资源简介

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
学案设计(一)
学习目标
1.学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题.
2.体会利用代数方法研究几何问题的基本方法.
3.促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.
自主预习
1.已知两条直线l1,l2,若斜率存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则对应关系如下:
条件 斜率存在 斜率不存在
图示
对应关系 l1∥l2 　　　　 l1∥l2 　　　　
2.已知两条直线l1,l2,若斜率存在,分别为k1,k2,则对应关系如下:
图示
对应关系 l1与l2的斜率都存在,则l1⊥l2 　　　　 l1与l2中的一条斜率　　　　　(倾斜角为90°),另一条斜率为　　　　　(倾斜角为0°),则l1与l2的位置关系是　　　　　
课堂探究
探究一　两条平行直线斜率间的关系
问题1:我们知道,平面中的两条直线l1与l2的位置关系有:　　　　　.
问题2:当两条直线l1与l2平行时,它们的斜率k1与k2满足什么关系 试着论证你的结论.
问题3:两条直线平行,它们的斜率一定相等吗
思考:如何利用直线斜率证明“三点”共线问题
探究二　两条垂直直线斜率间的关系
问题4:直线l1,l2垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系 类比前面的研究进行讨论.
问题5:当两条直线垂直时,它们的斜率之积一定等于-1吗 为什么
【学以致用】
例1　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
例2　已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点,试判断△ABC的形状.
思考:总结一下利用直线斜率判断几何图形形状的方法.
变式训练　已知点A(5,-1),C(2,3),点B在x轴上,且∠ABC为直角,求点B的坐标.
核心素养专练
1.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(　　)
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
2.(多选题)如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,那么直线l2的斜率可能为(　　)
A. B.a C.- D.不存在
3.已知过点P(3,2m)和点Q(m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.在直角坐标平面内有两点A(4,2),B(1,-2),在x轴上有点C,使∠ACB=90°,则点C的坐标是(　　)
A.(3,0) B.(0,0)
C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)
5.已知直线l的倾斜角为20°,直线l1∥l,直线l2⊥l,则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　)
A.20°,110° B.70°,70° C.20°,20° D.110°,20°
6.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=　　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　　.
7.若过点P(a,b),Q(b-1,a+1)的直线与直线l垂直,则直线l的倾斜角为　　　　　.
8.已知直线l1过点A(1,1),B(3,a),直线l2过点M(2,2),N(3+a,4).
(1)若l1∥l2,则a的值为　　　　　.
(2)若l1⊥l2,则a的值为　　　　　.
9.如图,在 OABC中,O为坐标原点,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的斜率.
10.已知在 ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).
(1)求点D的坐标;
(2)试判断 ABCD是否为菱形.
11.已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使四边形ABCD为直角梯形.
参考答案
自主预习
1.k1=k2　两直线斜率都不存在
2.k1·k2=-1　不存在　零　l1⊥l2
课堂探究
问题1:相交、平行
问题2:相等.
证明:如图,若l1∥l2,则l1与l2的倾斜角α1=α2,得tan α1=tan α2,即k1=k2.
因此,若l1∥l2,则k1=k2.
反之,当k1=k2时,tan α1=tan α2,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,α1=α2,因此l1∥l2,k1=k2.
问题3:不一定,有可能它们的斜率都不存在.
当α1=α2=90°时,直线的斜率不存在,此时仍有l1∥l2.
思考:A,B,C三点共线 kAB=kAC kAB=kBC kBC=kAC.
问题4:l1⊥l2 α2=90°+α1,k2=tan α2=tan(90°+α1),k1=tan α1.
因为tan(90°+α1)==-,
所以k2=-,即k1k2=-1.
问题5:不一定,因为其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线也垂直.
【学以致用】
例1　解 如图,AB边所在直线的斜率kAB=-,
CD边所在直线的斜率kCD=-,
BC边所在直线的斜率kBC=,
DA边所在直线的斜率kDA=,
∵kAB=kCD,kBC=kDA,∴AB∥CD,BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
例2　解 如图,边AB所在直线的斜率kAB=-,
边BC所在直线的斜率kBC=2,
∵kAB·kBC=-×2=-1,
即∠ABC=90°,∴AB⊥BC.
