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2.2.3　直线的一般式方程
学案设计(一)
学习目标
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
自主预习
1.直线的一般式方程
(1)定义:把关于x,y的二元一次方程　　　　　　　　(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(2)适用范围:在平面直角坐标系中,　　　　　　　　　　　　　　　.
(3)系数的几何意义
当B≠0时,-=　　　　　,-=　　　　　;
当B=0,A≠0时,-=　　　　　,此时斜率　　　　　.
课堂探究
一、温故知新
问题:由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形:
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
二、新知探究
1.问题探究
(1)坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程
(2)关于x,y的二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0(其中A,B不同时为零)是否都表示一条直线
(3)我们学习了直线方程的一般式,它与另外四种形式的关系怎样,是否可互相转化
(4)特殊形式如何化为一般式 一般式如何化为特殊形式 特殊形式之间如何互化
(5)我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0),系数A,B,C有什么几何意义 什么情况下需要化成其他形式 各种形式有什么局限性 填写下表.
形式 方程 适用条件 各常数的几何意义
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
2.例题讲解
例1　已知直线经过点A(6,-4),斜率为-,求直线的点斜式和一般式方程.
变式训练　1.已知直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0),
(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线
(2)系数满足什么关系时,与坐标轴都相交
(3)系数满足什么条件时,只与x轴相交
(4)系数满足什么条件时,是x轴
(5)设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.
2.若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=　　　　　.
例2　把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.
核心素养专练
1.已知直线l1:x-2y=0,直线l2过点A(2,4).
(1)若l1∥l2,求直线l2的方程;
(2)若l1⊥l2,求直线l2的方程.
2.求以A(2,0),B(4,-2)为端点的线段AB的垂直平分线的方程.
3.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD分别在x轴和y轴上,且AC=6,BD=4,求菱形ABCD四边所在直线的方程.
4.设k为实数,若直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为-1;
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于1.
5.方程2x+y+a=0在a取不同实数时,对应不同的直线,这些不同的直线的位置关系如何 在平面直角坐标系中,分别作出a=0,1,2时方程表示的直线.
课外延伸探究:
1.直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0(其中A,B不同时为0,C1≠C2)是什么位置关系
2.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同时为0),l1∥l2,则A1,B1,C1和A2,B2,C2之间有什么关系
3.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(其中A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(其中A2,B2不同时为0),证明:若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2.
参考答案
自主预习
(1)Ax+By+C=0
(2)任意一条直线都可用一般式表示
(3)k(斜率)　b(y轴上的截距)　a(x轴上的截距)　不存在
课堂探究
一、温故知新
问题:(1)y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7,画图略.
二、新知探究
1.问题探究
(1)分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.
当α≠90°时,它们都有斜率,且均与y轴相交,方程可用斜截式表示:y=kx+b;当α=90°时,它的方程可以写成x=x1的形式,由于在坐标平面上讨论问题,所以这个方程应认为是关于x,y的二元一次方程,其中y的系数是零.
结论:直线的方程都可以写成关于x,y的一次方程.
(2)分析:
当B≠0时,方程可化为y=-x-,这就是直线的斜截式方程,它表示斜率为-,在y轴上的截距为-的直线;当B=0时,由于A,B不同时为零必有A≠0,方程化为x=-,表示一条与y轴平行或重合的直线.
结论:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
(3)略.
(4)特殊形式必能化成一般式;一般式不一定可以化为其他形式(如特殊位置的直线),由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见;特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形.
(5)
形式 方程 适用条件 各常数的几何意义
点斜式 y-y0= k(x-x0) 与x轴不垂 直的直线 (x0,y0)是直线上一个定点,k是斜率
斜截式 y=kx+b 与x轴不垂 直的直线 k是斜率,b是y轴上的截距
两点式 与两坐标轴均 不垂直的直线 (x1,y1),(x2,y2)是直线上两个定点
截距式 =1 不过原点,且 与两坐标轴均 不垂直的直线 a是直线在x轴上的非零截距, b是直线在y轴上的非零截距
续　表
形式 方程 适用条件 各常数的几何意义
一般式 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 平面内所有 直线都适用 当B≠0时,-是斜率,-是直线在y轴上的截距
2.例题讲解
例1　解 经过点A(6,-4)且斜率为-的直线的点斜式方程为y+4=-(x-6).
