y,z)是平面MCA1的法向量,则有n⊥,n⊥.所以所以
取z=3,则x=2,y=3.
于是n=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
核心素养专练
1.AD　解析 因为|a|==6,所以x=±4.
因为a⊥b,所以a·b=2×2+4y+2x=0,
即y=-1-x,所以当x=4时,y=-3;
当x=-4时,y=1.所以x+y=1或x+y=-3.
2.A　解析 因为=(1,0,-2),=(-1,1,0),
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),
由解得
所以n=(2,2,1).又1,1,=n,
因此,平面PAB的一个法向量为1,1,.
3.D　解析 因为=(0,2,4),直线l平行于向量a,若n是平面α的一个法向量,则必须满足把选项代入验证,只有选项D不满足,故选D.
4.2∶3∶(-4)　解析 由已知得,=1,-3,-,=-2,-1,-,
∵a是平面α的一个法向量,
∴a·=0,a·=0,
即解得
∴x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
5.解 因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,以D为坐标原点,以射线DA,DB,DP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,1),=(-1,,0),=(0,,-1).
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),
则因此可取n=(,1,).所以平面PAB的一个法向量可以为(,1,)(答案不唯一).
第2课时
学案设计
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系;
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理;
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
自主预习
1.设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量.
(1)线线平行:l1∥l2 　　　　　 λ∈R,使得　　　　　;
(2)线面平行:l1∥α 　　　　　 　　　　　;
(3)面面平行:α∥β 　　　　　 λ∈R,使得　　　　　.
课堂探究
问题1:生活中有很多线线平行,线面平行,面面平行的建筑,比如左下图所示的上海世博会中国馆,右下图所示的上海世博会加拿大馆,我们能不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行
问题2:由直线与直线的平行关系,可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢
问题3:由直线与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢
问题4:由平面与平面的平行关系,可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢
【小试牛刀】
1.若两条直线的方向向量分别是a=(3,-2,x),b=(-6,y,4),且这两条直线平行,则x=　　　　　,y=　　　　　.
2.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是(　　)
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
【迁移应用】
例1　证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
已知:如图,a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α,求证:α∥β.
例2　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,在线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1
例3　如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
核心素养专练
1.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(1,1,1) B.,1
C.,1 D.,1
2.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是(　　)
A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1
3.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　　.
5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中点,则OP与BD1的位置关系是　　　　　;设=λ,若平面D1BQ∥平面PAO,则λ=　　　　　.
6.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别是A1C1,A1D和B1A上任意一点.求证:平面A1EF∥平面B1MC.
参考答案
自主预习
1.u1∥u2　u1=λu2　u1⊥n1　u1·n1=0　n1∥n2　n1=λn2
课堂探究
问题1:不能.
问题2:l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2.
问题3:l∥α u⊥n u·n=0.
问题4:α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
【小试牛刀】
答案 1.4　-2
2.D　解析 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
例1　证明 设直线a,b的方向向量分别为u,v,取平面α的法向量n.
∵a∥α,b∥α,∴u·n=0,v·n=0.
∵a β,b β,a∩b=P,∴对任意一点Q∈β,存在x,y∈R,使得=xu+yv,
∴n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0,
∴n也是平面β的法向量.故α∥β.
例2　解 方法1:(立体几何法)
如图,取B1C中点P,A1D中点Q,∵A1B1 DC,∴四边形A1B1CD为平行四边形,∴A1D B1C;又P,Q分别为B1C,A1D中点,∴A1Q PC,∴四边形A1QCP为平行四边形,∴A1P∥CQ,A1P 平面ACD1,CQ 平面ACD1,
∴A1P∥平面ACD1.∴存在线段B1C的中点P,使得A1P∥平面ACD1.
方法2:(向量法)
如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
则A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(3,4,2).=(-3,4,0),=(-3,0,2),=(0,4,0),=(-3,0,-2).
设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则有n·=0,n·=0,所以所以取x=4,则y=3,z=6.
所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
因为,所以存在λ(0≤λ≤1)使得=λ=(-3λ,0,-2λ),
所以=(-3λ,4,-2λ).
若∥平面ACD1,则n·=0,即-12λ+12-12λ=0,解得λ=,这样的点P存在.
所以,当,即P为B1C的中点时,∥平面ACD1.
例3　证明 (方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),=(0,1,1),
设平面AB'D'的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1⊥,n1⊥,
即
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
则n2⊥,n2⊥,
即
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
因为n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法2)由方法1知=(-1,0,1),=(-1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),
所以,
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法3)同方法1得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
易知=(1,1,0),=(0,1,1).
因为n1·=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,
n1·=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
核心素养专练
1.C　解析 由已知得A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1).
设M(x,x,1),则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).
设平面BDE的法向量为n=(a,b,c),
则
解得取b=1,则n=(1,1,).
又AM∥平面BDE,所以n·=0,
即2(x-)+=0,解得x=,
所以M,1.故选C.
2.ACD　解析 因为,
所以,从而A1M∥D1P,可得A、C、D正确.
又B1Q与D1P不平行,故B不正确.
3.B　解析 如图,分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
因为A1M=AN=a,所以Ma,a,,Na,a,a,所以=-,0,a.
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),
所以=(0,a,0).
所以=0.所以.