∴△ABC为直角三角形.
思考:略.
变式训练　解 (1)当x=2时,BC⊥x轴,显然∠ABC不是直角,不符合题意;
同理,可得x=5时,不符合题意.
(2)如图,当x≠2,且x≠5时,设点B的坐标为(x0,0),
则kAB=,kBC=,
∵kAB·kBC=-1,∴x0=或x0=,
故点B的坐标为,0或,0.
核心素养专练
1.D　解析 ∵直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合.
2.CD　解析 当a≠0时,由l1⊥l2,得k1·k2=a·k2=-1,k2=-.当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y轴平行或重合,k2不存在.故选C、D.
3.B　解析 因为MN∥PQ,所以kMN=kPQ,
即,解得m=-1.
4.D　解析 设点C的坐标为(a,0),则=-1,解得a=0或a=5.所以点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D.
5.A　解析 如图,∵l∥l1,∴l1的倾斜角为20°.
∵l2⊥l,∴l2的倾斜角为90°+20°=110°.
6.-2　2　解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2=.
若l1⊥l2,则=-1,m=-2.
若l1∥l2,则k1=k2,即关于k的一元二次方程2k2-4k+m=0有两个相等的实根,
所以Δ=(-4)2-4×2×m=0,解得m=2.
7.45°　解析 由题意知kPQ==-1,
由kPQ·kl=-1,得kl=1,所以直线l的倾斜角为45°.
8.(1)±　(2)0　解析 (1)∵k1=,
∴k2存在,且k2=.
∵l1∥l2,∴k1=k2,即,解得a=±.
又当a=±时,kAM≠kBM,∴a=±符合题意.
(2)∵k1=,
①当a=1时,k1=0,k2=1,k1·k2=0不合题意.
②当a≠1时,k1≠0,∵l1⊥l2,
∴k2存在,且k2=(a≠-1).
由k1·k2=-1,即=-1,解得a=0.
9.解 (1)因为点O(0,0),C(1,3),
所以OC所在直线的斜率kOC==3.
(2)在 OABC中,AB∥OC.
因为CD⊥AB,所以CD⊥OC,
所以kOC·kCD=-1,kCD==-.
故直线CD的斜率为-.
10.解 (1)设点D的坐标为(a,b),由 ABCD,得kAB=kCD,kAD=kBC,即解得所以点D的坐标为(-1,6).
(2)∵kAC==1,kBD==-1,∴kAC·kBD=-1.
∴AC⊥BD.∴ ABCD为菱形.
11.解 ①如图1,当∠A=∠D=90°时,
图1
∵四边形ABCD为直角梯形,∴AB∥DC且AD⊥AB.
∵kDC=0,∴直线AD⊥x轴,AB∥x轴,∴m=2,n=-1.
②如图2,当∠A=∠B=90°时,
图2
∵四边形ABCD为直角梯形,
∴AD∥BC且AB⊥BC,∴kAD=kBC,kABkBC=-1.
∴解得
综上所述,m=2,n=-1或m=,n=-.
学案设计(二)
学习目标
1.学会用斜率判断两条直线的平行和垂直关系,并解决相应的几何问题.
2.体会利用代数方法研究几何问题的基本方法.
3.促进数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等素养的发展.
自主预习
任务:预习教科书第55至57页内容,思考以下问题:
1.判断正误.
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行.(　　)
(2)若l1∥l2,则k1=k2. (　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则这两条直线垂直. (　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行. (　　)
2.判断以下题目中两直线的位置关系.
(1)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2);
(2)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3).
课堂探究
1.创设情景,引入新知
做一做:已知点A(1,0),B(0,1),C(-2,0),D(0,-2),E(2,1),F(3,0),分别求直线AB,CD和EF的斜率.在同一平面直角坐标系中画出这三条直线,并且观察这三条直线之间的位置关系,你能猜想到什么结论 　.
