资源简介

2.1.1　倾斜角与斜率
学案设计(一)
学习目标
1.了解确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
自主预习
1.确定一条直线的条件
确定一条直线的条件是　　　　　或　　　　　和一个　　　　.
在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向　　　　　,其他直线　　　　　的方向为这条直线的方向.
2.直线的倾斜角
前提条件 直线l与x轴　　　　
定义 以　　　　　为基准,x轴　　　　　与直线　　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角
特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为　　　　
取值范围 　　　　　　　　　
3.斜率的定义
一条直线的倾斜角α的　　　　叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示,即k=　　　　　.
4.斜率公式:过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为　　　　　.
5.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围)
课堂探究
探究一　直线的倾斜角
问题1:请同学们根据直线的倾斜角的定义,找出下列直线的倾斜角,做好标注.
练习1　下列图中标出的直线的倾斜角对不对 如果不对,请同学们找出正确的直线的倾斜角.
问题2:在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α:
(1)已知直线l经过点O(0,0),P(,1),α与点O,P的坐标有什么关系
(2)类似地,如果直线l经过点P1(-1,1),P2(,0),α与点P1,P2的坐标又有什么关系
(3)如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有什么内在联系
探究二　直线的斜率
练习2　已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率:
(1)α=30°;(2)α=120°.
练习3　已知下列直线的斜率,求直线的倾斜角:
(1)k=0;(2)k=.
问题3:当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时,斜率如何变化,为什么
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围)
例1　如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
例2　已知直线l的斜率k的取值范围为[-1,1],求直线l的倾斜角α的取值范围.
问题4:直线P1P2上的方向向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量,那么直线的方向向量与直线的斜率有什么关系呢
探究结果:1.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=　　　　　;
2.如果直线l的斜率为k,则它的一个方向向量的坐标为　　　　　.
核心素养专练
1.若A,B两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.45°,1 B.135°,-1
C.90°,不存在 D.180°,不存在
2.已知直线l的斜率的绝对值等于,则直线l的倾斜角为(　　)
A.60° B.30°
C.60°或120° D.30°或150°
3.若斜率为2的直线经过点A(3,5),B(a,7),C(-1,b),则a,b的值为(　　)
A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3
C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3
4.已知直线l过定点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(-4,5)为端点的线段(包含端点)没有交点,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)∪(5,+∞) B.(-∞,-1]∪[5,+∞)
C.(-1,5) D.[-1,5]
5.已知经过A(1,3),B(-4,13)两点的直线的方向向量为(2,k),则k的值为　　　　　.
6.已知a,b,c是两两不等的实数,则经过P(-b,-b-c),Q(a,a-c)两点的直线l的倾斜角为　　　　　.
7.若A(3,3),B(a,0),C(0,b)(其中a·b≠0)三点共线,则=　　　　　.
8.已知直线l的斜率为k=1-m2(m∈R),求直线l的倾斜角的取值范围.
9.求证:A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3)三点共线.
参考答案
自主预习
1.两点　一点　方向　向右　向上
2.相交　x轴　正向　l向上　0°　0°≤α<180°
3.正切值　tan α
4.k=
5.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率(范围) k=0 k>0 不存在 k<0
课堂探究
问题1:略
练习1　(1)不对,应该是与x轴正向所成角;
(2)不对,应该是x轴正向与直线向上方向所成角;
(3)不对,应该是直线向上方向与x轴正向所成角,不是y轴;
(4)不对,应该是直线向上方向与x轴正向所成角,不是y轴.
问题2:(1)向量=(,1),且直线OP的倾斜角也为α.由正切函数的定义,有tan α=;
(2)tan α==1-;
(3)tan α=.
练习2　(1)k=;(2)k=-.
练习3　(1)α=0°;(2)α=60°.
问题3:斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率(范围) k=0 k>0 不存在 k<0
例1　解 直线AB的斜率kAB=,直线BC的斜率kBC==-,直线CA的斜率kCA==1.
由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;
由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.
例2　解 (1)当斜率k∈[-1,0)时,135°≤α<180°;
(2)当斜率k∈[0,1]时,0°≤α≤45°.
综上所述,直线l的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α≤45°或135°≤α<180°}.
问题4:关系探究过程略　　(1,k)
核心素养专练
1.C　解析 因为A,B两点的横坐标相等,所以直线AB与x轴垂直,倾斜角为90°,斜率不存在.故选C.
2.C　解析 由题意知|tan α|=,
即tan α=或tan α=-,
故直线l的倾斜角为60°或120°.
3.C　解析 由题意,得
解得a=4,b=-3.
4.A　解析 如图,要使过定点P(-1,2)的直线l与以A(-2,-3),B(-4,5)为端点的线段(包含端点)没有交点,则k>kPA或k因为kPA==5,kPB==-1,所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1)∪(5,+∞).
5.-4　解析 易得,解得k=-4.
6.45°　解析 因为直线l的斜率k==1,所以直线l的倾斜角为45°.
7.　解析 由于A,B,C三点共线,则kAB=kAC,
所以,所以ab=3a+3b,
即.
8.解 因为k=1-m2≤1,
所以当k∈[0,1]时,倾斜角α∈0,;
当k∈(-∞,0)时,倾斜角α∈,π,
故倾斜角的取值范围是0,∪,π.
9.证明 ∵A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3),
∴kAB==2,kAC==2,
∴kAB=kAC.
∵直线AB与直线AC的斜率相等且过同一点A,
∴直线AB与直线AC为同一直线.
