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2.2.1　直线的点斜式方程
学案设计(一)
学习目标
1.推导并掌握直线的点斜式、斜截式方程.
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程.
3.体会直线的斜截式方程与一次函数解析式的关系.
自主预习
1.直线的点斜式方程
名称 点斜式方程
已知条件 直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k
示意图
方程形式 　　　　　　　
适用条件 　　　　　　　
2.直线在y轴上的截距
定义:直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的　　　　　.
符号:　　　　　　　　.
3.直线的斜截式方程
名称 斜截式方程
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
示意图
方程形式 　　　　　　　
适用条件 　　　　　　　
课堂探究
问题1:在平面直角坐标系中给定一个点P(x0,y0)和斜率k就能唯一确定一条直线,则直线上任意一点的坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是　　　　　　　　　　,变形可得　　　　　　　　.
问题2:由推导过程可知,因点P的任意性,直线上每一个点的坐标都满足关系式,反过来是否有满足关系式的每一个点都在直线上
直线的点斜式方程:方程　　　　　　　　由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
追问1:直线的点斜式方程能表示所有的直线吗
名称 已知条件 示意图 方程 适用范围
点斜式
追问2:当直线的斜率不存在,即倾斜角为90°时,直线的图象形式与直线的方程是怎样的呢
【学以致用】
例1　直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直线l的点斜式方程,并画出直线l.
变式训练　已知直线l的点斜式方程为y+2=x-1,那么此直线的斜率是　　　　　,倾斜角是　　　　　.
问题3:当直线过y轴上一点P0(0,b),且斜率为k时,请试着写出该直线的点斜式方程.
直线的斜截式方程:方程　　　　　　　　由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
追问:斜截式方程的截距是距离吗
【学以致用】
例2　已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.试讨论:
(1)l1∥l2的条件是什么
(2)l1⊥l2的条件是什么
核心素养专练
1.过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程为(　　)
A.y+2=(x-3)
B.y-2=(x+3)
C.y-2=(x+3)
D.y+2=(x+3)
2.直线y=ax-的图象可能是(　　)
3.若直线y-2m=m(x-1)与y=x-1垂直,则直线y-2m=m(x-1)过点(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,2) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)
4.与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
5.直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有(　　)
A.k1b2
C.k1>k2,且b1>b2 D.k1>k2,且b16.如果直线l经过点P(1,-1),且它的倾斜角是直线y=x+2的倾斜角的2倍,那么直线l的方程是　　　　　.
7.已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-x-.若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为　　　　　.
8.若直线l1:y=3x+2a与直线l2:y=(a2+2a)x+2平行,则a=　　　　　.
9.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(,-1);
(2)在y轴上的截距是-5.
10.求经过点(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
11.求经过点A(-2,2)并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程.
参考答案
自主预习
1.y-y0=k(x-x0)　斜率存在
2.截距　可正,可负,也可为零
3.y=kx+b　斜率存在
课堂探究
问题1:k=　y-y0=k(x-x0)
问题2:若点P1(x1,y1)的坐标x1,y1满足关系式y-y0=k(x-x0),则y1-y0=k(x1-x0).
(1)当x1=x0时,y1=y0,这时点P1与P0重合,显然有点P1在直线l上;
(2)当x1≠x0时,有k=,这表明过点P1,P0的直线l1的斜率为k;
因为l,l1的斜率都为k且都过点P0,所以它们重合.所以,点P1在直线l上.
直线的点斜式方程:y-y0=k(x-x0)
追问1:点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
名称 已知条件 示意图 方程 适用范围
点P(x0,y0) 和斜率k y-y0= k(x-x0) 斜率存在 的直线
追问2:l与x轴垂直,倾斜角为90°,斜率k不存在,此时直线l与y轴平行或重合,不能用点斜式求方程,又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以有x-x0=0,即x=x0.
例1　解 ∵k=tan 45°=1,
∴y-3=x-2.
取x=-1,则y=4,过P0,P1两点的直线即为所求,如图所示.
变式训练　1　45°
问题3:y-b=k(x-0),即y=kx+b.
直线的斜截式方程:y=kx+b
追问:不是,截距是直线与y轴交点的纵坐标.
例2　(1)l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2;
l1与l2重合 k1=k2,b1=b2;
(2)l1⊥l2 k1k2=-1.
核心素养专练
1.C　解析 因为直线的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,由直线方程的点斜式可得方程为y-2=(x+3).
2.B　解析 由y=ax-可知,斜率和截距必须异号,故B正确.
3.C　解析 由两直线垂直得m=-1,把m=-1代入y-2m=m(x-1)得过点(1,-2).故选C.
4.D　解析 因为所求直线与y=2x+1垂直,所以设直线方程为y=-x+b.又因为直线在y轴上的截距为4,所以直线的方程为y=-x+4.
5.A　解析 设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知90°<α1<α2<180°,所以k10,所以b16.x=1　解析 直线y=x+2的倾斜角是45°,从而直线l的倾斜角是90°,其斜率k不存在,直线l的方程是x=1.