化成一般式,得4x+3y-12=0.
变式训练　1.解 (1)C=0,且A,B不同时为0;
(2)A≠0且B≠0;
(3)B=0且A≠0;
(4)A=C=0且B≠0;
(5)证明:∵点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,
∴Ax0+By0+C=0,
∴C=-Ax0-By0.
∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.
2.-　解析 直线l1与l2平行,则斜率为3,m=0显然不合题意,l1转化成斜截式为y=-x-,即-=3,解得m=-.经检验,符合题意.
例2　解 由直线的一般式方程x-2y+6=0, ①
移项,去系数得斜截式y=+3. ②
由②知,直线l的斜率为k=,l在y轴上的截距是3,又在方程①或②中,令y=0,可得x=-6.
即直线在x轴上的截距是-6.
因为两点确定一条直线,所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴、y轴上的截距点),过这两点作出直线l如图所示.
核心素养专练
1.解 (1)因为l1:x-2y=0,且l1∥l2,所以直线l2的斜率为,
又直线l2过点A(2,4),所以直线l2的方程为y-4=(x-2),即y=x+3.
(2)因为l1:x-2y=0,且l1⊥l2,所以直线l2的斜率为-2,又直线l2过点A(2,4),
所以直线l2的方程为y-4=-2(x-2),即y=-2x+8.
2.解 因为A(2,0),B(4,-2),所以线段AB的中点坐标为(3,-1),直线AB的斜率为=-1,所以线段AB的垂直平分线的斜率为1,
所以以A(2,0),B(4,-2)为端点的线段的垂直平分线的方程是y+1=x-3,即x-y-4=0.
3.解 由菱形在坐标系中的位置及性质得A(-3,0),C(3,0),B(0,-2),D(0,2),
所以kAB=kCD==-,
kAD=kBC=,
所以AB边所在直线的方程为y=-(x+3),CD边所在直线的方程为y=-(x-3),BC边所在直线的方程为y=(x-3),AD边所在直线的方程为y=(x+3).
即菱形ABCD四边所在直线的方程分别为AB:2x+3y+6=0,BC:2x-3y-6=0,CD:2x+3y-6=0,AD:2x-3y+6=0.
4.解 (1)因为直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),则直线l的斜率为-,
于是得-=-1,解得k=5,所以k的值为5.
(2)因为直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),当x=0时,y=2,当y=0时,x=k-3,
于是得(k-3)+2=1,解得k=2,所以k的值为2.
5.解 a取不同实数时,方程2x+y+a=0对应不同的直线,这些不同的直线斜率相同,均为-2,在y轴上的截距不同,为-a.
故这些不同的直线的位置关系为平行.
a=0,1,2时方程表示的直线如下图所示:
课外延伸探究:
1.平行.
2.解 当A2≠0,B2≠0,C2≠0时,若l1∥l2,则,即A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0,或A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.
若A2,B2,C2为0时,上式依然成立.
3.证明 当B1≠0,B2≠0时,若l1⊥l2,则-·-=-1,即A1A2+B1B2=0.
当B1=0或B2=0时,经验证上式依然成立.
学案设计(二)
学习目标
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
自主预习
预习教科书第64至66页内容,思考以下问题:
1.判断正误.
(1)二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线. (　　)
(2)当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点. (　　)
(3)当B=0,A≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与y轴平行. (　　)
(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式方程互化. (　　)
2.直线=1化成一般式方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
课堂探究
1.温故知新
直线方程 形式 限制条件
点斜式
斜截式
两点式
截距式
2.探究新知
思考:上述四种直线方程,能否写成如下统一形式 形如:　 x+　 y+　 　=0
问题1:平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0表示吗
问题2:任意一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线吗
定义:关于x和y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程　　　　　　　　(其中A,B不同时为0)叫做直线的　　　　　,简称一般式.