故A,B,C三点共线.
学案设计(二)
学习目标
1.了解确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
自主预习
预习教科书第51至54页内容,思考以下问题:
1.(1)若直线l的向上方向与x轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
(2)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　)
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
2.已知直线l的倾斜角为120°,则直线l的斜率为(　　)
A. B. C.- D.-
3.已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于(　　)
A.2 B.1 C. D.不存在
4.判断正误.
(1)任意一条直线都有倾斜角,都存在斜率. (　　)
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应. (　　)
(3)若直线的倾斜角为α,则0°≤α≤180°. (　　)
(4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　　)
课堂探究
探究一　直线的倾斜角
试一试:请同学们标出下列各直线的倾斜角.
探究二　直线的斜率
直线的斜率:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,记为　　　　　.
直线的倾斜角与斜率之间的关系:
α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
追问:每条直线都有倾斜角吗 每条直线都有斜率吗
练习1　已知下列命题:
①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°.
②若k是直线的斜率,则k∈R.
③任何一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.
④任何一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角.
其中真命题有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
练习2　若两直线l1,l2的倾斜角和斜率分别为α1,α2和k1,k2,则下列四个命题中真命题是(　　)
A.若α1<α2,则k1C.若k1探究三　直线的斜率公式
问题:在平面直角坐标系中,已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,能否用P1,P2的坐标来表示直线的斜率k
典型例题
例1　(1)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
(2)(多选题)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为(　　)
A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45°
例2　求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)A(3,2),B(-4,1);(2)B(-4,1),C(0,-1).
变式训练　(1)对于例2第(1)问,若求B,A两点的斜率呢
(2)若把B改为D(2,2)呢
(3)若把B改为E(3,4)呢
结论:1.斜率公式与P1,P2两点的顺序　　　　　　.
2.当直线与x轴平行或重合时,　　　　　　　　　.
3.当直线与y轴平行或重合时,　　　　　　　　　.
例3　已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
核心素养专练
1.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y=(　　)
A.- B. C.-1 D.1
2.若点P(x,y)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)三点为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则的取值范围是(　　)
A.,1 B. C. D.,1
3.已知直线l经过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.(-1,0] B.[0,1] C.[1,2] D.[0,2]
4.如图,已知直线l1的倾斜角是150°,l2⊥l1,垂足为B.直线l1,l2与x轴分别相交于点C,A,l3平分∠BAC,则l3的倾斜角为　　　　　.
5.已知点A(1,0),B(2,),C(m,2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则实数m的值为　　　　　,直线AC的一个方向向量为　　　　　.
6.已知A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4)三点,直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍,求m的值.
7.已知点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l经过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
8.光线从点A(2,1)入射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),求点Q的坐标及入射光线的斜率.
参考答案
自主预习
1.(1)A　(2)D
2.D
3.A
4.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
课堂探究
探究一:略
探究二:k=tan α
α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
k=0 k>0 k不存在 k<0
追问:每条直线都有倾斜角,当倾斜角为90°时,斜率不存在.
练习1　D
练习2　D
探究三:略
例1　(1)C　(2)AB　解析 (1)直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(2)根据题意,画出图象,如图所示:
通过图象可知:
当0°≤α<135°时,直线l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,直线l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
例2　解 (1)经过A,B两点的直线斜率为kAB=,直线的倾斜角为锐角;
(2)经过B,C两点的直线斜率为kBC==-,直线的倾斜角为钝角.
变式训练　解 (1)经过B,A两点的直线斜率为kBA=,直线的倾斜角为锐角;(2)经过A,D两点的直线斜率为kAD==0,直线的倾斜角为0°;(3)经过A,E两点的直线斜率不存在,直线的倾斜角为90°.
结论:无关　斜率为0　斜率不存在
例3　解 如图所示,由题意可知kPA==-1,kPB==1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1.
(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,
又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
核心素养专练
1.C
2.D　解析 式子的几何意义是点P(x,y)和定点D(1,2)连线的斜率.
根据题意画出图形如图:
由图得,直线BD的斜率是kBD==1,
直线AD的斜率kAD=,
故直线PD的斜率3.D　解析 如图所示,设直线l'过点A(1,2)且与x轴平行,
若直线l不经过第四象限,则直线l位于如图阴影区域内(包括边界),故kl'≤k≤kOA.
∵直线l'与x轴平行,∴kl'=0,
又∵kOA==2,
∴0≤k≤2,即k的取值范围是[0,2].
4.30°
5.2-3　(1,-)(答案不唯一)　解析 ∵点A(1,0),B(2,),
∴直线AB的倾斜角为,
∴直线AC的倾斜角为,
∴kAC==-,
∴m=2-3,
直线AC的一个方向向量为(1,-).
6.解 由题意知直线AC的斜率存在,即m≠-1.
由斜率公式,得直线AC的斜率kAC=,
直线BC的斜率kBC=,
即=3·,整理得m=4.
7.解 (1)因为直线PN的斜率kPN==-,所以直线PN的倾斜角为120°.
因为直线PM的斜率kPM==1,所以直线PM的倾斜角为45°.
如图,因为直线l与线段MN相交,
所以直线l的倾斜角α的取值范围是[45°,120°].
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l与线段MN相交;当直线l的斜率存在时,由正切函数的单调性,得直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
8.解 设Q(0,y0),B关于y轴的对称点为B'(-4,3).
∵A,Q,B'三点共线,
∴kAQ=kAB',∴,
∴y0=,
∴Q0,,k入射=kAB'=-.

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