7.-10　解析 ∵l1∥l2,∴kAB==-2,解得m=-8.
又∵l2⊥l3,∴×(-2)=-1,解得n=-2.
∴m+n=-10.
8.-3　解析 因为l1∥l2,所以a2+2a=3,且2a≠2,
解得a=-3,所以a=-3时两直线平行.
9.解 ∵直线y=-x+1的斜率k=-,
∴其倾斜角α=120°.
由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°,
故所求直线的斜率k1=tan 30°=.
(1)∵所求直线经过点(,-1),斜率为,
∴所求直线方程是y+1=(x-).
(2)∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,
∴所求直线的方程为y=x-5.
10.解 设所求直线的方程为y=kx+b,由题意知k≠0,
所以直线在x轴上的截距为-,由题意知-=b.
又因为直线过(3,4),所以4=3k+b,所以
解得
故所求的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.
11.解 因为直线的斜率存在,所以设直线方程为y-2=k(x+2),即y=kx+2k+2.
令x=0,得y=2k+2;令y=0,得x=-.
由2k+2>0,->0,得-1所以(2k+2)=1,解得k=-2或k=-.
因为-1学案设计(二)
学习目标
1.推导并掌握直线的点斜式、斜截式方程;
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;
3.体会直线的斜截式方程与一次函数解析式的关系.
自主预习
预习教科书第59至61页内容,思考以下问题:
1.什么是直线的点斜式方程 通过这个方程能找到哪些直线要素
2.截距是距离吗 什么是直线的斜截式方程 通过这个方程能找到哪些直线要素
3.判断正误.
(1)直线的点斜式方程也可写成=k. (　　)
(2)y轴所在直线方程为x=0. (　　)
(3)直线y=2x-3在y轴上的截距为3. (　　)
(4)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　　)
课堂探究
1.温故知新
(1)直线l的倾斜角是α,则直线l的斜率是　　　　　　　　.
(2)已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),则直线l的斜率是　　　　　　　　.
(3)当斜率不存在时,我们该如何画直线
2.合作探究
(1)直线的点斜式方程
如果直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,你能否用给定的条件将直线上所有点的坐标P(x,y)满足的关系表示出来
思考:①经过点P0(x0,y0),且斜率为k的直线的点斜式方程是　　　　　　　　　　.
②直线的点斜式方程的推导依据是　　　　　　　.
③k=与y-y0=k(x-x0)的区别在哪
追问1:直线的点斜式方程能表示所有直线方程吗
追问2:直线点斜式方程不能表示什么类型的直线呢
追问3:当直线l的倾斜角α=90°时,直线l的方程该如何表示 能否画出图形
【学以致用】
例1　写出下列直线的方程:
①直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=45°;
②直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=0°;
③直线l经过点P0(-2,3),且倾斜角α=90°.
小结:①直线的点斜式方程及其适用范围是　　　　　　　　.
②经过点P0(x0,y0),且斜率为0的直线的方程是　　　　　　　　.
③经过点P0(x0,y0),且斜率不存在的直线的方程是　　　　　　　　.
(2)直线的斜截式方程
如果直线l过点(0,b),且斜率为k,则直线l的方程是什么
思考:①斜率为k,与y轴的交点是(0,b)的直线的斜截式方程是　　　　　　　　.
②截距与距离有什么区别
③直线的斜截式方程有什么特点 直线的斜截式方程与一次函数的表达式有什么关系 其中k和b的几何意义是什么
例2　写出下列直线的斜截式方程:
①斜率是-2,在y轴上的截距是4;
②斜率是-2,在y轴上的截距是-4;
③斜率是-2,在x轴上的截距是4.
例3　①已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a=　　　　　.
②若某直线经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直,求该直线的斜截式方程.
小结:①直线的斜截式是点斜式的特殊情况,斜截式方程及其适用范围是　　　　　　　　.
②斜截式中,y=kx+b的k是直线的　　　　　　　,b是直线在y轴上的　　　　　.
③求直线截距的方法　　　　　　　　　　.
④两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2的条件是　　　　　　　　,l1⊥l2的条件是　　　　　　　　.
(3)平行直线系和过定点的直线系
思考:①b∈R,方程y=2x+b表示的直线有什么特点
②k∈R,方程y-1=k(x+2)表示的直线有什么特点
核心素养专练
1.(多选题)下列四个结论中,正确的是(　　)
A.方程k=与方程y-2=k(x+1)可表示同一直线
B.若直线l过点P(x1,y1),倾斜角为90°,则其方程是x=x1
C.若直线l过点P(x1,y1),斜率为0,则其方程是y=y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
2.已知ab<0,bc<0,则直线y=-x+通过(　　)
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
3.直线kx-y+k+4=0恒过定点　　　　　.
4.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l,则直线l的点斜式方程为　　　　　.
5.已知直线l与直线y=-x+1垂直,且与直线y=3x+5在y轴上的截距相同,则直线l的方程为　　　　　.
