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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
一、单选题
1.（2023四川天府新区太平中学）用五点法画函数，的图象时，下列不在函数图象上的点为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2025江苏泰州期中）下列对正弦函数的图象描述错误的是（ ）
A. 在上形状相同，只是位置不同
B. 介于直线与直线之间
C. 关于轴对称
D. 与轴仅有一个交点
3.已知函数和，则的图象（ ）
A. 与的图象相同
B. 与的图象关于轴对称
C. 向左平移个单位长度，得到的图象
D. 向右平移个单位长度，得到的图象
4.（2023河北衡水第十三中学质检）不等式在上的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025浙江新阵地教育联盟期中）函数与的图象的交点个数是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
6.（2023山东东营期末）方程的实数解的个数为（ ）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 7
二、多选题
7.下列叙述正确的有（ ）
A. ，的图象关于点成中心对称
B. ，的图象关于直线成轴对称
C. ，的图象在时达到最高点
D. 正弦曲线向右平移个单位长度得到余弦曲线
8.下列区间能使成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.若函数，的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时
B.
C.
D. 围成的封闭图形的面积为
三、填空题
10.不等式，的解集为________.
11.（2025山东省实验中学月考）函数的定义域为________.
12.方程的实数解的个数是________，所有的实数解之和为________.
四、解答题
13.画出下列函数在区间[0,2]上的图象：
（1）；（2）；（3）。
14.（2023新疆塔城地区第一高级中学测试）已知函数，求不等式的解集。
15.（2025陕西汉中段考）
（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（2）已知函数的图象与直线围成一个封闭的平面图形，求此封闭图形的面积。
一、单选题
1.答案：A
解析：五点法画（）的关键五点为：
、、、、。
选项A不在其中，故选A。
2.答案：C
解析：逐一分析正弦函数的图象性质：
A：正弦函数周期为，故在（）上形状相同、位置不同，正确；
B：正弦函数值域为，图象介于与之间，正确；
C：正弦函数是奇函数，图象关于原点对称，而非轴对称（如对称点为，对称点为，不关于轴对称），错误；
D：与轴仅交于，正确；
故选C。
3.答案：D
解析：先化简两函数：
（诱导公式：）；
（诱导公式：）。
再分析图象变换：
A：与图象不同，错误；
B：关于轴对称的函数为，错误；
C：向左平移个单位得，错误；
D：向右平移个单位得，正确；
故选D。
4.答案：D
解析：先补全不等式，解不等式：
移项得；
在内，对应的解为和；
结合余弦函数图象，的解集为；
故选D。
5.答案：B
解析：分区间分析与的交点：
当时，，（），此时两函数在有1个交点；
当时，，在（）内有2个周期零点，在（）内仅有1个波峰，共2个交点；
当时，，而，无交点；
总交点数为，故选B。
6.答案：A
解析：构造函数，求方程的解即求的解：
求导得，因，故，在上单调递减；
又，故仅有一个解；
即方程的实数解个数为1，故选A。
二、多选题
7.答案：AB
解析：逐一分析选项：
A：对（），任取图象上一点，其关于的对称点也在图象上（如对称点），故关于中心对称，正确；
B：对（），任取图象上一点，其关于的对称点也在图象上（如对称点，对称点），故关于轴对称，正确；
C：在时达到最高点（），时，错误；
D：正弦曲线向右平移个单位得，而非余弦曲线，错误；
故选AB。
8.答案：ACD
解析：解不等式，即，化简为，核心是找的区间：
余弦函数正区间为（），故，解得；
分析选项：
A：（），满足，正确；
B：不在上述区间，错误；
C：（，，），满足，正确；
D：（），满足，正确；
故选ACD。
9.答案：BCD
解析：分析函数（）的性质及封闭图形：
A：在上小于0，故，错误；
B：，正确；
C：，正确；
D：封闭图形由、及、围成，面积可通过“矩形面积减曲线下面积”计算：
矩形长、宽，面积；，正确；
故选BCD。
三、填空题
10.答案：
解析：解不等式：
移项得；
在内，对应的解为和；
结合正弦函数图象，的解集为。
11.答案：（）
解析：对数函数定义域要求真数大于0，即：
移项得；
正弦函数的通解为（），故定义域为该区间。
12.答案：2；0
解析：分析方程（即）：
解的个数：构造函数与，是开口向上的抛物线，值域为；
当时，，，两函数有2个交点（和各1个）；
当时，，，无交点；
故实数解个数为2。
解的和：若是解，则，代入得，故也是解，两解之和为。
四、解答题
13.解：
利用“五点法”结合图象平移/伸缩规律画图，关键五点为、、、、（以为基础）：
（1）向上平移2个单位，五点变为：
、、、、；
（2）向下平移2个单位，五点变为：
、、、、；
（3）纵向伸缩3倍（振幅变为3），五点变为：
、、、、；
14.解：
代入函数得不等式：
解正弦不等式：
正弦函数的通解为：
令，代入得：
解关于的不等式：
两边同时加：
两边同时除以2：
综上，不等式的解集为（）。
15.解：
（1）零点意义：即，问题转化为“与在上有两个不同交点”。
分析在区间内的单调性与取值：
在上单调递增，从增至；
在上单调递减，从减至。
确定的范围：
要使与有两个交点，需介于与之间（即），此时在递增区间和递减区间各有一个交点。
故的取值范围为。
（2）分析图象范围：
的振幅为2，值域，在内包含完整的1个周期（），且在和时，（即两点均在上）。
计算封闭图形面积：
封闭图形由、、、围成，面积可通过定积分计算：
计算积分：
原函数为（因）；
代入上下限：
化简：，，故：
故封闭图形的面积为。

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