2.大胆猜想,合情推理
(1)猜一猜:由“做一做”的结论猜一猜两直线平行时,其斜率有什么关系,并推导证明.
(2)新知讲授:对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,有l1∥l2就有　　　　　　　.
特别地,若直线l1的斜率不存在,当直线l1与l2平行时,直线l2的斜率　　　　　　　.
(3)猜一猜:刚刚我们在研究两直线的平行关系的时候,l1∥l2,就有k1=k2,也就是说k1-k2=0是一个常数.那么两直线垂直的时候,k1,k2是否也存在这样的一个关系呢 并推导证明.
3.例题讲解
例1　已知点A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线AB与PQ的位置关系,并说出理由.
例2　以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)三点为顶点的三角形是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以点A为直角顶点的直角三角形
D.以点B为直角顶点的直角三角形
变式1:已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),D(6,1)四点,试判断四边形ABCD的形状,并说出理由.
变式2:已知A(5,-1),B(1,1),C(m,1)三点,△ABC为直角三角形,则m的值为多少
核心素养专练
1.下列说法正确的是(　　)
A.若直线l1与l2倾斜角相等,则l1∥l2
B.若直线l1⊥l2,则k1k2=-1
C.若直线的斜率不存在,则这条直线一定平行于y轴
D.若两条直线的斜率不相等,则两直线不平行
2.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为　　　　　.
3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=　　　　　.
4.已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是　　　　　.
5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD的形状.
6.(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
7.如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
参考答案
自主预习
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(1)∵=tan 60°=,∴,∴l1∥l2.
(2)∵k1=-10,k2=,k1k2=-1,∴l1⊥l2.
课堂探究
1.图略.结论:直线AB,CD,EF平行,它们的斜率相等.
2.(1)设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.
若l1∥l2,则l1与l2的倾斜角α1=α2,得tan α1=tan α2,即k1=k2.
因此,若l1∥l2,则k1=k2.
反之,当k1=k2时,tan α1=tan α2,
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,α1=α2,因此l1∥l2.
综上,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有l1∥l2 k1=k2.
(2)k1=k2;不存在.
(3)l1⊥l2 α2=90°+α1,
k2=tan α2=tan(90°+α1),k1=tan α1.
因为tan(90°+α1)==-,
所以k2=-,即k1·k2=-1.
故l1⊥l2时,k1·k2=-1.
例1　解 直线AB与PQ平行,理由如下:
因为kAB=,kPQ=,
kAB=kPQ且A,B,P不共线,
所以AB∥PQ.
例2　C　解析 由题意知kAB==-,kAC=.
∵kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,
∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.
变式1:解 四边形ABCD是平行四边形.理由如下:
AB边所在直线的斜率kAB==-,
CD边所在直线的斜率kCD==-,
AD边所在直线的斜率kAD==2,
BC边所在直线的斜率kBC==2,
∵kAB=kCD,kBC=kAD,∴AB∥CD,BC∥DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
变式2:解 (1)当∠C=90°时,因为kBC=0,所以AC所在直线与x轴垂直,此时m=5.
(2)当∠A=90°时,kAB==-,kAC=.
因为AB所在直线与AC所在直线垂直,所以kAB·kAC=-1,解得m=6.
综上所述,m=5或m=6.
核心素养专练
1.D　解析 A选项中,l1与l2可能重合;B选项中,l1,l2可能存在其一没有斜率;C选项中,直线也可能与y轴重合.D选项正确,故选D.
2.4　解析 由题意,得=1,即a=4.
3.　解析 设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,所以有=-1,解得m=.
4.(1,0)或(2,0)　解析 设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,即=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
5.解 由题意知kAB=,kBC=-,kCD=,kAD=-3,所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
6.解 (1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=.
由l1⊥l2,知k1k2=-1,即=-1,解得a=0.
综上所述,a的值为0或5.
7.解 由斜率公式得kOP==t,
kRQ==t,kOR==-,
kPQ==-,所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,
从而OP∥RQ,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.

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