6.(1)已知直线l过点(1,0),且与直线y=(x-1)的夹角为30°,求直线l的方程.
(2)已知在△ABC中,A(1,-4),B(2,6),C(-2,0),AD⊥BC于点D,求直线AD的方程.
7.已知直线l过点(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等.
(1)求直线l的方程;
(2)若直线l在x轴、y轴上的截距不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
8.若当-19.求证:不论m为何值,直线l:y=(m-1)x+2m+1总过第二象限.
参考答案
自主预习
1.直线的点斜式方程:方程y-y0=k(x-x0),由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
通过该方程,可以知道直线经过的点及直线的斜率.
2.截距不是距离,截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标.
直线的斜截式方程:方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
通过该方程,可以知道直线斜率及在y轴上的截距.
3.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
课堂探究
1.温故知新
(1)当α≠90°时,k=tan α;当α=90°时,斜率不存在;
(2)当x1≠x2时,k=;当x1=x2时,斜率不存在;
(3)当斜率不存在时,直线为垂直于x轴的直线.
2.合作探究
(1)直线的点斜式方程:k=,从而有y-y0=k(x-x0).
思考:①y-y0=k(x-x0)
②直线的斜率
③k=说明x≠x0,而y-y0=k(x-x0)当x=x0时有意义.
追问1:不能.
追问2:点斜式方程不能表示斜率不存在的直线,只能表示斜率存在的直线.
追问3:当α=90°时,直线垂直于x轴,方程为x=x0,如图所示.
例1　解 ①因为这条直线经过点P0(-2,3),斜率k=tan α=tan 45°=1,所以直线l的方程为y-3=x+2.
②y=3.③x=-2.
小结:①斜率存在的直线　②y=y0　③x=x0
(2)直线的斜截式方程:
y-b=k(x-0),即y=kx+b.
思考:①y=kx+b.
②截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
③k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,和一次函数表达式类似.一次函数的解析式中y=kx+b,k≠0,肯定是直线的解析式,但直线的斜截式不一定是一次函数的函数解析式.
例2　①y=-2x+4;②y=-2x-4;③y=-2x+8.
解析 直线在x轴上的截距是4,即直线过点(4,0),则点斜式方程为y-0=-2(x-4),故斜截式方程为y=-2x+8.
例3　①-　解析 由l1∥l2,得-2a=1,所以a=-.
②解 因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-.
又所求直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-x-2.
小结:①斜率存在时
②斜率　截距
③求y轴上的截距,令x=0;求x轴上的截距,令y=0
④k1=k2,且b1≠b2　k1k2=-1
(3)平行直线系和过定点的直线系
思考:①y=2x+b是与y=2x平行的一系列直线方程.
②y-1=k(x+2),根据直线的点斜式方程,可知直线过点(-2,1).
核心素养专练
1.BC　解析 A不正确,方程k=不含点(-1,2);B正确;C正确;D只有k存在时成立.
2.C　解析 因为ab<0,bc<0,所以->0,<0,即直线y=-x+过第一、三、四象限.
3.(-1,4)　解析 直线kx-y+k+4=0可转化为y-4=k(x+1),故该直线恒过定点(-1,4).
4.y-4=-(x-3)　解析 因为直线y=x+1的斜率k=1,所以倾斜角为45°.由题意知,直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率k'=tan 135°=-1,又点P(3,4)在直线l上,由点斜式方程知,直线l的方程为y-4=-(x-3).
5.y=2x+5　解析 因为直线l与y=-x+1垂直,所以l的斜率为2;又该直线与直线y=3x+5在y轴上的截距相同,所以l的纵截距为5,所以直线l的方程为y=2x+5.
6.解 (1)∵直线y=(x-1)的斜率为,
∴其倾斜角为60°,且过点(1,0).
又直线l与直线y=(x-1)的夹角为30°,
且过点(1,0),
如图所示,易知直线l的倾斜角为30°或90°.
故直线l的方程为y=(x-1)或x=1.
(2)由题意知,kBC=.
∵AD⊥BC,∴直线AD的斜率存在,且kAD=-.
故直线AD的方程为y+4=-(x-1).
7.解 (1)①截距为0时,l:y=2x;
②截距不为0时,k=-1,l:y-2=-(x-1),即y=-x+3.
综上,直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0.
(2)由(1)得l:x+y-3=0,∵点P(a,b)在直线l上,
∴a+b=3,
∴3a+3b≥2=2=6,
当且仅当a=b=时,等号成立,
∴3a+3b的最小值为6.
8.解 由题意,得当-10,
如图所示,要满足题意,只需点A(-1,-m+1),B(1,m+1)在x轴上方或在x轴上即可,
所以解得-1≤m≤1,
故实数m的取值范围是[-1,1].
9.证明 因为直线l的方程y=(m-1)x+2m+1可化为y-3=(m-1)(x+2),
所以直线l过定点(-2,3).
由于点(-2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限.

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