问题3:在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,方程表示的直线:
①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合 ⑤过原点
【学以致用】
练习1　若方程(6a2-a-2)x+(3a2-5a+2)y+a+1=0表示平行于y轴的直线,则a=　　　　　.
3.例题讲解
例1　求斜率是-,且经过点A(8,6)的直线的点斜式和一般式方程.
练习2　根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式:
(1)经过点A(8,-2),斜率是-;
(2)经过点B(4,-2),平行于x轴;
(3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4);
(4)在x轴、y轴上的截距分别是,-3.
例2　将直线方程2x+3y+1=0化为斜截式和截距式,同时画出该直线.
【素养提升】
例3　直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).
试讨论:(1)l1∥l2的条件是什么
(2)l1⊥l2的条件是什么
例4　过点P(-1,2)且平行于直线l:2x-y+1=0的直线方程为(　　)
A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
C.2x-y=0 D.2x-y+4=0
变式训练　经过点B(3,0),且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为(　　)
A.x-2y+3=0 B.2x+y-6=0
C.x-2y-3=0 D.2x+y-3=0
思考:通过例4和变式训练观察与已知直线平行或垂直的直线方程系数之间有什么关系 还可以用什么方法解决问题
核心素养专练
1.(多选题)若过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线的一般式方程为(　　)
A.x+y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y+1=0
2.若ac>0,bc<0,则直线ax+by+c=0不通过(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多选题)已知直线l过点P(-1,1),且与直线l1:2x-y+3=0以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则下列结论正确的是(　　)
A.直线l与直线l1的斜率互为相反数
B.直线l与直线l1的倾斜角互补
C.直线l在y轴上的截距为-1
D.这样的直线l有两条
4.已知点P(x0,y0)不在直线l:Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)上,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示(　　)
A.过点P且与l垂直的直线
B.过点P且与l平行的直线
C.不过点P且与l垂直的直线
D.不过点P且与l平行的直线
5.(多选题)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论错误的是(　　)
A.不存在k,使得l2的倾斜角为90°
B.对任意的k,l1与l2都有公共点
C.对任意的k,l1与l2都不重合
D.对任意的k,l1与l2都不垂直
6.如图,设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(　　)
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
7.已知直线mx+ny+1=0平行于4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为,则m+n=　　　　　.
8.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足　　　　　.
9.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值:
(1)在x轴上的截距为1;
(2)斜率为1;
(3)经过定点P(-1,-1).
10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
参考答案
自主预习
1.(1)√　(2)√
(3)×　当C=0时,直线与y轴重合.
(4)×　当直线与坐标轴平行或重合时,不能转化为截距式或斜截式.
2.C
课堂探究
1.温故知新
直线方程 形式 限制条件
点斜式 y-y0=k(x-x0) 直线的斜率存在
斜截式 y=kx+b 直线的斜率存在
两点式 (x1≠x2,y1≠y2) 直线不能与坐标轴平行
截距式 =1(a,b≠0) 直线在两个坐标轴上的 截距不为0
2.探究新知
思考:略.
问题1:任意直线l,当l的斜率为k时,在其上任取一点P0(x0,y0),其方程为y-y0=k(x-x0),这是关于x,y的二元一次方程.
当l的斜率不存在,即直线l的倾斜角为90°时,直线的方程为x-x0=0,上述方程可以认为是y的系数为0的二元一次方程.
因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示.
问题2:B≠0时,方程可化为y=-x-,这是直线的斜截式方程,它表示斜率是-,在y轴上的截距是-的直线.
当B=0时,方程可化为x=-(A≠0),表示垂直于x轴的一条直线.
由上可知,关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
定义:Ax+By+C=0　一般式方程
问题3:
Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
A B C 方程 图形特征
A=0 B≠0 C=0 y=0 与x轴重合
C≠0 y=- 与x轴平行
A≠0 B=0 C=0 x=0 与y轴重合
C≠0 x=- 与y轴平行
B≠0 C=0 y=-x 过原点
练习1　1　解析 由题意,得解得a=1.
3.例题讲解
例1　解 所求直线的点斜式为y-6=-(x-8).所求直线的一般式为x+2y-20=0.