因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN 平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.
4.-3　解析 ∵l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y,
∵=(1,0,-1),=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴∴m=-3.
5.平行　　解析 如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,
设正方体的棱长为1,则O,0,C(0,1,0),C1(0,1,1),P0,0,,A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).
则=-,-,=(-1,-1,1),
所以,
所以OP∥BD1.
设Q(0,1,z),则=(-1,0,z).
由于OP∥BD1,故要使平面D1BQ∥平面PAO,只需,
又=-1,0,,故z=,
则Q0,1,,由=0,0,,=(0,0,1)及=λ,得λ=.
6.证明 如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),A(1,0,0),D(0,0,0),C(0,1,0),则=(-1,1,0),=(-1,0,-1),=(1,0,1),=(0,-1,-1),
设=λ=μ=v(λ,μ,v∈R,且均不为0).
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量,
由可得
即
所以可取n1=(1,1,-1).
由可得
即可取n2=(1,1,-1),
因为n1=n2,所以n1∥n2,
所以平面A1EF∥平面B1MC.
第3课时
学案设计
学习目标
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系;
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理;
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.
自主预习
1.线线垂直的向量表示
设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 　　　　　　 　　　　　　.
2.线面垂直的向量表示
设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α 　　　　　 λ∈R,使得　　　　　.
3.面面垂直的向量表示
设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β 　　　　　　 　　　　　　　.
课堂探究
问题:类似空间中直线、平面平行的向量表示,在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系 观察下图回答.
(1)
(2)
(3)
【小试牛刀】
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交. (　　)
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0. (　　)
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. (　　)
(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直. (　　)
2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.-5 C.4 D.-2
例1　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.
例2　证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.
例3　如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
核心素养专练
1.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.6 C.-9 D.9
2.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.求证:EF⊥BC.
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
4.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.
参考答案
自主预习
1.u1⊥u2　u1·u2=0
2.u∥n　u=λn
3.n1⊥n2　n1·n2=0
课堂探究
问题:
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn
面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
【小试牛刀】
1.答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　解析 因为α⊥β,所以两平面的法向量垂直,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
例1　证明 设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,
且=a+b-c,=b-a,=c.
∵AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,
∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=.
在平面BDD1B1上,取为基向量,则对于平面BDD1B1上任意一点P,存在唯一的有序实数对{λ,μ},使得=λ+μ.
∴=λ+μ=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=λ(-a2+b2-b·c+a·c)+μ(a·c+b·c-c2)=λ-1+1-+μ-1=0.
∴是平面BDD1B1的法向量.
∴直线A1C⊥平面BDD1B1.
例2　解 已知:如图,l⊥α,l β,求证:α⊥β.
证明:取直线l的方向向量u,平面β的法向量n.
因为l⊥α,所以u是平面α的法向量.
因为l β,而n是平面β的法向量,
所以u⊥n.所以α⊥β.
例3　证明 (方法1)设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,存在实数λ,μ,使m=λ+μ.
令=a,=b,=c,显然它们不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2.以它们为空间的一个基底,
则=a+c,a+b,=a-c,
于是m=λ+μ=λ(a+c)+μa+b=λ+μa+μb+λc,
则·m=(a-c)·λ+μa+μb+λc=4λ+μ-2μ-4λ=0,
所以⊥m,即AB1与平面A1BD内的任意直线都垂直.
故AB1⊥平面A1BD.
(方法2)取BC的中点O,则AO⊥BC.取B1C1的中点O1,则OO1∥BB1.所以OO1⊥平面ABC.所以OO1⊥AO,OO1⊥BC.
因此可以以O为坐标原点,BO,OO1,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
可得=(-1,2,),=(-2,1,0),=(1,2,-),
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=2,z=-,所以n=(1,2,-).
所以n=,则n∥.所以AB1⊥平面A1BD.
(方法3)建系过程同方法2.
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
可得=(-1,2,),=(-2,1,0),=(1,2,-)
AB1⊥平面A1BD.
核心素养专练
1.C　解析 ∵直线l⊥平面α,向量v与平面α平行,
∴u⊥v,即u·v=0,
∴1×3+(-3)×(-2)+z×1=0,∴z=-9.
2.证明 由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),因而E0,,F,0,
所以=,0,-,=(0,2,0),
因此=0.从而,
所以EF⊥BC.
3.证明 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a).
=(a,a,2a)-(2a,2a,a)=(-a,-a,a),
=(2a,2a,2a)-(2a,0,0)=(0,2a,2a),
=(0,2a,0)-(2a,0,0)=(-2a,2a,0).
∵=(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=(-a)×0+(-a)×2a+a×2a=0,=(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,∴EF⊥平面B1AC.
4.证明 设AS=AB=1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),E.
方法1:连接AC,交BD于点O,连接OE,则点O的坐标为,0.
∵=(0,0,1),=0,0,,
∴,∴OE∥AS.
又AS⊥底面ABCD,∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABCD.
方法2:设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z).
∵=(-1,1,0),=-,
∴
取x=1,可得平面BDE的一个法向量为n1=(1,1,0).
∵AS⊥平面ABCD,∴平面ABCD的一个法向量为n2==(0,0,1).
∵n1·n2=0,
∴平面BDE⊥平面ABCD.

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