练习2　解 (1)y+2=-(x-8),化成一般式为x+2y-4=0;
(2)y=-2,化成一般式为y+2=0;
(3),化成一般式为x+y-1=0;
(4)=1,化成一般式为2x-y-3=0.
例2　解 斜截式:原方程可化为3y=-2x-1,则y=-x-;
截距式:分别令x=0和y=0,求出方程在y轴和x轴的截距为-和-,原方程可化为=1.
画出的直线如图所示.
例3　解 (1)当B1≠0,B2≠0时,
∵l1∥l2 k1=k2且b1≠b2,即,
∴l1∥l2 或者
当B1=0,B2=0时,显然成立.
(2)当B1≠0,B2≠0时,
∵l1⊥l2 k1k2=-1,即=-1,
∴l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
当B1=0时,若l1⊥l2,则A2=0,上式依然成立.
同理可得当B2=0时,则A1=0,上式依然成立.
例4　D　解析 因为直线l:2x-y+1=0的斜率为2,
所以所求直线的斜率也为2,
由点斜式可得所求直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.
变式训练　C　解析 因为直线2x+y-5=0的斜率为-2,
所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为,
因为所求直线经过点B(3,0),
所以所求直线方程为y=(x-3),即x-2y-3=0.
思考:与Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;(平行系直线方程)
与Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.(垂直系直线方程)
可用待定系数法.
核心素养专练
1.CD　解析 当直线过原点时,斜率k==2,所以直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设直线方程为=1,代入点(1,2)得=1,解得a=-1,所以直线方程为x-y+1=0.综上所述,所求直线方程为2x-y=0或x-y+1=0.
2.D　解析 ax+by+c=0的截距式方程为=1,因为ac>0,bc<0,所以-<0,->0,即直线在x轴上的截距小于0,在y轴上的截距大于0,故直线不通过第四象限.
3.ABC　解析 由于直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以l与l1的倾斜角互补,斜率互为相反数,故选项A,B均正确;易知直线l的方程为y-1=-2(x+1),即y=-2x-1,因此其在y轴上的截距为-1,故C选项正确;易知这样的直线l只有一条,故D选项错误.
4.D　解析 ∵点P(x0,y0)不在直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)上,∴Ax0+By0+C≠0.
∴直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0不经过点P,
又直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0与直线l:Ax+By+C=0平行,
∴方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示不过点P且与l平行的直线.
5.AC　解析 A.存在k=0,使得l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故选项A结论错误.
B.直线l1:x-y-1=0过点(0,-1),直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R) k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),故选项B结论正确.
C.当k=-时,直线l2的方程为x-y-=0,即x-y-1=0,l1与l2重合,选项C结论错误.
D.两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解,故对任意的k,l1与l2都不垂直,选项D结论正确.
6.C　解析 由x-y+1=0得A(-1,0),又点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,
所以P为线段AB垂直平分线上的点,且B(5,0).PB的倾斜角与PA的倾斜角互补,则斜率互为相反数,故PB的斜率kPB=-1,则方程为y=-(x-5),即x+y-5=0.
7.-7　解析 由题设知n≠0,所以将方程mx+ny+1=0化为斜截式得y=-x-.所以-=-,且-,解得m=-4,n=-3,经检验符合题意.故m+n=-7.
8.m≠1　解析 当2m2+m-3=0时,m=1或m=-;当m2-m=0时,m=0或m=1.要使方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则2m2+m-3,m2-m不能同时为0,所以m≠1.
9.解 (1)由题意知直线与x轴的交点为(1,0),
∵直线过点(1,0),∴m2-2m-3=2m-6.
解得m=3或m=1.
又m=3时,直线l的方程为y=0,不符合题意,∴m=1.
(2)由斜率为1,得解得m=.
(3)直线过定点P(-1,-1),则-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,
解得m=或m=-2.
10.解 (1)当a=-1时,直线l的方程为y+3=0,不符合题意;
当a≠-1时,直线l在x轴上的截距为,在y轴上的截距为a-2,因为l在两坐标轴上的截距相等,所以=a-2,解得a=2或a=0,
所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将直线l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
所以解得a≤-1,
故实数a的取值范围为(-∞,-1].

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